Un problema de Olimpiada Matemática sobre números enteros positivos

En este artículo quiero mostrar la resolución de la ecuación $m+2\,m\,n+n=22$, donde $m$ y $n$ son números enteros positivos. No se trata de un ejercicio al uso en un curso estándar de bachillerato; en realidad, corresponde a un problema aparecido en alguna edición de la Olimpiada Matemática, pero creo que bien merece atención, por el valor formativo y por la estética del planteamiento, tal como enseguida veremos. Como idea general, en cuanto al enfoque de la resolución, se trata de factorizar la expresión algebraica que, toda vez transformada la ecuación convenientemente, permitirá razonar acerca de las posibilidades para obtener la cantidad el segundo miembro.

De entrada, no parece que el primer miembro se brinde de manera directa a la factorización que se persigue, por lo que vamos a multiplicar por $2$ ambos miembros, para que el tercer término del primer miembro sea más propicio a poder realizar la factorización de la que estamos hablando:
  $m+2\,m\,n+n=22$
    $2\,(m+2\,m\,n+n)=2\cdot 22$
      $2\,(m+2\,m\,n)+2\,n=44$
        $2\,m\,(1+2\,n)+2\,n=44$
Convendría ahora poder extraer factor común de $1+2\,n$, pero, para ello, nos falta un $1$ en el primer miembro, por lo que vamos a sumar $1$ a cada miembro; así, tenemos casi preparada la ecuación equivalente que se va a prestar a la factorización del primer miembro:
        $2\,m\,(1+2\,n)+2\,n+1=44+1$
          $2\,m\,(1+2\,n)+(1+2\,n)=45$
Ahora, ya sí, podemos realizar la factorización:
          $(2\,m+1)\,(1+2\,n)=45$
Notemos ahora que la cantidad del segundo miembro, expresada como producto de factores primos, es $45=3\cdot \cdot 5$; pero, como en el primer miembro tenemos dos factores algebraicos, nos interesa escribirla como producto de dos (y no de tres) factores, los cuales pueden ser: $1\cdot 45$, $45\cdot 1$, $3\cdot 15$, $15\cdot 3$, $9\cdot 5$ y $5 \cdot 9$

Por otra parte, si nos fijamos bien en las expresiones de la factorización del primer miembro, y teniendo en cuenta que $m$ y $n$ han de ser números enteros positivos, com el número entero positivo más pequeño es $1$ resulta que tanto $2\,m+1$ como $2\,n+1$ han de ser mayores o iguales que $2\cdot 1+1=3$, por lo que las dos primeras posibilidades, $1\cdot 45=45$ y $45\cdot 1=45$, debemos descartarlas por la inviabilidad de ese factor $1$. Entonces, sólo nos queda investigar las cuatro últimas posibilidades:

• Para la tercera posibilidad, $3\cdot 15=45$, tenemos que $2\,m+1=3$, luego $m=1$; y $2\,n+1=15$, por lo que $n=7$. Ya tenemos una parte de la solución: $(m,n)=(1,7)$
• Para la cuarta posibilidad, $15\cdot 2=45$, tenemos que $2\,m+1=15$, y por tanto $m=7$; y $2\,n+1=3$, por lo que $n=1$. Tenemos otro elemento de la solución: $(m,n)=(7,1)$
• Para la quinta posibilidad, $9\cdot 5=45$, se tiene que $2\,m+1=9$, es decir $m=4$; y $2\,n+1=5$, por lo que $n=2$, así que otro elemento de la solución: $(m,n)=(4,2)$
• Y, para la sexta posiblidad, $5\cdot 9=45$, se tiene que $2\,m+1=5$, en consecuencia $m=2$; y $2\,n+1=9$, por lo que $n=4$, así que el último elemento de la solución es $(m,n)=(2,4)$

Resumiendo, la solución viene dada por el siguiente conjunto de parejas $(m,n)$ de números enteros positivos: $$\displaystyle \left\{(1,7),(7,1),(4,2),(2,4)\right\}$$

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