Un cálculo interesante con números complejos

En este ejercicio de cálculo con números complejos se pide hallar el resultado de la siguiente operación $$\sqrt{2i}+\sqrt{-2i}$$ lo cual sirve de comprobación de la solución encontrada en este otro ejercicio de resolución de ecuaciones.

Para ello, utilizaremos la fórmula de Euler: siendo $z=a+i\,b$ ($a,b\in \mathbb{R}$ ) un número complejo, entonces puede expresarse de la forma $z=|z|\,e^{i\,\theta}=|z|\,(\cos\,\theta+i\,\sin\,\theta)$, donde $|z|$ es el módulo de dicho número y $\theta$ es su ángulo polar, esto es $\theta=\text{arctan}\,\left(\dfrac{b}{a}\right)$, donde, a la hora de determinar el cuadrante donde se sitúa el afijo de dicho número en el plano de Argand, los signos de $b$ y $a$.

Por la fórmula de Euler, $2i=2\,e^{i\,\frac{\pi}{2}}$; en efecto, $2\,e^{i\,\frac{\pi}{2}}=2\,(\cos\,\frac{\pi}{2}+i\,\sin\,\frac{\pi}{2})=2\,(0+i)=2i$ y $-2i=2\,e^{-i\,\frac{\pi}{2}}$, ya que $2\,e^{-i\,\frac{\pi}{2}}=2\,(\cos\,(-\frac{\pi}{2})+i\,\sin\,(-\frac{\pi}{2}))=2\,(0-i)=-2i$
Entonces, podemos expresar $\sqrt{2i}+\sqrt{-2i}$ de la siguiente forma,
  $\sqrt{2\,e^{i\frac{\pi}{2}}}+\sqrt{2\,e^{-i\frac{\pi}{2}}}$
    $\sqrt{2}\cdot\left(e^{i\frac{\pi}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}+\sqrt{2}\,\left(e^{-i\frac{\pi}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$
      $\sqrt{2}\cdot\left(e^{i\frac{\pi}{4}}+e^{-i\frac{\pi}{4}}\right)$
        $\sqrt{2}\cdot\left(\left(\cos\,(\frac{\pi}{4})+i\,\sin\,(\frac{\pi}{4})\right)+\left(\cos\,(-\frac{\pi}{4})+i\,\sin\,(-\frac{\pi}{4})\right)\right)$
          $\sqrt{2}\cdot\left(\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)+\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-i\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)$
            $\sqrt{2}\cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}-i\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$
              $\sqrt{2}\cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\,\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)$
                $\sqrt{2}\cdot\left(2\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\cdot 0\right)$
                  $\sqrt{2}\cdot\left(2\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}+0\right)$
                    $\sqrt{2}\cdot 2\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
                      $2\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
                        $2\cdot 1$
                          $2$
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