Un ejemplo sencillo de manejo de errores con las medidas de ángulos

Consideremos un triángulo rectángulo $\triangle ABC$ donde $\angle (CBA)=90^\circ$, $a=2,1 \pm 0,05$ m i $c=3,4 \pm 0,5$ m. Nos planteamos la siguiente cuestión: con qué precisión podemos calcular el valor del ángulo $\angle (BAC)$ (que, por comodidad, denotaremos por $\alpha$) ?

El valor calculado del ángulo $\alpha$ deberá pertenecer al intervalo de incertidumbre que tiene por extremos superior $\arctan{\Big(\dfrac{2,1+0,05}{3,4-0,05}\Big)} \approx 32,69^\circ$ y por extremo inferior $\arctan{\Big(\dfrac{2,1-0,05}{3,4+0,05}\Big)} \approx 30,72^\circ$ esto es, en el intervalo centrado de radio $\dfrac{30,72º-32,69º}{2} =0,985 \lt 1^{\circ}$ y centro $\dfrac{30,72^\circ+32,69^\circ}{2}\approx 32^\circ$

Y, para terminar, a partir del valor del radio de dicho entorno, podemos encontrar la cota de error absoluto del resultado $\Delta_{\alpha} = 1^\circ$ Por lo tanto, podemos concluir que el valor del ángulo calculado tendrá el siguiente margen de error, $\alpha = 32^\circ \pm 1^\circ$ $\diamond$

Propagación a través de los cálculos de los errores en los datos. Un ejemplo sencillo

Se han medido las longitudes de una parecela retangular: $a=21,64\,\text{m}$ y $b=17,3\,\text{m}$. Vamos a calcular el intervalo de incertidumbre del área de dicho rectángulo, reflexionando acerca de las cifras que son significativas en el valor del área que presentaremos a partir del sencillo cálculo de la misma.

Tengamos en cuenta, para empezar, el número de cifras significativas de las medidas, es decir, la precisión con la que se han realizado. La medida del lado $a$ viene dada con $4$ cifras significativas, siendo la última (así como la penúltima) de la parte decimal (la de las centésimas de metro), con lo que, razonablemente, atendiendo a esta última, podemos atribuirle un margen de error (cota de error absoluto) de media unidad del orden de magnitud correspondiente a la última cifra significativa: $0,005\,\text{m}$. Y, por otra parte, en la medida del lado $b$ hay $3$ cifras significativas, la última de las cuales es de la parte decimal (la de las décimas de metro), con lo cual su margen de error, siguiendo el criterio explicado, es de $0,05 \,\text{m}$. Resumiendo, tomamos como cotas de error absoluto de esas medidas las siguientes: $\Delta_a=0,005\, \text{m}$ y $\Delta_b=0,05\, \text{m}$

Calculemos ahora el valor del área (producto de los dos lados), adecuando (aproximando por redondeo) el resultado de la operación de manera que el número de cifras significativas sea el del menor número de cifras significativas de los dos factores, que es $3$, pues, habiendo en la operación productos (o, también, cocientes si los hubiese) como operaciones aritméticas básicas, tal es el criterio razonable cuando operamos con datos que de por sí ya vienen afectados de cierta imprecisión. Así, tenemos que $$A=a\cdot b=\overset{\text{4 c.s.}}{21,64}\cdot \overset{\text{3 c.s.}}{17,3}\overset{\text{3 c.s.}}{\approx} 374\,\text{m}^2$$

A continuación, atendiendo al margen de error de los datos, vamos a calcular los extremos superior e inferior del área, $A_s$ y $A_i$, aproximando los resultados al mismo número de cifras significativas que el resultado anterior del área ($3$ c.s.), por truncamiento con $3$ cifras significativas, por exceso y por defecto, respectivamente. En buena lógica, $$A_s=(a+\Delta_a)\cdot (b+\Delta_b)=(21,64+0,005)\cdot (17,3+0,05)\overset{\text{t. por exceso}}{\approx} 376\,\text{m}^2$$ y $$A_i=(a-\Delta_a)\cdot (b-\Delta_b)=(21,64-0,005)\cdot (17,3-0,05)\overset{\text{t. por defecto}}{\approx} 373\,\text{m}^2$$

Podemos pues afirmar que el valor verdadero del área de dicho rectángulo (expresada en metros cuadrados) se encuentra en intervalo de incertidumbre: $$A \in (373\;,\;376)\subset \mathbb{R} \quad (1)$$.

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Ahondando un poco más, y a modo de conclusión: Es de notar que, como todo cálculo amplifica los errores en los datos del mismo, al propagarse dichos errores a través del mismo, es posible que se pierdan cifras significativas en el resultado que obtengamos, aún habiendo limitado el número de significativas en la presentación del resultado al del menor número de cifras significativas de entre los datos (que son tres). Así, como vamos a ver a continuación, no todas las cifras del resultado presentado, $374\,\text{m}^2$, son significativas.

En concreto, la cifra de las unidades se ha perdido como cifra significativa; en efecto, démonos cuenta de que el punto punto medio del intervalo de incertidumbre que hemos calculado es $374,5$ y la semiamplitud del mismo $\Delta_A=\dfrac{376-373}{2}=1,5$. Comprobamos que, efectivamente, el valor calculado, $374\,\text{m}^2$, está en dicho intervalo, pero, para que la cifra de menor peso, la de las unidades, fuese una cifra significativa, el margen de error del resultado que hemos dado debería ser igual o inferior a $0,5$ (media unidad del orden de magnitud de la última cifra, la de las unidades), sin embargo la semiamplitud del intervalo calculado, $1,5$, es mayor que $0,5$, por lo que se deduce de ello que la cifra de las unidades no es una cifra significativa.

En consecuencia, en el resultado del cálculo que hemos presentado, $374\,\text{m}^2$, sólo son cifras significativas la de las decenas y la de las centenas; la de las unidades no lo es, por lo que, podemos afirmar que el valor del área obtenido es $$A \approx \mathbb{37}\underset{?}{4}\,\text{m}^2$$ en el cual, de acuerdo con lo que acabamos de razonar, hay que anotar que tiene 2 cifras significativas, las de mayor peso, la de las centenas y la de las decenas, siendo sin embargo dudosa la de las unidades.

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Nota importante: De manera alternativa y mucho más correcta, también puede resolverse este ejercicio, recurriendo al cálculo de la cota de error relativo del resultado a partir de las cotas de error relativo de los factores, teniendo en cuenta su relación con la cota de error absoluto, de manera parecida a tal como he hecho, por ejemplo, para resolver este otro problema: [1 (muy recomendable)]

Procedamos a hacerlo de esta manera y veremos que los resultados que obtendremos son más correctos que los obtenidos anteriormente de manera un tanto estimativa. Para ello, es necesario recordar que como en el cálculo del área interviene una operación de producto, $A=a\cdot b$, la cota de error relativo del área es igual a la suma de las cotas de error relativo de los datos: $\varepsilon_A=\varepsilon_a+\varepsilon_b$. Una vez hayamos calculador la cota de error relativo de $A$, tan solo tendremos que hacer uso de la relación entre la cota de error absoluto y la de error relativo: $\Delta_A = A\cdot \varepsilon_A$

Calculemos, primero, las cotas relativos de los factores: $\varepsilon_a:=\dfrac{\Delta_a}{a}=\dfrac{0,005}{21,64}$ y $\varepsilon_a:=\dfrac{\Delta_b}{b}=\dfrac{0,05}{17,3}$. Entonces $\varepsilon_A=\dfrac{0,005}{21,64}+\dfrac{0,05}{17,3}\approx 3,121\times 10^{-3}$, con lo cual $\Delta_A=374 \cdot 3,121\times 10^{-3} \overset{3 c.s.}{\approx}1,17\,\text{m}^2$.

Así, tenemos que el intervalo de incertidumbre que contienen al valor verdadero del área es $[374-1,17\;,\;3,74+1,17]\overset{3 c.s.}{=}[373\;,\;375]\,\text{m}^2$. Este resultado es un poco más preciso que el obtenido estimativamente en $(1)$, si bien llegamos a la misma conclusión en lo que se refiere a que la cifra de las unidades en el valor obtenido del cálculo del área es dudosa.

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Un ejercicio para adecuar el resultado al número de cifras significativas que corresponda, según intervengan sumas o productos en la operación combinada del resultado, atendiendo al número de cifras signicativas de los datos (los datos de las medidas son siempre inexactos)

Se ha encargado a una velería la elaboración de una vela triangular con las siguientes medidas de los lados: $g=7,2\,\text{m}$ (longitud del grátil, con $3$ cifras significativas [$3$ c.s.] y $1$ cifra decimal significativa [$1$ c.d.s.]); $b=6,11\,\text{m}$ (longitud de la baluma, con $3$ c.s. y $2$ c.d.s.), y $p=5,23\,\text{m}$ (longitud del pujamen, con $3$ c.s. y $2$ c.d.s.). Se pide que calculemos el área y el perímetro de la vela, adecuando el resultado al número de cifras significativas que corresponda a cada cálculo.

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Antes de comenzar con los cálculos del problema, es necesario recordar que se dice que una cifra de una determinada cantidad es una cifra significativa si su valor se conoce con seguridad. Una dato extraído siempre de una medida o del resultado de un cálculo precedente es tanto más preciso cuánto mayor sea su número de cifras significativas. Cuando hablemos del número de cifras significativas de una cantidad, nos referimos al conjunto de sus cifras significativas, ya sean de la parte entera o de la parte decimal de dicha cantidad (en el caso de que tenga una parte decimal); si, en particular, hablamos del número de cifras decimales significativas de una cantidad con parte decimal, nos referimos únicamente a las cifras significativas de la parte decimal de la misma. Por eso, en los datos del enunciado, por ejemplo, decimos que $5,23$ tiene tres cifras significativas, la de la parte entera y las dos de la parte decimal; a las dos de la parte decimal, aclaramos que son cifras decimales significativas, lo cual, como veremos enseguida, es importante en el caso de que la operación combinada del cálculo global conste tan sólo de sumas o restas.

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Nota: Aunque en este ejercicio no nos haga falta lo que voy a comentar ahora, sabed que una manera segura de contabilizar el número de cifras significativas de un dato y evitar así errores a la hora de contabilizarlas consiste en expresar la cantidad de dicho dato en notación científica: el número de cifras de la mantisa será, sin lugar a dudas, el número de cifras significativas de dicho dato; por ejemplo, consideremos un dato (no tiene nada que ver con este problema) tal como $145,007\,6$; éste tiene siete cifras significativas (en este caso los dos ceros también lo son), y, para ver ésto con claridad —hay datos en los que ciertos ceros que aparecen en ellos no son cifras significativas; tal es el caso de $0,0017$, y que tiene pues sólo dos cifras significativas, el $1$ y el $7$— en el caso de $145,007\,6$, sí son significativos los ceros que aparecen; para salir de dudas, puede escribirse en notación científica, $1,450\,076 \times 10^4$, y viendo pues que la mantisa $1,450\,076$ consta cláramente de $7$ cifras, podemos asegurar que esas siete cifras son todas las cifras significativas de $145,007\,6$.

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Para presentar el número correcto de cifras significativas en la cantidad que resulta del cálculo, hay que tener en cuento algo muy importante y que resulta evidente: la precisión del resultado en un cálculo no puede ser mayor que la del dato que, como resultado que es de una medición, tenga menos precisión, es decir, la de aquél que tenga el menor número de cifras significativas; así que, en buena lógica, y en lo que respecta a las operaciones básicas de suma/resta y multiplicación/división, deberemos tener en cuenta que:

1. El número de cifras significativas en el resultado de una multiplicación o una división no será mayor que el menor número de cifras significativas del factor que, como dato, sea el menos preciso (que el que tenga el menor número de cifras significativas de entre el conjunto de factores)
2. El número de cifras decimales significativas en el resultado de una suma o una resta no será mayor que el menor número de cifras decimales significativas del sumando que tenga menos precisión (que el que tenga el menor número de cifras decimales significativas)

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Ya estamos ahora en condiciones de ponernos a realizar los cálculos de este problema y a presentar correctamente los resultados en cuanto al número de cifras significativas que proceda.

El perímetro de un triángulo viene dado por la suma de los lados, esto es, $7,2+6,11+5,23$, y cuyo resultado, con todas las cifras del resultado, tal cual, es $18,54$; ahora bien, debemos adecuarlo al número de cifras significativas que le corresponte: tratándose de una suma, el número de cifras decimales significativas de dicha suma ha de ser igual al número de cifras decimales significativas del dato que tiene el menor número de las mismas, que corresponde a la longitud del grátil, que tiene $1$ c.d.s., luego el resultado, con la aproximación (por redondeo) a $1$ cifra decimal significativa es $18,5\, \text{m}$ (con $1$ c.d.s.)

Para calcular el área, vamos a utilizar la fórmula de Herón: $A=\sqrt{s\,(s-g)\,(s-b)\,(s-p)} \quad (1)$, donde $s$ denota el semiperímetro. En el cálculo del semiperímetro intervienen dos sumas y una división por $2$ (que es un dato exacto), cuyo resultado es $s=9,27$ (con todas sus cifras). Como, naturalmente, el cálculo hay que completarlo con dos restas/sumas, tres productos y una raíz cuadrada, utilizamos todas esas cifras del semiperímetro, por lo que la operación combinada y completa de (1) nos da $15,651\,618\,86$, pero, claro está, tenemos que adecuar ese resultado que leemos en la calculadora, aproximándolo por redondeo, al menor número de cifras significativas que corresponde al dato con el menor número de cifras significativas que intervenga en la operación combinada (1), por figurar en ella operaciones de multiplicación; el dato con el menor número de cifras significativas es la longitud del grátil, que tiene $2$ c.s., luego el resultado que deberemos presentar (aproximando por redondeo) es $16\,\text{m}^2$ (con $2$ c.s.).

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Relaciones de desigualdad entre las medias: armónica, geométrica, aritmética y cuadrática

En los últimos artículos anteriores a éste hemos demostrado que, en un caso concreto (para la pareja de números positivos $a$ y $b$, tales que $a+b=1$), la media armónica es menor que la media geométrica y ésta es menor que la m. aritmética, que, a su vez es menor que la media cuadrática. También hemos ido anunciado que estas desigualdades, en realidad, se generalizan a un conjunto arbitrario de $n$ números reales distintos de cero, sin ninguna restricción en la suma de los mismos. La demostración de esta proposición es, desde luego, un poquito más elaborada que con la restricción de suma igual a uno y con sólo dos números. En un futuro artículo haremos esta demostración general. De momento, avancemos pues esta importante cadena de desigualdades entre las medias citadas, y recordemos que una media, $M$, referida a un conjunto de datos es un parámetro estadístico tal que $\text{mínimo}(\{x_1,\ldots,x_n\}) \le M \le \text{máximo}(\{x_1,\ldots,x_n\})$: $$\displaystyle \text{MH}(\{x_1,\ldots,x_n\}) \le \displaystyle \text{MG}(\{x_1,\ldots,x_n\}) \le \displaystyle \text{MA}(\{x_1,\ldots,x_n\}) \le \displaystyle \text{MQ}(\{x_1,\ldots,x_n\})$$

Comparación de la media cuadrática con la media aritmética en unas condiciones concretas

Se consideran dos números reales positivos, $a$ y $b$, tales que $a+b=1$, se pide que demostremos que la media geométrica de dichos números es menor que su media aritmética.

Recordemos las definiciones de media cuadrática de $n$ números, $\displaystyle \text{MQ}(\{x_1,\ldots,x_n\}):=\sqrt{ \dfrac{1}{n} \left(x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}+ \ldots + x_{n}^{2}\right)}$, y de media aritmética, $\text{MA}(\{x_1,\ldots,x_n\}):=\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}$

En el caso que nos ocupa: $\text{MQ}(\{a,b\}):=\sqrt{\dfrac{1}{2}\,(a^2+b^2)}$ y teniendo en cuenta que $a+b=1$, $b=a-1$, con lo cual $\text{MQ}(\{a,b\})=\sqrt{\dfrac{1}{2}\,(a^2+(1-a^2)}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\gt \dfrac{1}{2}$, valor que es igual al de la media aritmética, pues $\text{MA}(\{a,b\}):=\dfrac{a+b}{2}\overset{a+b=1}{=}\dfrac{1}{2}$. Por consiguiente, $$\text{MQ}(\{a,b\})\gt \text{MA}(\{a,b\}) \therefore \text{MA}(\{a,b\})\lt \text{MQ}(\{a,b\})$$

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Comentario:
Esta relación de desigualdad se extiende a un número arbitrario de números reales distintos de cero (positivos y negativos) cuya suma no necesariamente sea igual a $1$. La demostración es un poco más elaborada.

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Comparación de la media geométrica con la media aritmética en unas condiciones concretas

Se consideran dos números reales positivos, $a$ y $b$, tales que $a+b=1$, se pide que demostremos que la media geométrica de dichos números es menor que su media aritmética.

Recordemos las definiciones de media geométrica de $n$ números, $\displaystyle \text{MG}(\{x_1,\ldots,x_n\}):=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \ldots \cdot x_n}$, y de media aritmética, $\text{MA}(\{x_1,\ldots,x_n\}):=\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}$

En el caso que nos ocupa: $\text{MG}(\{a,b\}):=\sqrt[2]{a\cdot b}$ y teniendo en cuenta que $a+b=1$, $b=a-1$, con lo cual $\text{MG}(\{a,b\})=\sqrt{a-a^2}$, cantidad que, teniendo en cuenta que $0\lt a \lt 1$, alcanza un máximo absoluto (cuyo valor es $\dfrac{1}{2}$) para $a=\dfrac{1}{2}$, valor que, por otra parte es igual al de la media aritmética, pues $\text{MA}(\{a,b\}):=\dfrac{a+b}{2}\overset{a+b=1}{=}\dfrac{1}{2}$. Por consiguiente, $$\text{MG}(\{a,b\})\lt \dfrac{1}{2}=\text{MA}(\{a,b\}) \therefore \text{MG}(\{a,b\})\lt \text{MA}(\{a,b\})$$

-oOo-

Comentario:
Esta relación de desigualdad se extiende a un número arbitrario de números reales distintos de cero (positivos y negativos) cuya suma no necesariamente sea igual a $1$. La demostración es un poco más elaborada.

$\diamond$

Comparación de la media armónica con la media aritmética en unas condiciones concretas

Se consideran dos números reales positivos, $a$ y $b$, tales que $a+b=1$, se pide que demostremos que la media armónica de dichos números es menor que su media aritmética.

Recordemos las definiciones de media armónica de $n$ números, $\text{MH}(\{x_1,\ldots,x_n\}):=\dfrac{n}{\dfrac{1}{x_1}+\ldots+\dfrac{1}{x_n}}$, y de media aritmética, $\text{MA}(\{x_1,\ldots,x_n\}):=\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}$

En el caso que nos ocupa: $\text{MH}(\{a,b\}):=\dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}=\dfrac{2\,ab}{a+b}\overset{a+b=1}{=}2\,ab \quad (1)$

Por otra parte, en el artículo precedente a éste en este mismo blog, y en las condiciones del eneunciado, hemos demostrado que $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\gt 2$, es decir,
  $\dfrac{a+b}{2\,ab} \gt 2$
    $a+b \gt 2\,ab$
      $\dfrac{a+b}{2} \gt ab \Rightarrow ab \lt \dfrac{a+b}{2}=:\text{MA}(\{a,b\}) \quad (2)$

Entonces, recordemos que, de $(1)$, se tiene que:
  $\text{MH}(\{a,b\})=2\,ab \lt ab$
y teniendo en cuenta $(2)$,
  $\text{MH}(\{a,b\})=2\,ab \lt ab \lt \text{MA}(\{a,b\}) \therefore \text{MH}(\{a,b\}) \lt \text{MA}(\{a,b\}) $

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Comentario:
Esta relación de desigualdad se generaliza para un número arbitrario de números reales distintos de cero (positivos y negativos) cuya suma no necesariamente sea igual a $1$. La demostración es un poco más elaborada.

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Otra manera de demostrar la proposición del ejercicio anterior

Se consideran dos números reales positivos, $a$ y $b$, tales que $a+b=1$, se pide que demostremos la siguiente desigualdad $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\gt 2$, empleando un método alternativo al del ejercicio del artículo precedente.

Recordemos que, ya sea que $a=b$, o, por el contrario, que $a\neq b$, hemos visto (en el artículo precedente a éste) que la desigualdad propuesta podemos demostrarla de la siguiente manera:
  $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=$
    $=\dfrac{a+b}{a}+\dfrac{a+b}{b}$
      $=\dfrac{a}{a}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{b}$
        $=1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+1$
          $=2+\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)$
Y teniendo en cuenta que, al ser $a$ y $b$, positivos y menores que uno, se tiene que $0\lt \dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\gt 1$. En consecuencia, $2+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\gt 2$. Por consiguiente,
$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\gt 2$$

Sin embargo, ahora, nos proponemos hacer la demostración mediante un método alternativo:
Vamos a distinguir los dos casos siguientes, que cubren todas las posibilidades:

1. En el caso de que $a=b$, entonces, como $0\lt a \lt 1$ y $0\lt b \lt 1$ y $a+b=1$, se tiene que $a=b=\dfrac{1}{2}$, luego $\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{\frac{1}{2}}=2$, y, por tanto, $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=4\gt 2 \quad \diamond$
2. En el caso de que $a\neq b$, entonces, como $0\lt a \lt 1$ y $0\lt b \lt 1$ y $a+b=1$, y visto el caso anterior, por el principio (de recuento) del palomar, uno de los dos tiene que ser menor que $\dfrac{1}{2}$, que, sin pérdida de generalidad, vamos a suponer que éste sea $a$. Entonces, si $a\lt \dfrac{1}{2}$, se tiene que $\dfrac{1}{2} \gt \dfrac{1}{\frac{1}{2}}=2$, y, por tanto, $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\gt 2+\dfrac{1}{b}$. Pero, el valor de $\dfrac{1}{b}$, ha de ser necesariamente mayor que cero, en consecuencia $2+\dfrac{1}{b}\gt 2$, con lo cual $$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \gt 2+\dfrac{1}{b} \gt 2$$ $\diamond$

Un sencillo ejercicio de demostración

Se consideran dos números reales positivos, $a$ y $b$, tales que $a+b=1$. Se pide que demostremos que, en estas condiciones, $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\gt 2$

Ya sea que $a=b$, o, por el contrario, que $a\neq b$, podemos demostrar la desigualda propuesta de la siguiente manera:   $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=$
    $=\dfrac{a+b}{a}+\dfrac{a+b}{b}$
      $=\dfrac{a}{a}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{b}$
        $=1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+1$
          $=2+\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)$
Y teniendo en cuenta que, al ser $a$ y $b$, positivos y menores que uno, se tiene que $0\lt \dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\gt 1$. En consecuencia, $2+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\gt 2$. Por consiguiente,
$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\gt 2$$

  $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=$
    $=\dfrac{a+b}{a}+\dfrac{a+b}{b}$
      $=\dfrac{a}{a}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{b}$
        $=1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+1$
          $=2+\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)$
Y teniendo en cuenta que, al ser $a$ y $b$, positivos, se tiene que $\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\gt 0$. En consecuencia, $2+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\gt 2$. Por consiguiente,
$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\gt 2$$ $\diamond$

Reducciones al primer cuadrante de las razones de los cuadrantes segundo, tercero y cuarto

Teniendo en cuenta las simetrías y rotaciones del triángulo (que se forma en la circunferencia trigonométrica al fijar el ángulo en diversos cuadrantes), veamos algunas relaciones de las razones trigonométricas de ángulos fuera del primer cuadrante con el ángulo $\alpha$ del primer cuadrante. Para ello, basta con hacer los dibujitos, de manera que, sin más, teniendo en cuenta los signos de la proyecciones de las razones con los ejes cartesianos, resulta comprensible lo siguiente:

Algunas relaciones entre las razones trigonométricas del segundo cuadrante y las del ángulo de referencia $\alpha$ del primer cuadrante:
  $\sin(\alpha+\dfrac{\pi}{2})=\cos(\alpha)$
  $\cos(\alpha+\dfrac{\pi}{2})=-\sin(\alpha)$
  $\tan(\alpha+\dfrac{\pi}{2})=-\dfrac{1}{\tan(\alpha)}$

-oOo- Y, como $\pi-\alpha$ y $\alpha$ son ángulos suplementarios:
  $\sin(\pi-\alpha)=\sin(\alpha)$
  $\cos(\pi-\alpha)=-\cos(\alpha)$
  $\tan(\pi-\alpha)=-\tan(\alpha)$

Algunas relaciones entre las razones trigonométricas del tercer cuadrante y las del ángulo de referencia $\alpha$ del primer cuadrante:
  $\sin(\alpha+\pi)=-\sin(\alpha)$
  $\cos(\alpha+\pi)=-\cos(\alpha)$
  $\tan(\alpha+\pi)=\tan(\alpha)$

Algunas relaciones entre las razones trigonométricas del cuarto cuadrante y las del ángulo de referencia $\alpha$ del primer cuadrante:
  $\sin(2\,\pi-\alpha)=\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha)$
  $\cos(2\,\pi-\alpha)=\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)$
  $\tan(2\,\pi-\alpha)=\tan(-\alpha)=-\tan(\alpha)$

-oOo-   $\sin(\dfrac{3}{2}\,\pi+\alpha)=\sin(-\dfrac{\pi}{2}+\alpha)=-\cos(\alpha)$
  $\cos(\dfrac{3}{2}\,\pi+\alpha)=\sin(-\dfrac{\pi}{2}+\alpha)=\sin(\alpha)$
  $\tan(\dfrac{3}{2}\,\pi+\alpha)=\tan(-\dfrac{\pi}{2}+\alpha)=-\dfrac{1}{\tan(\alpha)}$

-oOo-

Tengamos en cuenta también las razones trigonométricas entre ángulos complementarios del primer cuadrante:
  $\sin(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\cos(\alpha)$
  $\cos(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\sin(\alpha)$
  $\tan(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\dfrac{1}{\tan(\alpha)}$
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Una aplicación de la trigonometría a un problema de velocidad relativa

Una embarcación $A$ navega hacia el Este a una velocidad de $10$ nudos. Nos preguntamos a qué velocidad debe desplazarse otra embarcación $B$ que navega con rumbo $030^\circ$ (esto es, $\text{N}\,30^\circ\,\text{E}$) para que, desde $A$ se vea a $B$ alejarse en todo momento hacia el Norte?

Representando los vectores de velocidad $\vec{v_A}$, $\vec{v_B}$ y el vector de velocidad relativa de $B$ con respecto a $A$ ($\vec{v_r}=\vec{v_B}-\vec{v_A}$) en las condiciones expuestas en el enunciado, se configura el siguiente triángulo vectorial, que, en nuestro caso es un triángulo rectángulo:

Entonces, como el módulo de $\vec{v_A}$ es $\left\|\vec{v_A}\right\|=10$ nudos (que designaremos por, por comodidad, por $v_A$), el módulode $\vec{B}$ (que designaremos por $v_B$) ha de cumplir que $\dfrac{10}{v_B}=\cos(90^\circ-30^\circ)$, esto es,
  $\dfrac{v_B}{10}=\dfrac{1}{\cos(60^\circ)}$
    $\dfrac{v_B}{10}=\dfrac{1}{\frac{1}{2}}$
      $\dfrac{v_B}{10}=2$
        $v_B=2\cdot 10$
          $v_B=20$ nudos
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Un ejercicio de cálculo con logaritmos en el que debemos hacer un cambio en la base logarítmica

Se pide que, sin la ayuda de la calculadora científica, calculemos $\log_{3}\,(1000)$, sabiendo que (dato) $\log_{10}\,(3)\approx 0,4771$

Denotemos $t=\log_{3}\,(1000)$, entonces $1000=3^t$. Sacando logaritmos en base $10$ en cada miembro de esa igualdad nos queda $\log_{10}\,(1000)=t\,\log_{10}\,(3)$, esto es, $\log_{10}\,(10^3)=3=t\,\log_{10}\,(3)$, con lo cual $t=\dfrac{3}{\log_{10}\,(3)}\overset{\text{dato}}{=}\dfrac{3}{0,4771}=\dfrac{30\,000}{4771}\approx 6,2820$
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Acerca de la función $\,^{n}x:=x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{x}}}}}};n\in\mathbb{N}$ y de las ecuaciones con exponenciaciones sucesivas

La función $\,^{n}x$ se define de la forma $$\,^{n}x:=x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{x}}}}}};n\in\mathbb{N}$$ vamos a resolver la siguiente ecuación, para $x$, números reales no negativos, $$\,^{3}x=\,^{2}x$$

Comencemos con los pasos algebraicos:
  $\,^{3}x=\,^{2}x$
    $x^{x{^x}}=x^x$
      $\ln(x^{x{^x}})=\ln(x^x)$
        $x^x\,\ln(x)=x\,\ln(x)$
          $x^x\,\ln(x)-x\,\ln(x)=0$
            $\ln(x)\cdot\left(x^x-x\right)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\ln(x)=0\Rightarrow x=1 & (1)\\ x^x-x=0 & (2)\end{matrix}\right.$

De $(1)$ ya tenemos un valor de la solución. Veámos ahora qué ocurre con $(2)$:
  $x^x-x=0$
    $x^x=x$
      $\ln(x^x)=\ln(x)$
        $x\,\ln(x)=\ln(x)$
          $x\,\ln(x)-ln(x)=0$
            $(x-1)\,\ln(x)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-1=0\Rightarrow x=1 \\ \ln(x)=0 \Rightarrow x=1\end{matrix}\right.$, resultado que ya se ha obtenido en $(1)$
Entonces, la solución de la ecuación propuesta consta de un sólo valor, que es $x=1$

La siguiente gráfica de las representaciones de las funciones de sendos miembros de la ecuación original ilustran esta solución (punto de intersección):

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Un breve cálculo con logaritmos

Se pide que calculemos el valor de $x$ que cumple la siguiente igualdad, prescindiendo del uso de la calculadora $$\dfrac{\ln(x)}{\ln(3)}=4$$

  $\dfrac{\ln(x)}{\ln(3)}=4$
    $\log_{3}(x)=4 \therefore x=3^4=81$
$\diamond$

Resolución de la ecuación $x!=x!!$

Recordemos que la factorial de un número entero no negativo se de define como $$x!:=x\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdot \ldots \cdot 1;\, 0!=1$$ También definimos la doble factorial de $x$ como $$x!!:=x\cdot (x-2)\cdot (x-2)\cdot \ldots \cdot 1;\, 0!!=1$$ A modo de ejercicio, vamos a resolver ahora la ecuación $$x!=x!!$$

  $x!=x!!$
    $x\cdot (x-1)!=x\cdot (x-2)!!$
      $x\cdot (x-1)!-x\cdot (x-2)!!=0$
        $x\cdot \left[ (x-1)!- (x-2)!! \right]=0$
          $x\cdot \left[ (x-1)!!\cdot (x-2)!!- (x-2)!! \right]=0$
            $x\cdot (x-2)!! \cdot \left[ (x-1)!!-1 \right]=0 \overset{(x-2)!!\neq 0}{\Leftrightarrow} \left\{\begin{matrix}x=0 \\ (x-1)!!-1 =0 \Rightarrow (x-1)!!=1 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=1\\ x=2 \end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$

Así pues, la solución consta de esos tres valores: $\{0,1,2\}$
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$(-2)^x=2$

Vamos a encontrar la solución de la siguiente ecuación $$(-2)^x=2$$

Para empezar, y lo que vamos a decir es importante, observemos que, buscando entre el conjunto de los números reales, el dominio de definición de la función $f(x)=(-2)^x$ se reduce al conjunto de los números enteros; en efecto, podemos calcular sin problema la imagen (dentro del conjunto de los números racionales) de un número entero como, por ejemplo, $-3$: $f(-3)=(-2)^{-3}=(-2)^{3\cdot (-1)}=((-2)^{3})^{-1}=\dfrac{1}{(-2)^3}=\dfrac{1}{-8}=-\dfrac{1}{8}$, pero si intentamos calcular la imagen de un número decimal, vemos enseguida que no la tiene; para poner de relieve esto, pongamos por ejemplo que $x=1,1$, entonces si denotamos $t=(-2)^{1,1}$, la única manera de calcular dicho valor $t$ (es decir, el valor de la función en $x=1,1$) pasa por extraer logaritmos en cada miembro, para, a continuación, utilizar la propiedad recíproca que define el logaritmo: sacando logaritmos, $\ln(t)=\ln\,((-2)^{1,1})=1,1\cdot \ln(-2)$, pero ya sabemos que el logaritmo de un número negativo no está definido, luego la función $(-2)^x$ sólo está definida para números enteros; es decir, en ese sentido, es una función discreta, pues envía números enteros al conjuntos de los números racionales, que, en particular, pueden ser enteros; el recorrido de la función es el conjunto de los números racionales.

Es evidente que, habiendo visto que no podemos pensar en números reales que no sean los enteros (como números candidatos a la solución de la ecuación). Y, si observamos la tabla numérica de la función $f(x)=(-2)^x;x\in \mathbb{Z}$, elaborada para unos cuantos (suficientes) valores de $x\in \mathbb{Z}$, salta a la vista que la ecuación propuesta no tiene solución: no hay ningún número entero, positivo, negativo que satisfagan la igualdad a $2$, y tampoco el cero la satisface, ya que $(-2)^0=1\neq 2$

Como consecuencia de estos razonamientos, la solución no está, en definitiva, en el conjunto de los números reales, por lo que es claro que, de haberla, deberemos buscar entre los números complejos. Para ello, démonos cuenta de que: $(-2)^x=2$ puede escribirse de la forma $((-1)\cdot 2)^x=2$. Ahora bien, por la fórmula de Euler, $e^{i\,\alpha}=\cos(\alpha)+i\,\sin(\alpha); \alpha\in \mathbb{R}$, podemos escribir $-1$ de la forma $e^{i\,\pi}$ ya que $e^{i\,\pi}=\cos(\pi)+i\,\sin(\pi)=-1+i\cdot 0=-1$; y, de una manera más general: $-1=e^{i\,(2n-1)\,\pi};\,n\in \mathbb{N}$, ya que al ser $2n-1$ un número natural impar, $\cos((2n-1)\,\pi)=-1$ y $\sin((2n-1)\,\pi)=0$.

Entonces,
  $(-2)^x=2$
    $((-1)\cdot 2)^x=2$
      $(e^{i\,(2n-1)\,\pi}\cdot 2)^x=2$
        $(e^{i\,(2n-1)\,\pi})^x\cdot 2^x=2$
          $e^{i\,(2n-1)\,\pi\,x} \cdot 2^x=2$
            $\ln\left(e^{i\,(2n-1)\,\pi\,x} \cdot 2^x\right)=\ln(2)$
              $\ln\left(e^{i\,(2n-1)\,\pi\,x}\right)+\ln\left( 2^x\right)=\ln(2)$
                $i\,(2n-1)\,\pi\,\ln(e)\,x+x\,\ln\left( 2\right)=\ln(2)$
                  $i\,(2n-1)\,\pi\cdot 1 \,x+x\,\ln\left( 2\right)=\ln(2)$
                    $\left( i\,(2n-1)\,\pi+\ln\left( 2\right)\right)\,x=\ln(2)$
                      $x=\dfrac{\ln(2)}{\ln\left( 2\right)+i\,(2n-1)\,\pi};\,n=1,2,3,4,\ldots \quad (1)$

En conclusión: la solución consta de los infinitos valores de $(1)$ $$\displaystyle x=\{\dfrac{\ln(2)}{\ln\left( 2\right)+i\,\pi},\,\dfrac{\ln(2)}{\ln\left( 2\right)+i\,3\,\,\pi},\,\dfrac{\ln(2)}{\ln\left( 2\right)+i\,5\,\,\pi},\,\ldots \}$$ $\diamond$

¿De cuántas cifras consta un número entero positivo dado por $a^b$, siendo $a$ y $b$ números enteros positivos?

Tenemos hoy el siguiente problemas: ¿De cuántas cifras consta el número entero positivo $5^{26}$?

Bien, para empezar, démonos cuenta de que unúmero entero positivo, como, por ejemplo, $295$ podemos expresarlo de la forma $0,295 \cdot 10^3$; en cualquier caso, de tal modo que la primera cifra decimal sea distinta de cero: si el número entero pedido pongamos que tenga $n$ cifras, éste puede escribirse como $0,d_1\,d_2\,\ldots\,d_n \cdot 10^n$; de esta manera, el número entero que figura en el exponente de la potencia de base $10$ es igual al número de cifras de dicho número. Y podemos escribir tantos ejemplos como gustemos.

Ya tenemos pues una primera idea de la que partir: si cualquier un número entero positivo podemos expresarlo de la forma $m \cdot 10^n$, donde $m$ es un número decimal mayor que $0$ y menor que $1$, siendo su primera cifra decimal distinta de cero, $n$ es el número de cifras de dicho número entero positivo; entonces, en particular, un número entero positivo que venga dado como una potencia de base un número entero positivo, $a$, y exponente entero positivo, $b$, esto es $a^b$, también tendrá ese tipo de expresión, esto es: $$a^b=m\cdot 10^n \quad (1)$$

Así las cosas, si conseguimos calcular $n$ a partir de la igualdad $(1)$ habremos resuelto el problema. Para ello, lo primero que se nos puede ocurrir es tomar logaritmos decimales (en base $10$) en cada miembro, para así, preparar el despeje de $n$:
  $\log_{10}(a^b)=\log_{10}(m\cdot 10^n)$
    $b\,\log_{10}(a)=\log_{10}(m)+\log_{10}(10^n)$
      $b\,\log_{10}(a)=\log_{10}(m)+n\,\log_{10}(10)$
        $b\,\log_{10}(a)=\log_{10}(m)+n \cdot 1$
          $b\,\log_{10}(a)=\log_{10}(m)+n$
            $\therefore n=b\,\log_{10}(a)-\log_{10}(m)$
Ahora, tengamos en cuenta que si $0 \le m \lt 1$, y por tanto $-1\le \log_{10}(m)\lt 0$, se sigue de ésto que $0\lt -\log_{10}(m)\le 1$, por consiguiente $b\,\log_{10}(a) \lt n \lt b\,\log_{10}(a)+1$. Y como $n$ representa un número entero, reajustamos el término logarítmico $b\,\log_{10}(a)$ (que nos da un número con decimales), tomando el mayor entero que sea menor o igual que esta cantidad, esto es, le aplicamos a ese término la función suelo: $\lfloor b\,\log_{10}(a) \rfloor$, todo lo cual, y como conclusión, nos lleva a definir $$n:=\lfloor b\,\log_{10}(a) \rfloor +1 \quad (2)$$

Comprobemos que ésto funciona; por ejemplo, ¿cuántas cifras tiene el número $2^{10}$? Según lo deducido, $n=\lfloor 10\,\log_{10}(2) \rfloor +1=\lfloor 3,0102\ldots\rfloor +1 = 3+1=4$; y, en efecto, así es, pues sabemos (calculando la potencia directamente) que el número $2^{10}=1\,024$, y al contar sus cifras, vemos claramente que tiene $4$ cifras.

Ahora, apliquémoslo al problema propuesto, que recordemos que es el siguiente: ¿cuántas cifras tiene el número entero positivo $5^{26}$. En este caso, $a=5$ y $b=26$, por tanto, aplicando $(2)$ se obtiene $$n=\lfloor 26 \cdot \log_{10}(5) \rfloor +1=\lfloor 18,1732\ldots\rfloor +1 =18+1=19\,\text{cifras}$$ $\diamond$

Una ecuación con exponenciales

Se pide que resolvamos la siguiente ecuación: $$2^{3^x}=3^{2^x}$$

Tomando logaritmos en cada miembro:
  $\ln(2^{3^x})=\ln(3^{2^x})$
    $3^x\,\ln(2)=2^x\,\ln(3)$
      $\dfrac{3^x}{2^x}=\dfrac{\ln(3)}{\ln(2)}$
        $\left(\dfrac{3}{2}\right)^x=\dfrac{\ln(3)}{\ln(2)}$
Y volviendo a tomar logaritmos:
  $\ln\left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^x\right)=\ln\left(\dfrac{\ln(3)}{\ln(2)}\right)$
    $x\,\ln\left( \dfrac{3}{2} \right)=\ln\left( \dfrac{\ln(3)}{\ln(2)} \right)$
      $x=\dfrac{\ln\left( \dfrac{\ln(3)}{\ln(2)} \right)}{\ln\left( \dfrac{3}{2} \right)} \gt 0$
Nota:Rápidamente nos damos cuenta de que el valor encontrado es positivo, porqué tanto el numerador como el denominador son cantidades positivas. Y, con ayuda de la calculadora científica básica, puede comprobarse que $x\approx 1,1359$.
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Una ecuación con términos irracionales (con raíces)

Queremos encontrar la solución en $\mathbb{R}$ de la siguiente ecuación: $$x-x\,\sqrt{x}=-4$$

Antes de empezar con los pasos algebraicos, debemos darnos cuenta de que, para que $\sqrt{x}$ esté definida en el conjunto de los números reales, es necesario que $x\ge 0$; así pues, en la solución no caben números negativos, y, por otra parte, el cero, está claro que tampoco forma parte de la solución, pues si sustituimos $x$ por $0$ en la ecuación pedida obtenemos que $0-0=0\neq-4$. En definitiva, la solución que encontremos tiene que estar entre los números positivos. Dicho ésto, empecemos ahora con el álgebra:
  $x-x\,\sqrt{x}=-4$
    $x-x\,\sqrt{x}+4=0$, y denotando: $u=\sqrt{x}$, $u^2=x$, con lo cual:
      $u^2-u^2\,u+4=0$
        $u^2-u^3+4=0$
          $-u^3+u^2+4=0$
            $u^3-u^2-4=0$
              $u^3-u^2-8+4=0$ (paso clave)
                $(u^3-8)-(u^2-4)=0$
                  $(u^3-2^3)-(u^2-2^2)=0$, y empleando estas dos identidades: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ y $a^3-b^3=(a-b)(a^2+a\,b+b^2)$, podremos escribir lo anterior de la siguiente manera,
                    $(u-2)\,(u^2+2\,u+2^2)-(u-2)\,(u+2)=0$
                      $(u-2)\,\left(u^2+2\,u+2^2-(u+2)\right)=0$
                        $(u-2)\,\left(u^2+2\,u+4-u-2\right)=0$
                          $(u-2)\,\left(u^2+u+2\right)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u-2=0 \Rightarrow u=2 \overset{x=u^2}{\Rightarrow} x=2^2=4 \\ u^2+u+2=0\Rightarrow u=\dfrac{-1\pm \sqrt{-3}}{2} \notin \mathbb{R}\end{matrix}\right.$
Encontramos un sólo valor en la solución: $x=4$

Comprobación: Sustituyendo $x$ por $4$ en la ecuación pedida,
  $4-4\,\sqrt{4}\overset{?}{=}-4$. En efecto, el valor del primer miembro, $4-4\,\sqrt{4}=4-4\cdot 2=4-8=-4$ conincide con el valor del segundo miembro.

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$2^x+4^x=20$ ... ¿x?

Se nos pide que resolvamos la siguiente ecuación en el conjunto de los números rales $$2^x+4^x=20$$

  $2^x+4^x=20$
    $2^x+4^x-20=0$
     $2^x+(2^2)^x-20=0$
        $2^x+2^{2\,x}-20=0$
          $2^x+(2^{x})^2-20=0$
            $2^x\,\left(1+2^x\right)-20=0$ y denotando $u=2^x$ podemos escribir:
              $u\,(1+u)-20=0$
                $u+u^2-20=0$
                  $u^2+u-20=0$
                    $u=\dfrac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1 \cdot (-20)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-1\pm \sqrt{81}}{2}=\dfrac{-1\pm 9}{2}=\left\{\begin{matrix}4 \\ -5\end{matrix}\right.$
Entonces, para $u=4$ se tiene que $4=2^2=2^x \Rightarrow x=2$; y, para $u=-5$, $-5=2^x$, pero $2^x\gt 0 \forall x\in \mathbb{R}$, luego este segundo valor de $u$ no aporta nada a la solución. La solución es pues $x=2$. $\diamond$

Resolución de una ecuación típica de las que aparecen en la Olimpiada Matemática

Calculemos las solución reales y complejas de la ecuación $$x^3+x=30$$

Según el teorema fundamental del álgebra, al ser el grado de la ecuación pedida $3$, deberemos encontrar, considerando las multiplicidades, $3$ raíces complejas (incluidas, aquellas en las que su parte imaginaria es cero, esto es, las raíces reales):
  $x^3+x=30$
    $x^3+x-30=0$
      $x^3+x-27-3=0$ (paso clave)
        $x^3-27+x-3=0$
          $x^3-3^3+x-3=0$
            $(x^3-3^3)+(x-3)=0$
              $(x-3)(x^2+3x+3^2)+(x-3)=0$, por la identidad $a^3-b^3=(a-b)(a^2+a\,b+b^2)$
                $(x-3)\,( (x^2+3x+3^2)+ 1)=0$
                  $(x-3)\,( x^2+3x+9+ 1)=0$
                    $(x-3)\,( x^2+3x+10)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-3= 0 \Rightarrow x_1=3 \in \mathbb{R}\\ x^2+3x+10=0 \Rightarrow x_{2,3}=\dfrac{-3\pm i\,\sqrt{31}}{2} \in \mathbb{C}\end{matrix}\right.$
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Un problema de álgebra básica, muy típico de Olimpiada Matemática

Si $m+n=1 \quad (1)$ y $m^2+n^2=2 \quad (2)$, donde $m$ y $n$ son números racionales, ¿a qué es igual $m^8+n^8$, sin calcular préviamente $m$ y $n$?

A partir de la identidad $(m+n)^2=m^2+2\,m\,n+n^2$, podemos escribir:
  $m^2+n^2=(m+n)^2-2\,m\,n$
Y teniendo en cuenta $(1)$ y $(2)$,
    $2=1^2-2\,m\,n \Rightarrow m\,n=-\dfrac{1}{2} \quad (3)$

Por otra parte,
  $m^4+n^4=$
    $=(m^2+n^2)^2-2\,m^2\,n^2$
      $=(m^2+n^2)^2-2\,(m\,n)^2$
        $\overset{(2),(3)}{=}2^2-2\cdot (-\dfrac{1}{2})^2$
          $=4-2\cdot \dfrac{1}{4}$
            $=4-\dfrac{1}{2}$
              $=\dfrac{8}{2}-\dfrac{1}{2}$
                $=\dfrac{8-1}{2}$
                  $=\dfrac{7}{2} \quad (4)$

Y, apoyándonos en la misma idea:
  $m^8+n^8=$
    $=(m^4)^2+(n^4)^2$
      $=(m^4+n^4)^2-2\,m^4\,n^4$
        $=(m^4+n^4)^2-2\,(m\,n)^4$
          $\overset{(3),(4)}{=}(\dfrac{7}{2})^2-2\cdot (-\dfrac{1}{2})^4$
            $=\dfrac{49}{4}-2\cdot \dfrac{1}{16}$
              $=\dfrac{49}{4}-\dfrac{1}{8}$
                $=\dfrac{98}{8}-\dfrac{1}{8}$
                  $=\dfrac{97}{8}$

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Un problema de números enteros

Quiero exponer en esta entrada del blog la resolución de un problema de números enteros que bien puediera ser de los que alguna vez aparecen en una Olimpiada Matemática. Se trata de encontrar todas la parejas $(m,n)$ de números enteros tales que satisfagan la siguiente igualdad: $$m+m\,n+n=6$$

Pongámos lápiz a la obra:
  $m+m\,n+n=6$
    $m\,(1+n)+n=6$
      $m\,(1+n)+n+1=6+1$
        $m\,(1+n)+(1+n)=7$
          $(1+n)\,(1+m)=7$
            $(1+n)\,(1+m)=\left\{\begin{matrix}1\cdot 7 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}1+n=1 \Rightarrow n=0 \\ 1+m = 7 \Rightarrow m=6 \end{matrix}\right.\\ 7 \cdot 1 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}1+n=7 \Rightarrow n=6 \\ 1+m=1 \Rightarrow m=0\end{matrix}\right.\\ (-1)\cdot (-7) \Rightarrow \left\{\begin{matrix}1+n=-1 \Rightarrow n=-2 \\ 1+m=-7 \Rightarrow m=-8\end{matrix}\right. \\ (-7)\cdot (-1) \Rightarrow \left\{\begin{matrix}1+n=-7 \Rightarrow n=-8 \\ 1+m=-1 \Rightarrow m=-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$
En conclusión, las parejas de números enteros pedidos son: $$(m,n)=\{(0,6),(6,0),(-2,-8),(-8,-2)\}$$ $\diamond$

Refrescando las progresiones geométricas ...

Sin utilizar la calculadora, ¿a qué es igual $1+2+2^2+2^3+\ldots+2^6$?

Se pide la suma de los $7$ primeros términos de la progresión geométrica de razón $r=2$ y primer término $a_1=1$. Recordad (de cursos anteriores) que la suma de los $n$ primeros términos consecutivos es igual a $S_n=a_1\,\dfrac{r^n-1}{r-1}$, en nuestro caso, por tanto, tenemos que $S_7=1\cdot \dfrac{2^7-1}{2-1}=2^7-1=128-1=127$

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Un problemilla con factoriales

Siendo $a$ y $b$ números enteros positivos, nos preguntamos a qué es igual $a+b$ y $a\cdot b$ sabiendo que $a!\cdot b!=10!$

Nota preliminar: Para calcular $a+b$ y $a\cdot b$ necesitamos conocer el valor de $a$ y $b$. Advirtamos, eso sí, que, salvo que $a$ o bien $b$ sean igual a $1$, $a!\cdot b!\neq (a\cdot b)!$, por lo que no debemos caer en el error de pensar que al factorizar $10$ de la forma $10=2\cdot 5$, entonces $a$ sea igual a $2$ y $b$ sea igual a $5$ o viceversa; evidentemente $2!\cdot 5!=2\cdot 120=240\neq (2\cdot 5)!)=10!$, y, $2! + 5!=2 + 120=122 \neq (2 + 5)!)=7!=5\,040$

Resolvamos ahora el problema:
Es claro que
  $10!=10\cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=$
    $(10\cdot 9 \cdot 8 \cdot 7) \cdot (6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)$=
      $(10\cdot 9 \cdot 8 \cdot 7) \cdot 6!$=
        $((5\cdot 2) \cdot (3\cdot 3) \cdot (4\cdot 2) \cdot 7) \cdot 6!$=
          $((5\cdot 2) \cdot (3\cdot 3) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot 7) \cdot 6!$=
            $(1\cdot 2 \cdot 3\cdot (2\cdot 2) \cdot 5 \cdot (3\cdot 2) \cdot 7) \cdot 6!$=
              $(1\cdot 2 \cdot 3\cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7) \cdot 6!$=
                $7! \cdot 6! \Rightarrow a=7\,\text{y}\,b=6\,,\,\text{o bien}\, a=6\,\text{y}\,b=7$
En cualquiera de los dos casos, $$a+b=6+7=7+6=13$$ y $$a\cdot b=6\cdot 7=7\cdot 6=42$$ $\diamond$

$m! + n! \neq (m + n)!$

Demostremos que la siguiente propiedad es falsa: $$m! + n! = (m + n)!$$

Bastará con encontrar un contraejemplo: Pongamos que $m=3$ y $n=2$, entonces $3! + 2!=6 + 2=8 \neq (3 + 2)!=5!=120$

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$m!\cdot n!\neq (m\cdot n)!$

Demostremos que la siguiente propiedad es falsa: $$m!\cdot n! = (m\cdot n)!$$

Bastará con encontrar un contraejemplo: Pongamos que $m=3$ y $n=2$, entonces $3!\cdot 2!=6\cdot 2=12 \neq (3\cdot 2)!=6!=720$

$\diamond$

Un ejercicio en el que deduciremos la fórmula de la suma de un número arbitrario de los primeros términos consecutivos de una sucesión que no es ni aritmética, ni geométrica ... ni cuadrática

Nos preguntamos cuánto vale la suma de los $100\,000$ primeros términos de la sucesión cuyo término general es $a_n=\dfrac{1}{n\,(n+1)}$, ¿y la suma de los infinitos términos?

Veamos qué términos se van formando a partir del término general, para $n=1,2,3,\ldots$. Sustituyendo en la expresión del mismo se obtienen: $$\dfrac{1}{1\cdot 2}\,,\, \dfrac{1}{2\cdot 3}\,,\, \dfrac{1}{3\cdot 4}\,,\,\,\ldots$$

Veamos ahora el valor de las sumas sucesivas (o sumas parciales):
  $S_1=\dfrac{1}{1\cdot 2}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{1+1}$
    $S_2=\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{2+1}$
      $S_3=\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 4}=\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{3+1}$
        $S_4=\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 4}+\dfrac{1}{4\cdot 5}=\dfrac{4}{5}=\dfrac{4}{4+1}$
          $\ldots$ Luego, para la $i$-ésima suma podemos inducir (hipótesis de inducción):
$$S_i=\dfrac{i}{i+1}\,,\quad i=1,2,3,\ldots \quad (1)$$

-oOo- Demostrémoslo, mediante el método de inducción, que, como ya sabéis, consta de los siguientes tres pasos:

1. Para $i=1$ es claro que se cumple ya que $S_1=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{1\cdot 2}=a_1$
   
2. Formulamos la hipótesis de inducción: la fórmula $(1)$ es válida para $i=k$, luego $S_k=\dfrac{k}{k+1}$ donde $k$ es un entero positivo
   
3. Finalmente (y habremos terminado), demostremos que la fórmula inducida también es válida para $k+1$. En efecto,
       $S_{k+1}=S_{k}+\dfrac{k+1}{(k+1)\,((k+1)+1)}=\dfrac{k}{k+1}+\dfrac{k+1}{k+2}=\dfrac{(k+1)^2}{(k+1)\,(k+2)}=\dfrac{k+1}{k+2}=\dfrac{k+1}{(k+1)+1}$   $\square$

-oOo-

Así pues la suma pedida de los $300$ primeros términos tiene el siguiente valor: $$S_{100\,000}\overset{(1)}{=}\dfrac{100\,000}{100\,000+1}=\dfrac{100\,000}{100\,001}\approx 0,9999900001$$

Comentario: Démonos cuenta de que los valores de las sumas consecutivas (parciales) van decreciendo monótonamente, aproximándose (aunque lentamente) a $1$; es más, puede afirmarse que dicha sucesión (de sumas sucesivas) converge a $1$, como puede comprobarse de manera inmediata calculando el límite: $\displaystyle \lim_{m\rightarrow \infty}\,\dfrac{k}{k+1}=\lim_{k\rightarrow \infty}\,\dfrac{\frac{k}{k}}{\frac{k}{k}+\frac{1}{k}}=\lim_{k\rightarrow \infty}\,\dfrac{1}{1+\frac{1}{k}}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\infty}}=\dfrac{1}{1+0}=1$. Dicho de otra manera, la suma infinita $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\,S_k$ es igual a $1$, esto es, $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\,\dfrac{k}{k+1}=1$$

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Observación importante: Si reflexionamos un poco, vemos que, para que, en general, la sucesión de las sumas parciales sea convergente, es necesario que los términos de la sucesión $a_n$ converja a $0$. Podemos comprobarlo para la sucesión que nos ocupa, calculando el límite $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\, a_n$; y así es, en efecto: $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\,\dfrac{1}{n\,(n+1)}=\lim_{n\rightarrow \infty}\,\dfrac{1}{n^2+n}=0$ ya que el polinomio del denominador, $n^2+n$, es de grado superior al del numerador. Sin embargo, tal condición no es suficiente para que la sucesión de las sumas parciales converja, ya que bien pudiera ser (en otras sucesiones) que, a pesar de tender a $0$ los términos de la sucesión, no convergiese la sucesión de las sumas parciales, como es el caso de la sucesión $b_n=\dfrac{1}{n}$: si bien es claro que $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\,\dfrac{1}{n}=0$, la suma de sus términos $\displaystyle \sum_{k\rightarrow \infty}\,\dfrac{1}{k}$, llamada serie armónica, y aunque probarlo de manera rigurosa no es sencillo, que sepáis que diverge. Si os entretenéis a calcular las sumas parciales sucesivas (os sugiero que utilizéis la hoja de cálculo), os daréis cuenta rápidamente de que esta sucesión (de las sumas parciales) no deja de crecer, aunque muy lentamente para los términos avanzados; sus términos van tomando valores cada vez más grandes: $1$, $1+1/2=1,5$, $1+1/2+1/3 = 11/6 \approx 1,83$, $\ldots$.

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Una ecuación en la que interviene una progresión aritmética

Se pide que resolvamos la siguiente ecuación $$1+3+5+7+9+\ldots+k=121$$ donde $k$ es un número entero positivo.

El primer miembro de la igualdad corresponde a la suma de un cierto número de términos de una progresión aritmética de diferencia $d=2$, y primer término igual a $1$, por lo tanto sabemos que dicha suma viene dada por $\dfrac{a_1+k}{2}\cdot n$, siendo $n$ el número de términos de la suma, y $a_1$ el valor del primer término de la suma, que es igual a $1$, luego podemos escribir la ecuación pedida de la forma $$\dfrac{1+k}{2}\cdot n =121 \quad (1)$$.

Para calcular el número de términos, $n$, de la progresión, recurrimos a la expresión del $n-ésimo$ término, cuyo valor es igual a $k$: $$k=a_1+(n-1)\cdot d$$ esto es $k=1+(n-1)\cdot 2$ y, por tanto, $n=\dfrac{k-1}{2}+1 \quad (2)$

Entonces, sustituyendo $(2)$ en $(1)$:
  $\dfrac{1+k}{2}\cdot \left( \dfrac{k-1}{2}+1\right)=121$
    $\dfrac{1+k}{2}\cdot \left( \dfrac{1+k}{2}\right)=121$
      $\dfrac{(1+k)^2}{2^2}=121$
        $(1+k)^2=121\cdot 2^2$
          $(1+k)^2=121\cdot 4$
            $(1+k)^2=484$
              $1+k = \sqrt{484}$
                $1+k = 22$
                  $k = 22-1$
                    $k = 21$
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Una ecuación en la que aparece la suma de una progresión geométrica

Consideremos la siguiente ecuación $$1+5+5^2+5^3+\ldots+5^k=3096$$ donde $k$ es un número entero positivo, cuyo valor se pide que calculemos:

El primer miembro de la igualdad corresponde a la suma de $k+1$ términos de una progresión geométrica de razón $r=5$ y cuyo primer término es $a_1=1$, por lo tanto sabemos que dicha suma viene dada por $a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$, siendo $n$ el número de términos de la suma, que, en nuestro caso es igual a $k+1$, luego la ecuación pedida puede escribirse de la forma $$1\cdot \dfrac{5^{k+1}-1}{5-1}=3\,096$$

Simplificándola nos queda:
  $5^{k+1}=3\,096 \cdot 4 +1$
    $5^{k+1}=3\,096 \cdot 4 +1$
      $5^{k+1}=15\,625$
Para despejar la incógnita, $k$, extraigamos logaritmos en cada miembro:
  $\ln\left(5^{k+1}\right)=\ln(15\,625)$
    $(k+1)\,\ln(5)=\ln(15\,625)$
      $k+1=\dfrac{\ln(15\,625)}{\ln(5)}$
        $k=\dfrac{\ln(15\,625)}{\ln(5)}-1$
          $k=5$
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Un interesante problema con números enteros positivos

Un bonito problema que apareció en una Olimpiada Matemática es el siguiente:
  Encontrar las ternas de números enteros positivos $a,b,c$ que cumple la siguiente igualdad $$3^a+3^b+3^c=387$$ Veamos cómo puede resolverse:

Empecemos suponiendo, sin pérdida de generalidad, que $a\ge b \ge c\quad (1)$, con lo cual $3^a \ge 3^b \ge 3^c$, con lo cual
  $3^a+3^b+3^c=387$ puede expresarse de la siguiente manera:
  $3^c\cdot (3^{a-c}+3^{b-c}+1)=387$
Por otra parte, $387= 3^3\cdot 31$, por tanto lo anterior puede escribirse como
  $3^c\cdot (3^{a-c}+3^{b-c}+1)=3^3\cdot 31 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}3^c=3^3 \Rightarrow c=3 & (2) \\ 3^{a-c}+3^{b-c}+1=31 & (3)\end{matrix}\right.$
Simplificando $(3)$,   $3^{a-c}+3^{b-c}=30=3\cdot 10$
Y teniendo en cuenta $(1)$, $3^{a-c} \ge 3^{b-c}$, con lo cual la igualdad anterior puede escribirse como
  $3^{b-c}\cdot \left(3^{(a-c)-(b-c)}+1\right)=3\cdot 10$
    $3^{b-c}\cdot \left( 3^{a-b}+1\right)=3\cdot 10 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}3^{b-c}=3 \Rightarrow b-c=1 \overset{(2)}{\Rightarrow} b=4 & (4)\\ 3^{a-b}+1=10 & (5)\end{matrix}\right.$
Y de $(5)$,
  $3^{a-b}=9=3^2 \Rightarrow a-b=2 \overset{(4)}{=} a=6$
Así pues, la terna que se obtiene es $(a,b,c)=(6,4,3)$. Pero, como la suposición $(1)$ sólo nos ha servido para encontrar ésta, podríamos repetir todo lo anterior permutando los elementos de dicha desigualdad por lo que, además de $(6,4,3)$ son también solución las ternas que resultan de permutar los valores obtenidos: $(6,3,4)$, $(4,3,6)$, $(4,6,3)$, $(3,4,6)$ y $(3,6,4)$.

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Identidades notables

¿Es cierta la siguiente identidad? Esto es, ¿esta igualdad algebraica es válida para cualquier valor de $a$ y de $b$? $$a^5+b^5 = (a + b) (a^4 - a^3\, b + a^2\, b^2 - a\, b^3 + b^4)$$

Veámoslo multiplicando los dos factores del segundo miembro; si es cierta, el resultado ha de ser igual a la expresión del primer miembro:
  $(a + b) (a^4 - a^3\, b + a^2 \,b^2 - a \,b^3 + b^4)=$
    $a \cdot (a^4 - a^3 \,b + a^2 \, b^2 - a\, b^3 + b^4) + b\cdot (a^4 - a^3 \,b + a^2 \,b^2 - a\, b^3 + b^4)=$
      $a^5 - a^4 b + a^3 \,b^2 - a^2 \, b^3 + a\,b^4 + a^4\,b - a^3\, b^2 + a^2\, b^3 - a\, b^4 + b^5=$
        $a^5 + (a^4 b - a^4\,b) + (a^3\, b^2 - a^3\, b^2) + (a^2\, b^3-a^2\, b^3) + (a\,b^4 - a\,b^4) + b^5=$
          $a^5 + 0+0+0+0 + b^5=$
            $a^5 + b^5$
La identidad propuesta es, por tanto, cierta.

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Nota: Es fácil probar (de manera parecida) que la siguiente identidad también es cierta: $$a^5 - b^5 = (a - b) (a^4 + a^3\, b + a^2\, b^2 + a\, b^3 + b^4)$$

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Importante: Os aconsejo que recordéis estas otras identidades, muy sencillas, y muy útiles a la hora de resolver determinadas ecuaciones (realizando transformaciones convenientes), efectuar simplificaciones, y, también, para facilitar algunos cálculos numéricos, lo cual conviene a veces tenerlas en cuenta para realizarlos de manera eficiente:
Siendo $a,b\in \mathbb{R}$, se tiene:

1. $(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2$
2. $(a - b)^2=a^2 - 2ab+b^2$
3. $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
4. $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2\,(a\,b+b\,c+a\,c)$
   
5. $(a+b)^3=a^3+ 3a^{2}b + 3ab^2+b^3$
6. $(a-b)^3=a^3- 3a^{2}b + 3ab^2-b^3$
7. $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
   
8. $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
   

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Cálculo de raíces de un polinomio, empleando (si se tercia) identidades para factorizarlo

A modo de ejemplo, voy a calcular las ráices reales y complejas del polinomio $P(x)=x^3+27$

Para encontrar las raíces de un polinomio debemos imponer la definición de ráiz de un polinomio: $P(x)=0$. Entonces,
  $x^3+27=0$
    $x^3+3^3=0$
A continuación, para factorizar el primer miembro, utilizaré la identidad $$a^3\pm b^3=(a\pm b)\,(a^2\mp a\,b+b^2)$$
con lo cual, el último paso puede expresarse de la forma
    $(x+3)\cdot (x^2-3x+3^2)=0$
      $(x+3)(x^2-3x+9)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+3=0 \\ x^2-3x+9 =0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}-3 \\ \\ \\ \dfrac{-(3) \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1\cdot 9}}{2\cdot 1}= \newline\quad \quad \quad =\dfrac{3\pm 3 \,\sqrt{3}\,i}{2} = \dfrac{3}{2} \pm \dfrac{3\,\sqrt{3}}{2}\,i \end{matrix}\right.$

El conjunto de ráices de $P(x)$ es pues $$\{ -3\in \mathbb{R}\,,\, \left(\dfrac{3}{2} - \dfrac{3\,\sqrt{3}}{2}\,i\right) \in \mathbb{C} \,,\, \left(\dfrac{3}{2} + \dfrac{3\,\sqrt{3}}{2}\,i\right) \in \mathbb{C}\}$$

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Otra ecuación interesante en cuanto a la técnica idónea para resolverla

Una ecuación del tipo $x^x=x^2$, donde $x$ es una variable real, aunque quizás asuste un poco, no ofrece ninguna dificultad para encontrar la solución por tanteo; a poco que ensayemos, vemos que $3$ y $1$ satisfacen la igualdad: $1^1=1^3=1$ y lo mismo ocurre con $x=3$, pues tanto el primer miembro como el segundo dan como resultado $3^3=27$.

Bien, ¿pero habrá más valores que no podamos encontrar con tanta facilidad, digamos que 'a ojo de buen cubero'? Podríamos responder a esta pregunta con un 'no', pues si atendemos al trazo de las gráficas de las funciones de ambos miembros $y=x^x$ e $y=x^2$, la intersección de las mismas no se da en más de dos puntos, tal como se muestra en la siguiente figura. Ni $0$ ni ningún valor negativo corresponden a abscisas de puntos de intersección de los trazos.

Además, alternativamaente, si no se quiere recurrir al recurso de las gráficas, puede comprobarse que para valores negativos de $x$ el primer miembro es negativo, mientras que el segundo es positivo; y, para el valor $0$ de $x$, a pesar de que para el primer miembro se obtiene una indeterminación $0^0$, ésta se resuelve al tener en cuenta que $x^x$ es una función continua y $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,x^x=1$ (puede comprobarse elaborando una tabla numérica con una hoja de cálculo), con lo cual, $(x^x)_{x=0}=1$, mientras que el valor del segundo miembro toma un valor distinto: $(x^2)_{x=0}=0^2=0\neq 1$.

No obstante, voy a resolver la ecuación empleando las técnicas del álgebra, pues me parece, que, para el caso que nos ocupa, es bastante interesante tomarnos la molestia de comprobar los valores de la solución de los que hemos hablado, y para otros casos en los que no sea tan fácil ver la solución tan 'alegremente', es evidente que no podremos prescindir de ello.

Recordemos que estamos buscando valores positivos de $x$. Para ello, una buena idea para empezar es extraer logaritmos en cada miembro de la igualdad:
  $x^x=x^2$
    $\ln(x^x)=\ln(x^2)$
      $x\,\ln(x)=2\,\ln(x)$
        $x\,\ln(x)-2\,\ln(x)=0$
          $(x-2)\cdot \ln(x)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-2=0 \\ \ln(x)=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}2 \\ 1 \end{matrix}\right.$

En conclusión: la solución de la ecuación pedida $x^x=x^2$ consta de los siguientes valores: $\{1,2\}$

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Un problema de Olimpiada Matemática sobre números enteros positivos

En este artículo quiero mostrar la resolución de la ecuación $m+2\,m\,n+n=22$, donde $m$ y $n$ son números enteros positivos. No se trata de un ejercicio al uso en un curso estándar de bachillerato; en realidad, corresponde a un problema aparecido en alguna edición de la Olimpiada Matemática, pero creo que bien merece atención, por el valor formativo y por la estética del planteamiento, tal como enseguida veremos. Como idea general, en cuanto al enfoque de la resolución, se trata de factorizar la expresión algebraica que, toda vez transformada la ecuación convenientemente, permitirá razonar acerca de las posibilidades para obtener la cantidad el segundo miembro.

De entrada, no parece que el primer miembro se brinde de manera directa a la factorización que se persigue, por lo que vamos a multiplicar por $2$ ambos miembros, para que el tercer término del primer miembro sea más propicio a poder realizar la factorización de la que estamos hablando:
  $m+2\,m\,n+n=22$
    $2\,(m+2\,m\,n+n)=2\cdot 22$
      $2\,(m+2\,m\,n)+2\,n=44$
        $2\,m\,(1+2\,n)+2\,n=44$
Convendría ahora poder extraer factor común de $1+2\,n$, pero, para ello, nos falta un $1$ en el primer miembro, por lo que vamos a sumar $1$ a cada miembro; así, tenemos casi preparada la ecuación equivalente que se va a prestar a la factorización del primer miembro:
        $2\,m\,(1+2\,n)+2\,n+1=44+1$
          $2\,m\,(1+2\,n)+(1+2\,n)=45$
Ahora, ya sí, podemos realizar la factorización:
          $(2\,m+1)\,(1+2\,n)=45$
Notemos ahora que la cantidad del segundo miembro, expresada como producto de factores primos, es $45=3\cdot \cdot 5$; pero, como en el primer miembro tenemos dos factores algebraicos, nos interesa escribirla como producto de dos (y no de tres) factores, los cuales pueden ser: $1\cdot 45$, $45\cdot 1$, $3\cdot 15$, $15\cdot 3$, $9\cdot 5$ y $5 \cdot 9$

Por otra parte, si nos fijamos bien en las expresiones de la factorización del primer miembro, y teniendo en cuenta que $m$ y $n$ han de ser números enteros positivos, com el número entero positivo más pequeño es $1$ resulta que tanto $2\,m+1$ como $2\,n+1$ han de ser mayores o iguales que $2\cdot 1+1=3$, por lo que las dos primeras posibilidades, $1\cdot 45=45$ y $45\cdot 1=45$, debemos descartarlas por la inviabilidad de ese factor $1$. Entonces, sólo nos queda investigar las cuatro últimas posibilidades:

• Para la tercera posibilidad, $3\cdot 15=45$, tenemos que $2\,m+1=3$, luego $m=1$; y $2\,n+1=15$, por lo que $n=7$. Ya tenemos una parte de la solución: $(m,n)=(1,7)$
• Para la cuarta posibilidad, $15\cdot 2=45$, tenemos que $2\,m+1=15$, y por tanto $m=7$; y $2\,n+1=3$, por lo que $n=1$. Tenemos otro elemento de la solución: $(m,n)=(7,1)$
• Para la quinta posibilidad, $9\cdot 5=45$, se tiene que $2\,m+1=9$, es decir $m=4$; y $2\,n+1=5$, por lo que $n=2$, así que otro elemento de la solución: $(m,n)=(4,2)$
• Y, para la sexta posiblidad, $5\cdot 9=45$, se tiene que $2\,m+1=5$, en consecuencia $m=2$; y $2\,n+1=9$, por lo que $n=4$, así que el último elemento de la solución es $(m,n)=(2,4)$

Resumiendo, la solución viene dada por el siguiente conjunto de parejas $(m,n)$ de números enteros positivos: $$\displaystyle \left\{(1,7),(7,1),(4,2),(2,4)\right\}$$

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El uso de identidades puede facilitar la factorización de polinomios, para, por ejemplo, resolver una ecuación algebraica

He encontrado esta interesante ecucació $$x^4=(x-1)^4$$ Voy a resolverla en el conjunto de los números complejos

  $x^4=(x-1)^4$
    $x^4-(x-1)^4=0$
      $(x^2)^2-((x-1)^2)^2=0$
        $(x^2-(x-1)^2))(x^2+(x-1)^2))=0$
          $(x^2-(x^2-2x+1))(x^2+(x^2-2x+1))=0$
            $(x^2-x^2+2x-1)(x^2+x^2-2x+1)=0$ (aquí hago uso de la identidad $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$)
              $(2x-1)(2\,x^2-2x+1)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2x-1=0 & (1) \\ x^2-2x+1=0 & (2)\end{matrix}\right.$

1. De $(1)$ se obtiene $x=\dfrac{1}{2}$
2. Y, de $(2)$, $x=\dfrac{1}{2}\\ 2\,x^2-2x+1 = 0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 2\cdot 1}}{2\cdot 2}=\dfrac{2\pm \sqrt{-4}}{4}=$
             $=\dfrac{2\pm \sqrt{ 4\cdot (-1)}}{4}=\dfrac{2 \pm \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}}{4}=\dfrac{2 \pm 2\cdot i}{4}=\dfrac{1}{2}\pm \dfrac{1}{2}\,i$

La solución está formada pues por dos valores complejos, $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\,i$ y $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\,i$, y un valor real, $\dfrac{1}{2}$. No ha de sorprendernos que obtengamos tres valores en la solución, y no cuatro, pues, en realidad, el polinomio $x^4-(x-1)^4$ es de tercer grado, ya que los términos de grado cuatro se anulan. $\diamond$

Cálculo de funciones derivadas

Derívese la función $y=(2^{x})^x$

$y=(2^{x})^x=2^{x\cdot x}=2^{x^2}=\left(e^{\ln(2)}\right)^{x^2}=e^{x^2\cdot \ln(2)} \therefore $
  $ \therefore y'=e^{x^2\cdot \ln(2)} \cdot (x^2\cdot \ln(2))'=2\,\ln(2)\cdot x\cdot e^{x^2\cdot \ln(2)} = 2\,\ln(2)\cdot x\cdot 2^{x^2} = 2\,\ln(2)\cdot x\cdot (2^{x})^x =$
    $= \ln(2^2)\cdot x\cdot (2^{x})^x = \ln(4)\cdot x\cdot (2^{x})^x $
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Cuidado con las potencias sucesivas a la hora de derivar

Derívese la función $y=2^{x^{0^{x}}}$, siendo $x\neq 0$

Como en la expresión de las sucesivas potencias que definen esta función no hay paréntesis que alteren la prioridad de las mismas, hay que ir atendiendo en primer lugar, y como es bien sabido (por las propiedades elementales), las potencias más externas (las que van apareciendo más arriba, actualizando la expresión que vaya quedando):
  $y=2^{x^{0^{x}}}=2^{x^0}$, ya que, al ser $x\neq 0$, $0^x=0$
    Por tanto, tenemos $y=2^{x^{0^{x}}}=2^{x^0}$
    Y como al ser $x\neq 0$, $x^0=1$, se tiene que $y=2^{x^{0^{x}}}=2^{x^0}=2^1=2=\text{constante}$
Por consiguiente, como la derivada de una función constante (no experimenta variación alguna) es, lógicamente, la función nula, concluimos que $y'=0$
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Un ejercicio de derivación entretenido

Derívese la función $y=x^{x^{x}}$

  $y=x^{x^{x}}$
    $\ln(y)=\ln\left(x^{x^{x}}\right)$
      $\ln(y)=x^x\,\ln(x)$
        $(\ln(y))'_x=(x^x\,\ln(x))'$
          $(\ln(y))'_y\cdot y'=(x^x\,\ln(x))'$
            $\dfrac{1}{y}\,y'=(x^x\,\ln(x))'$
              $\dfrac{1}{y}\,y'=(x^x)'\,\ln(x)+x^x\,(\ln(x))'$
En esta otra entrada del blog he calculado la derivada de $x^x$, que es igual a $(x^x)'=x^x\,(1+\ln(x))$; por otra parte, $(\ln(x))'=\dfrac{1}{x}$, con lo cual, la línea anterior queda:
              $\dfrac{1}{y}\,y'=x^x\,(1+\ln(x))\cdot\ln(x)+x^x\cdot \dfrac{1}{x}$
                $\dfrac{1}{y}\,y'=x^x\,\left((1+\ln(x))\cdot\ln(x)+\dfrac{1}{x}\right)$
                  $y'=x^{x^{x}}\cdot x^x\cdot \left((1+\ln(x))\cdot\ln(x)+\dfrac{1}{x}\right)$
                    $\displaystyle y'=x^{x^x+x}\cdot \dfrac{1}{x}\cdot \left(x\cdot \left(1+\ln(x)\right)\cdot\ln(x)+1\right)$
                      $\displaystyle y'=x^{x^x+x}\cdot x^{-1}\cdot \left(x\,\left(1+\ln(x)\right)\cdot\ln(x)+1\right)$
                        $\displaystyle y'=x^{x^x+x-1}\cdot \left(x\,\ln(x)+x\,\ln(x)\cdot \ln(x)+1\right)$
                          $\displaystyle y'=x^{x^x+x-1}\cdot \left(\ln(x^x)+\ln(x)\cdot \ln(x^x)+1\right)$
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Derivada de $k^x$, siendo $0\lt k\neq e$

Derívese la función $f(x)=k^x$

En primer lugar, hagamos algunos arreglos, que, como vamos a ver enseguida, son convenientes para poder utilizar la regla de derivación adecuada:
  $f(x)=k^x=(e^{\ln(k)})^x=e^{x\,\ln(k)}$
De ahí, por las reglas de derivación de la función exponencial e base $e$ y de la cadena (derivada de una función compuesta): Dada $f(x)=e^{u(x)}$, su función derivada es $f'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x)$; como $u(x)=x\,\ln(k)$, tendremos pues que
    $f'(x)=(x\,\ln(k))'\cdot e^{x\,\ln(k)}=\ln(k)\cdot e^{x\,\ln(k)}=\ln(k)\cdot k^x$
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Un ejemplo de derivación de una función compuesta

Se pide calcular la derivada de la función $\displaystyle f(x)=e^{\sin(x^3+\cos(x))}$

Denotemos $v(x)=x^3+\cos(x)$ y $u(v)=\sin(v)$, esclareciendo así la siguiente función compuesta: $f(x)=e^{u(v(x))}$

Por tanto, por la regla de la cadena se tiene que $\displaystyle f'_x=f'_u\,u'_v\,v'_x \quad (1)$, y siendo $f'_u=e^u$, $u'_v=\cos(v)$ y $v'_x=3x^2-\sin(x)$, aplicando $(1)$, se llega a $f'(x)=e^{\sin(x^3+\cos(x))}\cdot \cos(x^3-\sin(x))\cdot (3x^2-\sin(x))$

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Un ejemplo de resolución de una ecuación polinómica en el conjunto de los números complejos

En este ejercicio voy a obtener los números reales y complejos que satisfacen la igualdad $x^5+x=0$, recurriendo a las propiedades básicas del álgebra.

  $x^5-x=0$
    $x\,(x^4-1)=0$
      $x\,((x^2)^2-1^2)=0$
        $x\,(x^2+1)(x^2-1)=0$ , por la identidad $a^2+b^2=(a+b)(a-b)$
Entonces,
  $x\,(x^2+1)(x^2-1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 \\ x^2-1=0 \Leftrightarrow x^2=1 \Leftrightarrow x=\pm\,1 \\ x^2+1=0 \Leftrightarrow x^2=-1 \Leftrightarrow x=\pm\,i \end{matrix} \right.$ Luego el conjunto pedido es $\{-1,0,1,-i,i\}$

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Ejemplo de un polinomio con raíces complejas

En este ejercicio voy a encontrar las raíces rales y complejas del polinomio $x^3+8$.

Recordemos que, por el teorema fundamental del álgebra, todo polinomio de grado $n$ (n. natural) con coeficientes reales tiene $n$ raíces, las cuales pueden ser reales o bien complejas. Por otra parte, una raíz de un polinomio es todo número que lo anula, luego parto de dicha condición:
  $x^3+8=0$
    $x^3+2^3=0$
      $(x+2)(x^2-2\,x+2^2=0$, por la identidad $(a^3+b^3)=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
        Entonces, $(x+2)(x^2-2\,x+2^2=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+2=0 & \quad (1)\\ x^2-2\,x+4=0 & \quad (2)\end{matrix} \right.$ De $(1)$ se obtiene una primera raíz: $x=-2$, y de $(2)$ se tiene que $x^2-2x+4=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1 \cdot 4}}{2\cdot 1}$
  $=\dfrac{2 \pm \sqrt{-12}}{2}=\dfrac{2 \pm 2\,\sqrt{-3}}{2}=1\pm \sqrt{-3}= 1 \pm \sqrt{3\cdot (-1)}=1 \pm \sqrt{3}\cdot\sqrt{-1}=1\pm \sqrt{3}\,i$
Así pues, las raíces del polinomio pedido son: $r_1=-2 \in \mathbb{R}$, $r_2=1-\sqrt{3}\,i \in \mathbb{C}$ y $r_3=1+\sqrt{3}\,i \in \mathbb{C}$

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Una ecuación polinómica de tercer grado. Soluciones reales y complejas

En este ejercicio voy a resolver la ecuación $x^3+x^2+x+1=0$, en el conjunto de los números complejos.

Para ello, opto por factorizar, paso a paso, la expresión del primer miembro, recurriendo simplemente a las propiedades algebraicas elementales:
  $x^3+x^2+x+1=0$
    $x\cdot x^2+x^2+x+1=0$
      $x^2\,(x+1)+x+1=0$
        $x^2\,(x+1)+(x+1)=0$
          $(x+1)\,(x^2+1)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+1=0 \Leftrightarrow x=-1\\ x^2+1=0 \Leftrightarrow x^2=-1 \Leftrightarrow x=\pm\,\sqrt{-1}=\pm\,i\end{matrix}\right.$
Así pues, la solución viene dada por el siguiente conjunto de valores $\{-1,-i,i\}$

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Un problema sobre movimientos circulares uniformes

Dos cochecitos de juguete recorren un circuito circular, en sentidos opuestos, cada uno en el respectivo carril. El radio del circuito mide $4\,\text{m}$. Uno de ellos, $A$, se mueve con una velocidad lineal de $1\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ y el otro, $B$, a $3\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Los dos coches, separados una distancia de $2\,\text{m}$ (longitud de arco que los separa), arrancan en el mismo instante. ¿Cuánto tardarán en cruzarse? ¿En qué posición se producirá dicho cruce?

Voy a resolver el problema planteándolo en términos de magnitudes angulares. La velocidad angular de $A$ es $w_A=\dfrac{v_A}{r}=\dfrac{3}{4}\,\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$, y la velocidad angular de $B$, $w_B=\dfrac{v_B}{r}=\dfrac{1}{4}\,\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. Por otra parte, como la longitud de arco que los separa antes de que se pongan en movimiento es $s_0=2\,\text{m}$, la separación angular correspondiente es $\theta_0=\dfrac{s_0}{r}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\,\text{rad}$

Situemos el sistema de referencia, pongamos que en la posición de salidad de $A$, entonces la ecuación del movimiento de $A$ es $\theta_{A}(t)=\theta_{0}(A)+w_A\,t=0+\dfrac{1}{4}\,t=\dfrac{1}{4}\,t$, y la ecuación del movimiento de $B$, $\theta_{B}(t)=\theta_{0}(B)+w_B\,t=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\,t$.

En el cruce, deberá cumplirse que la suma de las posiciones angulares sea igual a una vuelta completa, esto es $2\,\pi\,\text{rad}$, por consiguiente, escribiremos: $\theta_{A}(t)+\theta_{B}(t)=2\,\pi$, ecuación que permite calcular el tiempo que pasa desde que salen hasta que se cruzan:
  $\dfrac{1}{4}\,t+\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\,t=2\,\pi$
    $\dfrac{1}{4}\,t+\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\,t=2\,\pi$
      $t+\dfrac{1}{2}=2\,\pi$
        $t=2\,\pi-\dfrac{1}{2} \approx 4,8 \,\text{s}$

Para calcular la posición angular del punto de cruce referida a la posición de salida de $A$, simplemente calcularemos $\theta_{A}(2\,\pi-\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{4}\cdot (2\,\pi-\dfrac{1}{2})=\dfrac{4\,\pi-1}{8}\,\text{rad}$, que expresada en longitud de arco como distancia al punto de partida de $A$ (basta multiplicar por el valor del radio del circuito) es igual a $(\dfrac{4\,\pi-1}{8})\cdot 4 \text{m} = \dfrac{4\,\pi-1}{2}\,\text{m}$.

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Nota 1: Comprobamos que $\left(\dfrac{4\,\pi-1}{8}\,\text{rad}\right)+\left(\dfrac{12\,\pi+1}{8}\,\text{rad}\right)=\dfrac{16\,\pi}{8}=2\,\pi\,\text{rad}$, como debe ser.

Nota 2: Para calcular la posición angular del punto de cruce referida a la posición de salida de $B$, calcularemos $\theta_{B}(2\,\pi-\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\cdot ( 2\,\pi-\dfrac{1}{2} )=\dfrac{12\,\pi+1}{8}\,\text{rad}$, que expresada en longitud de arco como distancia al punto de partida de $B$ es $(\dfrac{12\,\pi+1}{8})\cdot 4 \,\text{m} = \dfrac{12\,\pi+1}{2} \,\text{m}$

Nota 3: Comprobemos que la suma de las longitudes de arco correspondientes a las posiciones de cruce calculadas (con respecto a la posición de salida de $A$, y de la posición de salida de $B$) sea igual a la longitud de la circunferencia; en efecto: $\dfrac{4\,\pi-1}{2}\,\text{m} + \dfrac{12\,\pi+1}{2} \,\text{m} = \dfrac{16\,\pi}{2}\,\text{m}=8\,\pi\,\text{m}$, que es igual a la longitud de la circunferencia del circuito: $2\,\pi\,r=2\,\pi\cdot 4=8\,\pi\,\text{m}$.

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Un cálculo de velocidad media a partir de un movimiento adelante-atrás con un patrón de sucesiones aritméticas

Un cochecito robot se mueve en línea recta, saliendo de un punto $O$. En el primer segundo avanza $10\,\text{cm}$ —la posición de salida, $x_0=0\,\text{cm}$, corresponde al origen de tiempo, $t_0=0\,\text{s}$— y en el segundo segundo retroce $6\,\text{cm}$; en el tercer segundo avanza $12\,\text{cm}$ y en el cuarto segundo retroce $8\,\text{cm}$; en el quinto segundo avanza $14\,\text{cm}$ y en el sexto segundo retroce $10\,\text{cm}$; y, así, sucesivamente, hasta que han transcurrido $51$ segundos. Finalmente, ¿en que posición se encuentra con respecto al punto $A$? ¿cuál es la velocidad media del coche entre el punto inicial $O$ y el punto final del recorrido?

La distancia desde la posición final a $O$ es, por definición de distancia entre dos puntos de una recta, $d:=x_{51}-x_{0}=x_{51}-0=x_{51}$, donde $x_i$ denota las posiciones en los instantes $0,1,2,\ldots,51$, con $x_0=0$ (posición de salida). Por tanto, la distancia pedida viene dada por la suma $$d=x_{1}+x_2+x_3+x_4+\ldots+x_{50}+x_{51}$$ donde los términos/sumandos con índice impar corresponden a los avances (positivos) y los términos con índice par a los pasos de retroceso (que son negativos), es decir, $$d=10+(-6)+12+(-8)+14+(-10)+16+(-12)+\overset{\underbrace{51}}{\ldots}+\ell+(-m)$$ siendo $\ell$ el último avance (el del quincuagésimo primer segundo, y por tanto el vigésimo sexto en el conjunto de los avances) y $m$ el último retroceso (el del quincuagésimo segundo, y por tanto el vigésimo quinto en el conjunto de los retrocesos). Esta suma podemos separarla a su vez en dos sumas, la suma de los pasos $26$ términos positivos que corresponden a los pasos de avance $$10+12+14+16+\overset{\underbrace{26}}{\ldots}+\ell$$ y la suma de los $25$ términos negativos que corresponden a los pasos de retroceso $$-6+(-8)+(-10)+(-12)+\overset{\underbrace{25}}{\ldots}+m$$ Observemos que la suma de los términos positivos es la de una progresión aritmética (la de los $26$ pasos de avance), de diferencia igual a $2$, con primer término igual a $10$, y último término $m=10+(26-1)\cdot 2 = 60$, luego $10+12+14+16+\overset{(26)}{\ldots}+260=26\cdot \dfrac{10+60}{2}=910$.

Por otra parte, la suma de los términos negativos es la de una progresión aritmética (la de los $25$ pasos de retroceso) de diferencia igual a $-2$, con primer término giual a $-6$, y último término $m=-6+(25-1)\cdot (-2) = -54$, luego $-6+(-8)+(-10)+(-12)+\overset{(25)}{\ldots}+(-54)=25\cdot \dfrac{(-6)+(-54)}{2}=-750$.

Entonces, $d=910+(-750)=160\,\text{cm}$, que corresponde al valor de la coordenada de la posición final $x_{51}$. Calculo ahora la velocidad media: $$v_m:=\dfrac{\Delta\,x}{\Delta\,t}=\dfrac{x_{\text{final}}-x_{\text{inicial}}}{t_{\text{final}}-t_{\text{inicial}}}=\dfrac{x_{51}-x_{0}}{t_{51}-t_{0}}=\dfrac{160-0}{51-0}=\dfrac{160}{51}\,\dfrac{\text{cm}}{\text{s}}$$

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Una aproximación al modelo binomial de variable aleatoria

En una población se sabe que el $1\,\%$ de los individuos tienen los ojos verdes. De $10$ individuos (elegidos al azar), ¿cuál es la probabilidad de que exactamente tres de ellos tengan los ojos verdes?

Este problema es muy similar al lanzamiento repetido de una moneda (no equilibrada). Para un cierto individuo (elegido al azar), podemos asimilar el que salga cara a que tenga los ojos verdes; según la información del enunciado, la probabilidad de que tenga los ojos verdes, $p$, es $0,01$, y la probabilidad de que no tenga los ojos verdes (suceso contrario), $q$, será, por tanto, $1-p=1-0,01=0,99$. Entonces, podemos imaginar que lanzamos la moneda $20$ veces (los lanzamientos son independientes unos de otros), con lo cual, hay $\binom{10}{3}$ posibilidades a la hora de seleccionar los tres individuos (sobre un total de $10$) a los que se refiere la pregunta del enunciado. Por consiguiente, como los resultados de los 'lanzamientos' son independientes, la probabilidad pedida es $\binom{10}{3}\cdot 0,01^3 \cdot 0,99^{10-3}\approx 1,118\cdot 10^{-4}$.

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Comentario (generalización y notación): Denominemos $X$ a la variable aleatoria que representa cuántos individuos tienen los ojos verdes (dado el conjunto de individuos por el que nos estamos preguntando, que, en general pongamos que sea $n$); así, los posibles valores que puede tomar dicha variable aleatoria son los del conjunto $X=\{0,1,2,\ldots,n\}$. En las condiciones expuestas (independencia de sucesos y estricta dualidad en los resultados: tener cierta característica o bien no tenerla), nos referiremos formalmente a la probabilidad pedida como modelo de probabilidad binomial de varable aleatoria; así, la probabilidad de que $m$ de los $n$ individuos, con $m \le n$, tengan la característica por la que nos preguntamos, tener los ojos verdes (lo contrario es no tener los ojos verdes, y no hay más posibilidades) con la siguiente notación (que es la que utilizaremos para todos los problemas que se ajusten a ese modelo de probabilidad): $$\displaystyle P(\{X=m\})=\binom{n}{m}\cdot p^{m}\cdot (1-p)^{n-m}$$

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Resolución de inecuaciones. Otro ejemplo

Consideremos la función $f(x)=(2^x-1)(x+2)$. De manera parecida al ejercicio anterior, queremos determinar para qué valores de la variable independiente $x$ esta función toma valores positivos; es decir, queremos resolver la inecuación $$f(x) \gt 0$$

El dominio de definición de esta función es todo el conjunto de los números reales. Veamos primero para qué valores de $x$ se anula (raíces de dicho polinomio); así podremos ver los intervalos en los que queda dividido su dominio de definición (que es la recta completa de los números reales).

Para ello, impongamos la condición necesaria para que un cierto valor de $x$ sea raíz de la función $f(x)$:
  $f(x)=0$
    $(2^x-1)(x+2)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2^x-1=0 \Rightarrow x=0\\x+2=0 \Rightarrow x=-2\end{matrix}\right.$
Ésas son las raíces: $-2$ y $0$; por tanto el dominio (la recta de los números reales) queda dividida en los siguientes intervalors: $(-\infty,-2]$, $(-2,0)$ y $(0,+\infty)$, en los que la función toma signo positivo o bien negativo.

Para ver dónde toman valores positivos o negativos los factores de la función basta tomar un valor cualquiera que pertenezca a cada intervalo y, sustituyéndo $x$ por dicho valor en la expresión algebraica, calcular el signo del factor. Así podemos deducir fácilmente el signo de la propia función $f(x)$ en cada intervalo (multiplicando los signos que toman los factores en dichos intervalos). Organizamos este análisis en la siguiente tabla de resultados:

                    (-infinito,-2)             (-2,0)         (0,+infinito)
2^x-1                  negativo               negativo         positivo
x+2                    negativo               positivo         positivo
                              
(2^x-1)·(x+2)          positivo               negativo         positivo
 

El resultado lo extraemos de la última línea de la tabla: $$f(x) \gt 0 \,\forall x \in (-\infty,-2) \cup (0,+\infty)$$ $\diamond$

Resolución de inecuaciones polinómicas. Un ejemplo

Consideremos el polinomio $P(x)=x^2+8x+7$. Nos proponemos determinar para qué valores de la variable independiente $x$ este polinomio toma valores positivos; es decir, queremos resolver la inecuación $$P(x) \gt 0$$

Veamos primero para qué valores de $x$ se anula (raíces de dicho polinomio); así podremos ver los intervalos en los que queda dividido su dominio de definición (que es la recta completa de los números reales).

Para ello, impongamos la condición necesaria para que un cierto valor $x$ sea raíz de $P(x)$:
  $P(x)=0$
    $x^2+8x+7=0$
      $x^2+x+7x+7=0$
        $x(x+1)+7(x+1)=0$
          $x(x+1)+7(x+1)=0$
            $(x+1)\left(x+7\right)=0 \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right.$
Ésas son las raíces: $-7$ y $-1$; por tanto $\mathbb{R}$ queda dividida en los siguientes intervalos, en los que el polinomio es positivo o bien negativo: $(-\infty,-7)$, $(-7,-1)$ y $(-1,+\infty)$

Para ver dónde toman valores positivos o negativos los factores del polinomio basta un valor cualquiera que pertenezca a cada intervalo y, sustituyendo $x$ por dicho valor en la expresión algebraica, calcular el signo de su valor. Así podemos deducir fácilmente el signo del propio polinomio $P(x)$ en cada intervalo (multiplicando los signos que toman los factores en dichos intervalos). Organizamos este análisis en la siguiente tabla de resultados:

                  (-infintio,-7)             (-7,-1)       (-1,+infinto)
x+1                    negativo             negativo         positivo
x+7                    negativo             positivo         positivo
                              
(x+1)·(x+7)            positivo             negativo         positivo
 

El resultado lo deducimos de la última línea de la tabla: $$P(x) \gt 0 \,\forall x \in (-\infty,-7) \cup (-1,+\infty)$$ $\diamond$

Cálculo del ángulo entre dos números complejos en el diagrama de Argand (plano complejo)

Consideremos los números complejos $w=-1+2i$ y $z=1+3i$, ¿qué ángulo forman entre sí?

Observemos que el afijo de $w$ está en el segundo cuadrante del plano de Argand, pues $\mathcal{Re}(w)\lt 0$ y $\mathcal{Im}(w)\gt 0$; y, el afijo de $z$ está en el primer cuadrante, ya que $\mathcal{Re}(z)\gt 0$ y $\mathcal{Im}(z)\gt 0$. Así pues $90^{\circ}\lt \text{Arg}(w) \lt 180^{\circ}$, mientras que $0^{\circ}\lt \text{Arg}(z) \lt 90^{\circ}$. Nota: En este ejercicio, por comodidad, he decidido expresar los ángulos en grados sexagesimales.

Calculo ahora los argumentos principales, aproximando a la cifra de las unidades: $\text{Arg}(z)=\text{arctan}\left( \dfrac{\mathcal{Im}(z)}{\mathcal{Re}(z)} \right)=\text{arctan}\,(\dfrac{3}{1})=\text{arctan}(3)\approx 72^{\circ}$ y $\text{Arg}(w)=\text{arctan}\left( \dfrac{\mathcal{Im}(w)}{\mathcal{Re}(w)} \right)=\text{arctan}\,(\dfrac{2}{-1})=\text{arctan}(-2)\approx 117^{\circ}$

El ángulo que forman los dos números complejos en el plano de Argand será por tanto igual a la diferencia (en valor absoluto) de los argumentos principales: $$\measuredangle(w,z)=|\text{Arg}(w)-\text{Arg}(z)|=117^{\circ}-72^{\circ}=45^{\circ}$$ $\diamond$

Cálculo de la potencia $z^{22}$, siendo $z$ el número complejo del ejercicio anterior

En el artículo precedente habíamos visto que $$z=\dfrac{2+i}{3-i}$$ puede expresarse de manera exponencial como $$\displaystyle z=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}$$ o, lo que es lo mismo, $$\displaystyle z=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}$$ Ahora, vamos a calcular la potencia $z^{22}$

Teniendo expresado $z$ de manera exponencial es sencillo calcular una potencia de exponente entero del mismo:
    $z^{22}=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}\right)^{22}$
        $=\left(\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right)^5\cdot \left(e^{i\,\frac{\pi}{4}}\right)^{22}$
          $=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{22}\cdot e^{i\,\frac{22\,\pi}{4}}$
            $=\left(\dfrac{1}{2^{\frac{1}{2}}}\right)^{22}\cdot e^{i\,\frac{11\,\pi}{2}}$
              $=\dfrac{1}{2^{\frac{22}{2}}}\cdot e^{i\,\frac{11\,\pi}{2}}$
                $=\dfrac{1}{2^{11}}\cdot e^{i\,\frac{11\,\pi}{2}}$
                  $=\dfrac{1}{2\,048}\cdot e^{i\,\frac{11\,\pi}{2}}$
Ahora bien, no hemos terminado, pues si queremos expresar $z^{22}$ en forma exponencial, debemos quedarnos con el argumento principal de dicho número complejo, y éste no puede ser mayor que $2\,\pi$, entonces, como el ángulo con que nos encontramos en la última línea es $\dfrac{11\,\pi}{2}\gt 2\pi$, tenemos que deducir cuál es el ángulo equivalente en la primera vuelta:
  Observemos que $11=2\cdot 5+1$, luego $\dfrac{11}{2}=\dfrac{2\cdot 5}{2}+\dfrac{1}{2}=5+\dfrac{1}{2}$; por consiguiente, $\dfrac{11\,\pi}{2}=5\,\pi+\dfrac{\pi}{2}=6\,\pi-\pi+\dfrac{\pi}{2}=6\,\pi+(-\dfrac{\pi}{2})=3\cdot 2\,\pi+(-\dfrac{\pi}{2})$, es decir, $\dfrac{11\,\pi}{2}$ es lo mismo que $3$ vueltas menos un cuarto de vuelta, luego el argumento principal es ese cuarto de vuelta negativo: $\text{Arg}(z^{22})=-\dfrac{\pi}{2}$

En conclusión,
  $\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}\right)^{22}=$     $=\dfrac{1}{2\,048}\cdot e^{-\frac{i\pi}{2}}$
      $=\dfrac{1}{2\,048}\cdot \left(\cos\,(-\frac{\pi}{2})+i\,\sin\,(-\frac{\pi}{2})\right)$
        $=\dfrac{1}{2\,048}\cdot \left(0+i\cdot (-1)\right)$
          $=-\dfrac{1}{2\,048}\cdot i$
que es un número imaginario puro, pues su parte real es nula, $\mathcal{Re}(z^{22})=0$.

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Un ejercicio para hallar la forma exponencial de un número complejo

Sea el número complejo $$z=\dfrac{2+i}{3-i}$$ Me propongo expresarlo de la forma $$z=|z|\cdot e^{i\,\theta}$$ donde $\theta$ es el ángulo polar y $|z|$ denota el módulo de dicho número complejo

Podemos calcular el módulo $|z|$ de varias maneras. Una de ellas consiste en manejar el cociente con el que se define dicho número para expresarlo en forma binómica, $z=a+ib$, con $a,b\in \mathbb{R}$, y, a continuación, hallar su módulo: $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. Procedo de esta manera:
  $z=\dfrac{2+i}{3-i}$. Multiplicando y dividiendo por el complejo conjugado del denominador:
    $=\dfrac{2+i}{3-i}\dfrac{3+i}{3+i}$
      $=\dfrac{(2+i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}$
        $=\dfrac{6+(3+2)i+i^2}{(3^2+3i-3i-i^2}$
          $=\dfrac{6+5i+-(1)}{(3^2-(-1)}$
            $=\dfrac{5+5i}{10}$
              $=\dfrac{5(1+i)}{10}$
                $=\dfrac{1}{2}\cdot (1+i) \quad (1)$
Entonces,
  $|z|=|\dfrac{1}{2}|\cdot |1+1\cdot i|$
    $=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{1^2+1^2}$
      $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
        $=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
De $(1)$ podemos deducir ya el ángulo polar de $z$, para el que tomamos el argumento principal del mismo, $\theta =\text{Arg}(z)$, con $0\le \text{Arg}(z) \le 2\pi$:
  $\theta=\text{Arg}(z):=\arctan\left(\dfrac{\mathcal{Im}(z)}{\mathcal{Re}(z)}\right)$, y teniendo en cuenta que $\text{Arg}\left(\dfrac{1}{2}\,(1+i)\right)=\text{Arg}(1+i)$, se tiene que, como $\mathcal{Re}(1+i)=1$ y $\mathcal{Im}(1+i)=1$, $\theta=\text{arctan}\left(\dfrac{1}{1}\right)=\text{arctan}(1)$. Por otra parte, el afijo de $z$ se encuentra en el primer cuadrante del plano de Argand (o plano complejo), pues $\mathcal{Re}(z)\gt 0$ y $\mathcal{Im}(z)\gt 0$, luego $\theta=\dfrac{\pi}{4}$. Nota: Recordemos que los ángulos los expresamos en radianes.
En consecuencia, ya podemos escribir el número complejo en forma exponencial: $$\displaystyle z=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}$$

Observación:

También podemos calcular el módulo de $z$ de la siguiente manera:
  $|z|=\left|\dfrac{2+i}{3-i}\right|$
      $=\dfrac{\left|2+i\right|}{\left|3-i\right|}$
        $=\dfrac{\sqrt{2^2+1^2}}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}$
          $=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$
            $=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5\cdot 2}}$
              $=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}}$
                $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
                  $=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

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Ejemplo de una ecuación que no tiene solución en el conjunto de los números reales, pero que sí la tiene en el de los números complejos

Estudiemos la siguiente ecuación $$\sqrt{x}+\sqrt{-x}=2$$

Esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales, pues en el caso de que $x\gt 0$, el segundo término del primer miembro no está definido en $\mathbb{R}$ pues el argumento de la raíz cuadrada, $-x$ es negativo. Por otra parte, si $x\lt 0$, ocurre que no está definido en $\mathbb{R}$ el primer término, ya que el argumento de la ráiz cuadrada es negativo. Y, es evidente que $x$ no puede tomar el valor $0$ pues, en tal caso obtendríamos una contradicción $\sqrt{0}+\sqrt{0} = 0 \neq 2$.

No obstante, sí tiene solución en el conjunto de los números complejos $\mathbb{C}$. Veámoslo:
$\sqrt{x}+\sqrt{-x}=2$
  $\sqrt{x}=2-\sqrt{-x}$
    $(\sqrt{x})^2=(2-\sqrt{-x})^2$
      $x=4 - 4\,\sqrt{-x}+(\sqrt{-x})^2$
        $x=4 - 4\,\sqrt{-x}+(-x)$
          $2x=4\,(1 - \sqrt{-x})$
            $x=2\,(1 - \sqrt{-x})$
              $x=2 - 2\,\sqrt{-x}$
                $x-2=-2\,\sqrt{-x}$
                  $(x-2)^2=(-2\,\sqrt{-x})^2$
                    $(x-2)^2=(-2)^2\,(\sqrt{-x})^2$
                      $x^2-4x+4=4\cdot (-x)$
                        $x^2-4x+4=-4x$
                          $x^2-4x+4x+4=0$
                            $x^2+4=0$
                              $x^2=-4$
                                $\sqrt{x^2}=\pm\,\sqrt{-4}$
                                  $x=\pm\,\sqrt{(-1)\cdot 4}$
                                    $x=\pm\,\sqrt{(-1)}\cdot \sqrt{4}$
                                      $x=\pm\,i\cdot 2$
                                        $x=\pm\,2i$
La solución a la ecuación pedida consta pues de dos números complejos: $2i$ y $-2i$. $\diamond$

Un cálculo interesante con números complejos

En este ejercicio de cálculo con números complejos se pide hallar el resultado de la siguiente operación $$\sqrt{2i}+\sqrt{-2i}$$ lo cual sirve de comprobación de la solución encontrada en este otro ejercicio de resolución de ecuaciones.

Para ello, utilizaremos la fórmula de Euler: siendo $z=a+i\,b$ ($a,b\in \mathbb{R}$ ) un número complejo, entonces puede expresarse de la forma $z=|z|\,e^{i\,\theta}=|z|\,(\cos\,\theta+i\,\sin\,\theta)$, donde $|z|$ es el módulo de dicho número y $\theta$ es su ángulo polar, esto es $\theta=\text{arctan}\,\left(\dfrac{b}{a}\right)$, donde, a la hora de determinar el cuadrante donde se sitúa el afijo de dicho número en el plano de Argand, los signos de $b$ y $a$.

Por la fórmula de Euler, $2i=2\,e^{i\,\frac{\pi}{2}}$; en efecto, $2\,e^{i\,\frac{\pi}{2}}=2\,(\cos\,\frac{\pi}{2}+i\,\sin\,\frac{\pi}{2})=2\,(0+i)=2i$ y $-2i=2\,e^{-i\,\frac{\pi}{2}}$, ya que $2\,e^{-i\,\frac{\pi}{2}}=2\,(\cos\,(-\frac{\pi}{2})+i\,\sin\,(-\frac{\pi}{2}))=2\,(0-i)=-2i$
Entonces, podemos expresar $\sqrt{2i}+\sqrt{-2i}$ de la siguiente forma,
  $\sqrt{2\,e^{i\frac{\pi}{2}}}+\sqrt{2\,e^{-i\frac{\pi}{2}}}$
    $\sqrt{2}\cdot\left(e^{i\frac{\pi}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}+\sqrt{2}\,\left(e^{-i\frac{\pi}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$
      $\sqrt{2}\cdot\left(e^{i\frac{\pi}{4}}+e^{-i\frac{\pi}{4}}\right)$
        $\sqrt{2}\cdot\left(\left(\cos\,(\frac{\pi}{4})+i\,\sin\,(\frac{\pi}{4})\right)+\left(\cos\,(-\frac{\pi}{4})+i\,\sin\,(-\frac{\pi}{4})\right)\right)$
          $\sqrt{2}\cdot\left(\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)+\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-i\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)$
            $\sqrt{2}\cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}-i\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$
              $\sqrt{2}\cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\,\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)$
                $\sqrt{2}\cdot\left(2\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\cdot 0\right)$
                  $\sqrt{2}\cdot\left(2\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}+0\right)$
                    $\sqrt{2}\cdot 2\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
                      $2\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
                        $2\cdot 1$
                          $2$
$\diamond$