¿De cuántas cifras consta un número entero positivo dado por $a^b$, siendo $a$ y $b$ números enteros positivos?

Tenemos hoy el siguiente problemas: ¿De cuántas cifras consta el número entero positivo $5^{26}$?

Bien, para empezar, démonos cuenta de que unúmero entero positivo, como, por ejemplo, $295$ podemos expresarlo de la forma $0,295 \cdot 10^3$; en cualquier caso, de tal modo que la primera cifra decimal sea distinta de cero: si el número entero pedido pongamos que tenga $n$ cifras, éste puede escribirse como $0,d_1\,d_2\,\ldots\,d_n \cdot 10^n$; de esta manera, el número entero que figura en el exponente de la potencia de base $10$ es igual al número de cifras de dicho número. Y podemos escribir tantos ejemplos como gustemos.

Ya tenemos pues una primera idea de la que partir: si cualquier un número entero positivo podemos expresarlo de la forma $m \cdot 10^n$, donde $m$ es un número decimal mayor que $0$ y menor que $1$, siendo su primera cifra decimal distinta de cero, $n$ es el número de cifras de dicho número entero positivo; entonces, en particular, un número entero positivo que venga dado como una potencia de base un número entero positivo, $a$, y exponente entero positivo, $b$, esto es $a^b$, también tendrá ese tipo de expresión, esto es: $$a^b=m\cdot 10^n \quad (1)$$

Así las cosas, si conseguimos calcular $n$ a partir de la igualdad $(1)$ habremos resuelto el problema. Para ello, lo primero que se nos puede ocurrir es tomar logaritmos decimales (en base $10$) en cada miembro, para así, preparar el despeje de $n$:
  $\log_{10}(a^b)=\log_{10}(m\cdot 10^n)$
    $b\,\log_{10}(a)=\log_{10}(m)+\log_{10}(10^n)$
      $b\,\log_{10}(a)=\log_{10}(m)+n\,\log_{10}(10)$
        $b\,\log_{10}(a)=\log_{10}(m)+n \cdot 1$
          $b\,\log_{10}(a)=\log_{10}(m)+n$
            $\therefore n=b\,\log_{10}(a)-\log_{10}(m)$
Ahora, tengamos en cuenta que si $0 \le m \lt 1$, y por tanto $-1\le \log_{10}(m)\lt 0$, se sigue de ésto que $0\lt -\log_{10}(m)\le 1$, por consiguiente $b\,\log_{10}(a) \lt n \lt b\,\log_{10}(a)+1$. Y como $n$ representa un número entero, reajustamos el término logarítmico $b\,\log_{10}(a)$ (que nos da un número con decimales), tomando el mayor entero que sea menor o igual que esta cantidad, esto es, le aplicamos a ese término la función suelo: $\lfloor b\,\log_{10}(a) \rfloor$, todo lo cual, y como conclusión, nos lleva a definir $$n:=\lfloor b\,\log_{10}(a) \rfloor +1 \quad (2)$$

Comprobemos que ésto funciona; por ejemplo, ¿cuántas cifras tiene el número $2^{10}$? Según lo deducido, $n=\lfloor 10\,\log_{10}(2) \rfloor +1=\lfloor 3,0102\ldots\rfloor +1 = 3+1=4$; y, en efecto, así es, pues sabemos (calculando la potencia directamente) que el número $2^{10}=1\,024$, y al contar sus cifras, vemos claramente que tiene $4$ cifras.

Ahora, apliquémoslo al problema propuesto, que recordemos que es el siguiente: ¿cuántas cifras tiene el número entero positivo $5^{26}$. En este caso, $a=5$ y $b=26$, por tanto, aplicando $(2)$ se obtiene $$n=\lfloor 26 \cdot \log_{10}(5) \rfloor +1=\lfloor 18,1732\ldots\rfloor +1 =18+1=19\,\text{cifras}$$ $\diamond$