Diversos tipos de funciones

[gráficas de distintintas funciones ( Geogebra )]

[nota del autor]

Ejercicios diversos con números complejos ...

4. Calculeu $\sqrt{1+i}$

Sabem, d'antuvi, que trobarem dos nombres (complexos) del tipus $x+y\,i$

per tant, escriurem que

$\sqrt{1+i}=x+y\,i$

Fent la potència al quadrat d'ambdós membres

$1+i=x^2-y^2 + 2xy\,i$

Llavors, per tal que es compleixi la igualtat caldrà igualar les parts reals dels dos membres, i, naturalment, també les parts imaginàries; obtindrem, per tant, un sistema de dues equacions de variable real

$1=x^2 - y^2 \quad \quad \text{(1)}$

$1=2xy \quad \quad \quad \; \; \text{(2)}$

Aïllant la variable $y$ de (2) i substituint l'expressió resultant en (1) trobem

$4x^4-4x^2-1=0$

equació biquadrada que resoldrem fent el canvi de variable $x^2=t$, transformant-la en una equació de 2n grau

$4t^2-4t-1=0$

que té les següents solucions

$t=\dfrac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Desfent, ara, el canvi de variable $x=\sqrt{t}$ arribem a les següents solucions reals (les solucions complexes no les tenim en compte, atès que $x$ representa els valors de la part real de $\sqrt{1+i}$

$x_1=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}}$

i

$x_2=-\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}$

Per cada valor de $x$ obtenim un valor de $y$, atesa la segona equació del sistema plantejat

$y=\dfrac{1}{2x}$

d'on traiem que

$y_1=\dfrac{1}{2} \, \sqrt{ \dfrac{2}{1+\sqrt{2}}} $

i

$y_2=-\dfrac{1}{2}\,\sqrt{ \dfrac{2}{1+\sqrt{2}}} $

i, per tant, les solucions de $\sqrt{1+i}$ són els nombres complexos

$z_1=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}}+\dfrac{1}{2}\, \sqrt{ \dfrac{2}{1+\sqrt{2}}} \,i$

i

$z_2=-\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}}-\dfrac{1}{2}\, \sqrt{ \dfrac{2}{1+\sqrt{2}}} \,i$

$\square$

5. Considereu el nombre complex $z=-1-2\,i$. Calculeu el valor del seu mòdul $r_z$ i el valor del seu angle polar $\theta_z$

$r_z=\left|\sqrt{z \cdot \overline{z}}\right|$

Com que $\overline{z}=-1+2\,i$

$z \cdot \overline{z} = \ldots = 5$

per tant

$r_{z} = \left| \sqrt{5}\right|$

Calculem, per acabar, el valor de l'angle polar (o fase del nombre complex):

l'afix de $z$ és (-1,-2) i, doncs, es situa en el tercer quadrant; per tant

$180º < \theta_z < 270º$

Com que, en fer ús de la funció recíproca de la tangent

$\theta_z=\arctan{\dfrac{Im(z)}{Re(z)}}$

i, per a tot angle $\alpha$ del primer quadrant sabem (de la trigonometria elemental) que

$\tan{\alpha} = \tan{\alpha}+180º$

trobem que, com que la calculadora ens dóna l'angle del primer quadrant ( $63º \, 26'$ aproximant)

concloem que

$\theta_{z}=63º \, 26'+180º$

que és igual a

$243º \, 26'$

$\square$

6. Calculeu el nombre complex que resulta de desenvolupar la potència     $(5-2\,i)^3$

Per la fòrmula del binomi de Newton $(a+b)^n$ ( on $ \in \mathbb{N} \cup \{0\}$ ) és igual a

$\binom{n}{0}a^{n-0}\,b^{0}+\binom{n}{1}a^{n-1}\,b^{1}+\binom{n}{2}a^{n-2}\,b^{2}+\ldots+\binom{n}{n-1}a^{n-(n-1)}\,b^{n-1}+\binom{n}{n}a^{0}\,b^{n}$

on els coficients de cada terme són els nombres combinatoris

$\binom{n}{m} = \dfrac{n!}{(n-m)!\,m!}$   on   $m$, que també és un nombre natural (o bé el nombre zero) és tal que

$m \le n$

aquests nombres combinatoris

$\{1,3,3,1\}$

es poden escriure, sense calcular, llegint - d'esquerra a dreta - els nombres de la fila corresponent del triangle de Pascal - la quarta fila, ja que $n=3$ - i escriure'ls al desevolupament de forma ordenada (d'esquerra a dreta):

En el desenvolupament apareixen, doncs, quatre termes que, tenint en compte que $a=5$ i $b=-2$, podrem escriure

$(5-2\,i)^3= 1 \cdot 5^{3} \cdot (-2)^{0}+ 3 \cdot 5^{2} \cdot (-2)^{1} + 3 \cdot 5^{1} \cdot (-2)^{2} + 1 \cdot 5^{0} \cdot (-2)^{3}$

i, operant i simplificant, queda igual a

$65-142\,i$

$\square$

7. Donats els nombres complexos $z_1=4+3\,i$ i $z_2=1-2\,i$, calculeu:
        a)   $z_1 \cdot z_2$

        b)   $\dfrac{z_1}{z_2}$

apartat a:

$z_1 \cdot z_2 = (4+3\,i)\cdot (1-2\,i)$

que és igual a

$4 + 3\,i - 8\,i -6\,i^2$

i, simplificat, queda

$10-5\,i$

$\square$

apartat b:

$\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{4+3\,i}{1-2\,i}$

multiplicant i dividint pel conjugat de $1-2\,i$ queda

$\dfrac{4+3\,i}{1-2\,i} \cdot \dfrac{1+2\,i}{1+2\,i} $

multiplicant numerador per numerador i denominador per denominador obtenim

$\dfrac{4+3\,i+8\,i+6\,i^2}{1-4\,i^2}$

i, simplificant trobem

$\dfrac{z_1}{z_2} = \ldots = -\dfrac{2}{5}+\dfrac{11}{5}\,i$

$\square$

8. Trobeu els valors reals de $x$ que satisfan la igualtat     $\ln{(x^2-1)}+\ln{(x^2+1)}=\ln{(15)}$

Com que la suma de logaritmes és igual al logaritme del producte dels arguments, podem escriure (primer membre)

$\ln{(x^2-1)\,(x^2+1)}=\ln{(15)}$

I, com que les bases logarítmiques són iguals en tots dos membres

$(x^2-1)\,(x^2+1)=15$

simplifiant

$x^4-16=0$

i, per tant, trobem dos nombres reals com a solució d'aquesta equació, que també satisfan l'equació original

$x=\pm 2$
$\square$

[nota del autor]

Calcular la distancia entre las rectas ...

Calculeu la distància entre les rectes:
$r:\,\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y-1}{2}$
i
$s:\,3x+5y-1=0$

El vector $\vec{u_r}=(3,2)$ és un vector director de la recta $r$, i un vector director de la recta $s$ és, per exemple, el vector $\vec{u_s}=(-5,3)$, atès que $\vec{n_s}=(3,5)$ n'és un vector normal (perpendicular a la recta). Com que $\vec{u_r}$ i $\vec{u_s}$ no tenen la mateixa direcció, les rectes $r$ i $s$, tampoc; és a dir, no són paral·leles, i, per tant,
$d(r,s)=0$
$\square$

[nota del autor]

Calcular la distancia entre el punto y la recta ... ( Artículo escrito en catalán )

Calculeu la distància entre el punt P(4,-1) i la recta
$r:\,\dfrac{x-2}{4}=\dfrac{y+1}{-2}$

Resolució:
Per calcular la distància del punt P a la recta r podem fer ús de la fórmula que ja hem justificat

$d(P,r)=\left|\dfrac{a\,x_P+b\,y_P+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|$

és a dir

$d(P,r)=\dfrac{2}{\left|\sqrt{5}\right|}$

on $a$, $b$ i $c$ són els coeficients de la recta expressada en forma general

De l'equació en forma contínua donada a l'enunciat, passem a l'equació de la recta $r$ en forma general

$x+2y=0$

per tant $a=1$, $b=2$ i $c=0$

i com que $x_P=4$ i $y_P=-1$ tenim que

$d(P,r)=\left|\dfrac{1 \cdot 4 +2 \cdot (-1)+0}{\sqrt{1^2+2^2}}\right|$

és a dir

$d(P,r)=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$

$\square$

[nota del autor]

Determinar la recta mediatriz del segmento ...

Determineu l'equació de la recta mediatriu del segment que té per punts extrems A(-1,1) i B(3,-4)

Resolució:
La recta mediatriu del segment AB és el lloc geomètric dels punts $P(x,y)$ tals que $d(P,A)=d(P,B)$

concretant aquesta condició de la forma

$\sqrt{(x-x_A)^2+(y-y_A)^2} = \sqrt{(x-x_B)^2+(y-y_B)^2}$

i, donats els valors de les coordenades de A i B, queda

$\sqrt{(x-(-1))^2+(y-1)^2} = \sqrt{(x-3)^2+(y-(-4))^2}$

els arguments de les arrels han de ser iguals

$(x-(-1))^2+(y-1)^2 = (x-3)^2+(y-(-4))^2$

desenvolupant les potències dels binomis

$x^2+2x+1+y^2-2y+1 = x^2-6x+9+y^2-8y+16$

els termes quadràtics s'anul·len, i, acabant de simplificar, trobem l'equació en forma general de la recta mediatriu $rm$ del segment AB:

$rm:\;8x+6y-23=0$

$\square$

[nota del autor]

Calcular la distancia .. .

Enunciat:
Calculeu la distància del punt $P(-1,1)$ a la recta $r:\,y=2x-1$

Resolució:
Donada una recta $r:\,ax+by+c=0$ i un punt $P(x_P,y_P)$
es demostra que la distància (entre la recta i el punt) és igual a
$d(P,r)=\left| \dfrac{a\,x_{P}+b\,y_{P}+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|$

Les coordenades del punt $P$ són
$x_P=-1$
$y_P=1$

posant l'equació de la recta en forma general
$r:\,2x-y-1=0$
veiem que
$a=2$
$b=-1$
i
$c=-1$

i aplicant la fórmula de la distància
$d(P,r)=\left| \dfrac{2\cdot(-1)+(-1)\cdot 1+(-1)}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\right|=\dfrac{4}{\sqrt{5}}\,\text{unitats de longitud}$

$\square$

[nota del autor]

La escala Beaufort ... ( Artículo escrito en catalán )

L'escala de Beaufort relaciona la velocitat del vent amb els fenòmens observables que aquest produeix. L'hidrògraf i marí Sir Francis Beaufort (1774-1857) va establir els graus de l'escala a partir dels fenòmens observables a la mar i dels efectes en la reducció de les veles d'una fragata. Ja sabem que l'escala de Beaufort Consta de 13 intervals (enumerats del 0 al 12: de B=0 a B=12), ordenats de menor a major velocitat del vent i, per tant, de menor a major efecte sobre la mar, l'entorn, i el veler. Tradicionalmeent, s'anomena “força” al valor de B (número d'interval o grau de l'escala); així, per exemple, es pot parlar de "vent de força 4" (B=4), fent referència a que la velocitat del vent se situa a l'interval número 4 de l'escala. En qualsevol manual de meteorologia o de nàutica podreu trobar les velocitats del vent i els efectes observables correspoenents en aquests tretze intervals. Com és ben sabut, l'escala de Beaufort continua fent-se servir als comunicats meteorològics. I és per això que convé saber traduir els graus de l'escala a velocitats i, també, a l'inrevés, situar una determinada velocitat en el grau corresponent de l'escala. Llegint l'excel·lent obra de Jean-Yves Bernot (Meteorología y Estrategia, EJ, 2004) em vaig fixar en un procediment molt pràctic per fer això. Aquesta entrada és només per exposar una regla pràctica per situar la mesura de la velocitat del vent (en nusos) a l'interval de l'escala que li correspon i, a l'inrevés, donada la “força” a l'escala de Beaufort, poder determinar una estimació de la velocitat del vent en nusos (kt). A una altura de 10 m, sabem que, en bona aproximació, els valors de la velocitat del vent són proporcioanals als de B3/2, on B correspon al número d'interval de l'escala (del 0 al 12). A efectes pràctics, el resultat del càlcul es pot estimar de la manera següent: 1. Pas del grau (“força”) de l'escala Beaufort (B) a velocitat del vent (en nusos) Si B és més petit o igual que 8, llavors velocitat (kt) = 5 x (B -1) Si B és més gran que 8, llavors velocitat (kt) = 5 x B Exemple 1: Volem saber la velocitat (aproximada) del vent corresponent a un vent de força 5 Beaufort (B=5). Com que B no arriba a 8 tenim que v = 5x(5-1) = 20 kt Exemple 2: Volem saber la velocitat (aproximada) del vent corresponent a un vent de força 9 Beaufort (B=9). Com que B és superior a 8 tenim que v = 5x9 = 45 kt 2. Obtenció del grau (“força”) de l'escala Beaufort (B) corresponent a un vent de velocitat donada (en nusos) Si v és més petit o igual que 40 kt, llavors B = v/5 +1 Si v és més gran que 40 kt, llavors B = v/5 Exemple 3: Volem saber el grau a l'escala Beaufort corresponent a un vent de velocitat igual a 30 kt Com que v no arriba a 40 kt, trobem que B =30/5+1= 7 Beaufort Exemple 4: Volem saber el grau a l'escala Beaufort corresponent a un vent de velocitat igual a 50 kt Com que v és més gran que 40 kt, trobem que B =50/5 = 10 Beaufort

[nota del autor]

Obtención del número pi empleando un método Monte Carlo ... ( Artículo escrito en catalán )

Clasificar la siguiente cónica ...

Enunciat:
Classifiqueu la següent corba cònica, determineu els seus elements, i feu-ne una representació gràfica: $2x^2+y^2-4x+2y+1=0$

Resolució:
Si escrivim l'equació general d'una cònica
$c_{xx}\,x^2+c_{xy}\,xy+c_{yy}\,y^2+c_{x}\,x+c_{y}\,y+c_{0}=0$
i comparem amb l'equació de la cònica de l'enunciat trobem que

$c_{xx}=2$, $c_{xy}=0$, i $c_{yy}=1$

per tant, el valor del discriminant
$\Delta=c_{xy}^2-4\,c_{xx}\,c_{yy}$
que ens ha de servir per classificar-la, és igual a
$0^2-4\cdot 2 \cdot 1 < 0$ la qual cosa ens diu que la cònica de l'enunciat és una el·lipse. I, donat que $c_{xy}=0$, podem afirmar que els eixos d'aquesta el·lipse són paral·lels als eixos de coordenades cartesianes.

Mirem d'assemblar l'equació donada (escrita en forma general) a l'equació de la forma

$\dfrac{x-x_0}{\square^2}+\dfrac{y-y_0}{\square^2}=1 \quad \quad (1)$

per tal de poder determinar les coordenades del centre de l'el·lipse $(x_0,y_0$
i el valor dels semieixos $a$ i $b$, que corresponen a les quantitats que figuraran als denominadors; sent el semieix major $a$ la més gran de les dues, i el semieix menor $b$, la més petita.

Tenint en compte que
$y^2+2y+1=(y+1)^2$
podem escriure l'equació de la cònica de la forma
$2x^2-4x+(y+1)^2=0$

Dividint per $2$ ambdós membres de la igualtat ens queda
$x^2-2x+\dfrac{(y+1)^2}{2}=0$
i, tenint en compte la identitat del quadrat del binomi, podem expressar
$x^2-2x$ de la forma $(x-1)^2-1$
per tant, la podrem escriure de la forma

$\dfrac{(x-1)^2}{1^2}+\dfrac{(y-(-1))^2}{\big(|\sqrt{2}|\big)^2}=1 \quad \quad (2)$

amb la qual cosa, és obvi - per comparació amb l'equació tipus (1) - quins són el semieixos major i menor i el valor que prenen
semieix major: $a=|\sqrt{2}|$
semieix menor $b=1$
i, també, quin és el centre $C$ de l'el·lipse, el punt de coordenades $(1,-1)$

Atenent la relació que lliga $a$, $b$ i $c$ (la meitat de la distància focal)
$a^2=b^2+c^2$, podem també calcular - a partir dels valors que ja coneixem de $a$ i de $b$ - el valor de $c$

$c=\left|\sqrt{\big(|\sqrt{2}|\big)^2-1^2}\right|=1$

I, d'aquí, trobem el valor de l'excentricitat, que es defineix com la raó aritmètica
$e=\dfrac{c}{a}$
substituint els valors calculats
$e=\dfrac{|\sqrt{2}|}{2}$
que - com era d'esperar (estem estudiant una el·lipse) - pren un valor més petit que u.

Com que els eixos de simetria d'aquesta el·lipse són paral·lels a als eixos de coordenades, i passen pel centre de l'el·lipse $C(1,-1)$, podem escriure també les seves equacions de forma immediata:
$e_1:\,x=1$
$e_2:\,x=-1$

Calcularem, ara, les coordenades dels focus i dels vèrtexs; per això, cal partir de les coordenades dels focus i vèrtexs de l'el·lipse centrada a l'origen de coordenades, la qual té per equació l'e. reduïda

$\dfrac{x^2}{1^2}+\dfrac{y^2}{\big(|\sqrt{2}|\big)^2}=1$

per, després, fer la translació d'aquesta - segons el vector de translació $\vec{t}=(x_0,y_0)$ [ recordem que $x_0=1$ i que $y_0=-1$ ], obtenint les coordenades que cerquem (focus i vèrtexs de l'el·lipse amb el centre que toca).

vèrtexs de l'el·lipse (A, A'; B, i B') [recordem que $a=|\sqrt{2}|$ (semiexi major) i que $b=1$ (semieix menor, ja que $|\sqrt{2}| >1$; i tinguem en compte també, que, com que el valor del semieix major es troba al denominador del terme en $y$ (equació (2)), en aquest problema els vèrtexs A i A' es situen damunt de l'eix Oy, i els vèrtexs B i Bi, damunt de l'eix Oy ]:
$A(x_0,a+y_0)$   és a dir   $A(1,|\sqrt{2}|-1)$
$A'(x_0,-a+y_0)$   és a dir   $A'(1,-|\sqrt{2}|-1)$
$B(b+x_0,y_0)$   és a dir   $B(2,-1)$
$B'(-b+x_0,y_0)$   és a dir   $B(0,-1)$

focus de l'el·lipse [recordem que $c=1$] F i F' (es troben - en aquest problema - damunt de l'eix Oy, per la raó explicada al paràgraf anterior):
$F(x_0,c+y_0)$ és a dir $F(1,0)$
$F'(x_0,-c+y_0)$ és a dir $F(1,-2)$

$\square$

[nota del autor]

Derivada de la función compuesta ...

Derivada de la funció ge composada amb efa

Ens proposem obtenir la regla de derivació de la funció $h:\,\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ (funció definida sobre $\mathbb{R}$ i que prenen valors en $\mathbb{R}$ )
definida de la forma
$h=f \circ g$
funció que actua de la forma
$h(x)=f\big(g(x)\big)$
[ on $f$ i $g$ també són funcions definides sobre $\mathbb{R}$ i que prenen valors en $\mathbb{R}$ ]

Observem que
$\displaystyle \frac{\Delta h}{\Delta x} = \frac{\Delta f}{\Delta g} \cdot \frac{\Delta g}{\Delta x}$

Quan passem al límit tindrem que
$\displaystyle \Delta x \rightarrow 0 \Rightarrow \Delta g(x) \rightarrow 0$

per tant, per la definició de derivada i per les propietats elementals dels límits de funcions podrem escriure
$\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta g \rightarrow 0}\frac{\Delta f} {\Delta g}\, .\, \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta g}{\Delta x}$

És a dir, fent servir una notació més abreviada:
$\displaystyle f'_{x}=f'_{g}\,.\,g'_{x}$

En composar més funcions el resultat es generalitza fàcilment; per exemple, si $\displaystyle f(x)=(g \circ h\circ ...\circ p )(x)$, la derivada es calcularà de forma {\sl encadenada}. D'aquí ve el nom de regla {\sl de la cadena}:

$\displaystyle f'_{x}=f'_{g}\,.\,g'_{h} ... p'_{x}$
$\square$

[nota del autor]

Formas polar y cartesiana de un número complejo ( con MAXIMA ) ...

Considerem el nombre complex $z=a+i\,b$

Fent ús de MAXIMA podem, fàcilment, obtenir la seva forma polar. Primer de tot,
l'entrem:
        (%i1) z:a+%i*b;
i, a continuació, demanem l'expressió de la seva forma polar:
        (%i2) polarform(z);
i MAXIMA respon
        (%o2) $\sqrt{b^2+a^2}\,e^{i\,{\rm atan2}\left(b , a\right)}$

I, viceversa, donat un nombre complex en forma polar, obtenim fàcilment la seva
expressió cartesiana
l'entrem:
        (%i3) w:r*%e^(%i*%alpha);
i, a continuació, demanem l'expressió de la seva forma cartesiana:
        (%i4) rectform(w);
i MAXIMA respon
        (%o4) $i\,\sin {\it \alpha}\,r+\cos {\it \alpha}\,r$

[nota del autor]

Ejercicios sobre cónicas ... ( texto en catalán )

[nota del autor]

Geometría vectorial. Integración de las ecuaciones del movimiento ...

Integrant la funció acceleració instantània obtenim la funció velocitat instantània $ v(t)= - t^3 + t + C $ Per determinar el valor de la constant d'integració, imposem la condició inicial de velocitat $v(t=2 \; s) = 4 \; m s^{-1}$ $ 4 = 2^3 + 2 + C $ d'on s'obté $C=-6 \; ms^{-1}$ Per tant, la funció que dóna la velocitat per a cada instant de temps és igual a $ v(t) = - t^3 + t -6$ I, d'aquí, traiem el valor de la velocitat per a $t = 10 \; s$ $v(t=10 \; s) = - 10^3 + 10 - 6 = - 906 \; ms^{-1}$ Integrant la funció velocitat instantània obtenim la funció de posició $ x(t)= - \frac{1}{4}t^4 + \frac{1}{2}t^2 - 6t + D$ on $D$ representa la corresponent constant d'integració, que determinarem tot seguit imposant el valor de la condició inicial corresponent $\quad x(t = 1 \; s) = 5 \; m$ Així arribem a $ 5 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 6 + D$ d'on traiem que $ D = \frac{43}{4} \; m$ i, per tant, ja podem escriure la funció de posició per a tot instant de temps $x(t) = -\frac{1}{4}t^4+\frac{1}{2}t^2-6t+\frac{43}{4}$ D'aquí, el valor de la posició quan $t=10 \; s$ es troba substituint aquest valor, d'on trobem que $x(t= 10 \; s) = -2379,25 \; m$ $\diamond$

Un problema con una tarta ... ( Artículo escrito en catalán )

Fa bastants anys, un bon alumne de 1r d'ESO, que, en acabar la classe, sempre es quedava un parell de minuts per comentar-me coses força interessants, va proposar-me una qüestió que se li va acudir pensant en la circumferència "Es pot tallar un quart de pastís i, després, anar tallant successivament trossos de tal manera que cada nou tros siguin la meitat de l'anterior fins arribar a coincidir exactament amb el primer tall i per tant acabar, exactament, el pastís ?". Això no m'ho havia plantejat mai cap alumne, i menys encara cap alumne de primer d'ESO !. Primer em vaig quedar molt sorprès que una qüestió tan interessant se li hagués acudit a ell tot sol. De seguida, vaig reconèixer en el problema la necessitar de sumar els infinits termes d'una sèrie geomètrica de raó igual a 1/2 i de primer terme igual a 1/4, tot i que a un alumne de primer encara no li puc parlar del problema amb aquest llenguatge. Vaig fer el càlcul mentalment i li vaig contestar que no seria possible tallar tot el pastís: només aconseguiria tallar-ne la meitat. Vaig mirar, amb dibuixos, de poder per fer-li entendre. I sembla que, més o menys, ho vaig aconseguir. Després, a casa, pensant-hi una mica més, i de cara a fer servir el problema del meu alumne de primer d'ESO per a una possible classe de 1r de batxillerat, l'he replantejat de la manera següent: “(...) amb quina part dels pastís caldria començar (1/k, k>1) per aconseguir l'objectiu que la reunió dels infinits trossos completin exactament el pastís". Gràcies per expressar-me la teva curiositat, L. És el millor regal per a un professor.

[nota del autor]

Cinemáticas de las agujas del reloj ...

Cada quant de temps coincideixen les busques horària i minutera ?

Resolució:
Considerem les 12:00:00 com a situació inicial (les busques coincideixen). A partir d'aquí, calcularem el temps que ha de passar fins que tornin a coincidir.

Lògicament, les busques tornen a coincidir després de les 13.00 i abans de les 13:10. En aquesta situació, la busca horària haurà recorregut un angle igual a f (una mica més gran que p/6 rad), i la busca minutera, aquest mateix angle més una volta completa: 2p+f rad.

Cal tenir en compte que les velocitats angulars de les busques són constants i ,doncs, el moviment de les busques correspon a un moviment circular uniforme (MCU). El període de la busca minutera T_m és igual a 60 min, i el de la busca horària és de 12 h; és a dir, 720 min. Per tant, la velocitat angular de la busca minutera w_m és igual a 2p/60 rad/min, i la de la busca horària w_h és igual a 2p/(60.12) rad/min

En coincidir en el temps ambdues busques, es complirà que
(2p+f)/w_m= f/w_h

D'aquí, podem aïllar f: f=2p/11 rad

Finalment, a partir d'aquest resultat, trobem el valor del temps transcorregut dividint f entre la velocitat angular:
(2p/11) / w_h = ... = 1 h 5 min 27 s, aproximadament

Cada 01:05:27, periòdicament, la busca minutera passarà pel damunt de la busca horària.

[nota del autor]

Derivada de un producto de funciones ...

Funció derivada del producte de dos funcions derivables

Considerem la funció $\displaystyle f(x)=g(x)\,\cdot\,h(x)$. De la definició de derivada
$\displaystyle y'_{x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$
tenim que
$\displaystyle f'_{x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta (g(x)\,\cdot\,h(x))}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{(g(x+\Delta x)\,\cdot\,h(x+\Delta x)-g(x)\,\cdot\,h(x))}{\Delta x}$

Tenint en compte que
$\displaystyle g(x+\Delta x)=g(x)+\Delta g(x)$ i $\displaystyle h(x+\Delta x)=h(x)+\Delta h(x)$, podrem escriure el numerador del límit de la forma
$(g(x)+\Delta g(x))\,\cdot\,(h(x)+\Delta h(x))-g(x)\,\cdot\,h(x)$
que, desenvolupat i simplificat, és igual a
$g(x)\,\cdot\,h(x)+\Delta (g(x)) \,\cdot\,h(x)+\Delta (h(x))\,\cdot\,g(x) + (\Delta x)^2 - g(x)\,\cdot\,h(x)$
Simplificant escrivim
$h(x)\,\cdot\,\Delta (g(x)) +g(x)\,\cdot\,\Delta (h(x)) + (\Delta x)^2$

El quocient incremental el tornem a escriure, ara, de la forma
$\dfrac{h(x)\, \cdot \,\Delta (g(x)) +g(x)\,\cdot\,\Delta (h(x)) + (\Delta x)^2}{\Delta x}$
i simplificant
$\dfrac{h(x)\,\cdot\,\Delta (g(x))}{\Delta x} +\dfrac{g(x)\,\cdot\,\Delta (h(x))}{\Delta x} + \dfrac{(\Delta x)^2)}{\Delta x}$

Finalment, en passar al límit, escriurem
$\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{h(x)\,\cdot\,\Delta (g(x))}{\Delta x} +\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{g(x)\,\cdot\,\Delta (h(x))}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{(\Delta x)^2)}{\Delta x}$

Tenint en compte els factors constants en l'operació de límit podem posar-ho de la forma,
$\displaystyle h(x)\,.\,\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta (g(x))}{\Delta x} +g(x)\,.\,\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta (h(x))}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta x$
I, finalment, tenint en compte que el tercer sumand és nul i la pròpia definició de derivada per a les funcions $g(x)$ i $h(x)$ trobem

$f'(x)=h(x)\,\cdot \,g'(x)+g(x)\,\cdot \,h'(x)$

$\square$

[nota del autor]

Reglas de derivación. Derivada de un cociente de funciones ...

Funció derivada del quocient de dos funcions derivables

Considerem la funció
$\displaystyle f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}$
De la definició de derivada (límit del quocient incremental) podem començar escrivint

$\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\dfrac{\Delta(\dfrac{g(x)}{h(x)}}{\Delta x}$

Seguint un procés semblant al de la deducció de la regla de derivació del producte de funcions tindrem

$\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{g(x)+\Delta (g(x))}{h(x)+\Delta (h(x))}-\dfrac{g(x)}{h(x)}}{\Delta x}$

Reduint a comú denominador (el denomidador), simplificant i passant al límit tot tenint en compte la pròpia definició de derivada per a les funcions que intervenen en el quocient de funcions ($g(x)$ i $h(x)$) obtindrem finalment

$f'(x)=\dfrac{g'(x)\,.\,h(x)-h'(x)\,.\,g(x)}{(h(x))^2}$
$\square$

[nota del autor]

Reglas de derivación ...

Funció derivada de la funció recíproca d'una funció donada

Per comoditat, farem servir la notació $y_x$ per designar $f(x)$ i $y^{'}_{x}$ la derivada d'aquesta funció respecte de $x$. Semblantment, s'entén que $x_y$ representa la funció recíproca de $f(x)$, $f^{-1}(x)$, i $x^{'}_y$ la seva derivada.

Per començar a construir la derivada de la funció recíproca de $f(x)$, és a dir, de $y_x$, considerem el quocient incremental $\displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta y}$ per, després, passar al límit quan $\Delta \,x \rightarrow 0$ i, d'aquesta manera, obtenir $x^{'}_{y}$, és a dir $\big(f^{-1}(x)\big)^{'}$.

Notem que podem escriure aquest quocient incremental de la forma $\displaystyle\frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{\Delta x}{\Delta y}$. En passar al límit quan $\Delta x$ i $\Delta y$ tendeixen a zero, per la definició de derivada, deduïm que $\displaystyle x^{'}_y=\frac{1}{y^{'}_x}$.

Tot seguit, aplicarem aquesta regla general de derivació de funcions recíproques a alguns casos particulars:

Derivada de la funció logaritme neperià

Sigui la funció (directa) $y_x=\ln{x}$ [ la notem d'aquesta manera i no de la forma habitual, $f(x)=\ln{x}$, perquè és una notació més còmoda per continuar amb els càlculs següents]
que, naturalment, és la funció recíproca (o inversa) de la funció $x_y=e^y$ [i, a la vegada, aquesta és recíproca de $y_x$, és clar].

A partir de la regla general, deduïda a dalt, podem escriure
$\displaystyle y^{'}_x=\dfrac{1}{(e^y)^{'}_y}$
i, com que la funció derivada de la funció exponencial $e^y$ és igual a si mateixa
$\big(e^y\big)^{'}=e^y$
trobem que el resultat de derivar la funció $y_x=ln(x)$
(recíproca de $x_y=e^y$ )
és igual a
$\displaystyle \frac{1}{e^y}$
és a dir
$y^{'}_{x}=\dfrac{1}{x}$
ja que $e^y=x_y$

Derivada de la funció recíproca de la funció sinus

Sigui la funció $y_x=\arcsin{x}$, funció recíproca de la funció $x_y=\sin{y}$.
A partir de la regla anterior podem escriure
$\displaystyle y^{'}_x=\frac{1}{(\sin{y})^{'}}$
tenint en compte que la funció derivada de la funció directa
$\displaystyle x_y=\sin{y}$
és igual a
$\displaystyle \cos{y}=\sqrt{1-\sin^{2}{y}}$
i que
$\displaystyle \sin^{2}{y}=x^2$
arribem a
$y^{'}_x=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Derivada de la funció recíproca de la funció cosinus

Sigui la funció $\displaystyle y_x=\arccos{x}$, funció recíproca de la funció $\displaystyle x_y=\cos{y}$
A partir de la regla general de derivació d'una funció recíproca podem escriure
$\displaystyle y^{'}_x=\frac{1}{(\cos{y})^{'}}$
i com que la funció derivada de la funció directa $x_y=\cos{y}$
és igual a
$\displaystyle -\sin{y}$ que podem escriure de la forma $-\sqrt{1-\cos^{2}{y}}$
i, tenint en compte, a més, que
$\cos^{2}{y}=x^2$
obtenim
$\displaystyle y^{'}_x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Derivada de la funció recíproca de la funció tangent

Sigui la funció $\displaystyle y_x=\arctan{x}$, recíproca de la funció $x_y=\tan{y}$.
De la regla deduïda per derivar funcions recíproques (en general), escriurem
$\displaystyle y^{'}_x=\frac{1}{(\tan{y})^{'}}$
I, atès que la funció derivada de la funció directa $x_y=\tan{y}$ és igual a
$\displaystyle \frac{1}{\cos^{2}{y}}$
tenint en compte la identitat fonamental
$\displaystyle \sin^{2}{y}+\cos^{2}{y}=1$
i dividint a cada membre per $\cos^{2}{y}$ escriurem la identitat
$\displaystyle \frac{1}{\cos^{2}{y}}=\frac{1}{1+\tan^{2}{y}}$
amb la qual cosa s'obté finalment
$\displaystyle y^{'}_x=\frac{1}{1+x^2}$
$\square$

[nota del autor]

El Pequeño Teorema de Fermat ...

Pequeño teorema de Fermat

Dado un entero $p$, primo, y un número entero $a$ tal que $a,p$ sean coprimos ($\text{m.c.d.}(a,p)=1$), entonces $a^{p-1}\equiv 1 (\text{mod}\, p)$ —afirmación equivalente a $a^p ≡ a (\text{mod}\, p)$—. Por ejemplo, si $p=3$ y $a=4$, se tiene que el residuo de la división euclídea de $a^p=4^{3-1}=16$ entre $3$ es $1$, como debe ser; esto es, el residuo de la división $4^3=64$ entre $3$ es igual a $4$.

-oOo-

Observación. Una consecuencia de este teorema es la siguiente: Como al dividir $a^{p-1}$ entre $p$ se obtiene resto igual a $1$, existe un $k\in \mathbb{Z}$ para el cual $a^{p-1}=k\, p +1$, multiplicando por $a$ en cada miembro de la igualdad, se tiene que $a^{p}= k \,p \,a + a$, luego $a^{p} - a$ es múltiplo de $p$ puesto que $k\,a$ és también un número entero.

Ejemplo. Sea $a=9$ y $p=2$ (primo), siendo $(9,2)=1$ y cumpliéndose así las condiciones suficientes del teorema. Comprabamos, en efecto, que $a^p=9^2=81 \mod 2 = 1$, coincidiendo con $a=9 \mod 2 =1$; y, además, $a^p-a \in (\overset{.}{p})$ pues $81-8=72 \in (\overset{.}{2})$. \diamond$

$\diamond$

Problemas con poleas

Ejemplo I)


En la parte superior de la fotografía de la pizarra se trata el estudio del caso de una polea ideal de masa nula ( que no gira ) y en la inferior el caso de una polea con masa no despreciable ( considerando su giro ). En el primer caso (la polea no gira y la cuerda se desliza sin rozamiento por la ranura), con los datos del problema ( el radio de la polea y las masa de los cuerpos que cuelgan de la cuerda), el sistema de ecuaciones planteado permite calcular la tensión de la cuerda y la aceleración lineal de los cuerpos, que naturalmente es la misma. En el segundo caso ( la polea gira ), partiendo de los datos ( momento de inercia de la polea, masa de los dos cuerpos que cuelgan de la cuerda ), el sistema de ecuaciones planteado permite calcular las tensiones, la aceleración lineal y la aceleración angular de la polea.

-oOo-
Ejemplo II)



En ambos casos, ahora, las cuerdas están enrolladas en las correspondientes partes cilíndricas de la polea; éstas, por tanto, giran solidariamente por efecto del peso de los cuerpos que cuelgan de los extremos. En el primer caso, ambas cuerdas se desenrollan en el mismo sentido; en el segundo, mientras una se enrolla ( la que corresponde al cuerpo de menor masa que cuelga de ella ), la otra ( de la que pende el cuerpo de mayor masa ) se desenrolla. En cualquiera de los dos casos, la polea ( formada por los dos cilindros unidos en una sola pieza ) gira siempre en el mismo sentido. En cada una de las situaciones ( reseñadas en la imagen con A y B ), y a partir de los datos ( los radios de los dos cilindros que componen la polea, las masa de los cuerpos que cuelgan de las cuerdas, el momento de inercia de la polea ) los respectivos sistemas de ecuaciones planteados permiten calcular las tensiones, las aceleraciones lineales y la aceleración angular de la polea.

[nota del autor]

Evaluar la siguiente expresión ...

ENUNCIADO
Evaluar la siguiente expresión, dando el resultado con el número de cifras significativas convenientes, teniendo en cuenta que los valores que se dan corresponden a los de medidas de ciertas magnitudes y, por tanto, no se refieren a cantidades exactas sino a aproximaciones de dichas cantidades ideales:
$$(5,6 \times 10^{-5})(0,0000075)/(2,4 \times 10^{-12})$$

SOLUCIÓN
Haciendo el cálculo con la ayuda de la calculadora científica, leemos en la pantalla, como resultado, "175", sin embargo, el número de cifras significativas del factor de la operación que tiene menor precisión ( todos tienen la misma ) es $2$, luego -- habiendo multiplicaciones/divisiones en la operación combinada -- debemos adecuar ( aproximar ) el resultado a dos cifras significativas, esto es, a 180, o lo que es lo mismo, el resultado que debemos dar atendiendo esta condición es $1,8 \times 10^2$

$\square$

[nota del autor]

Consideremos un número indefinido de tarjetas de colores ...

ENUNCIADO
Consideremos un número indefinido de tarjetas, de cada uno de los siguientes colores: blanco, rojo, verde, amarillo, y negro. ¿ Cuántos grupos de cuatro tarjetas podemos formar, en el supuesto que se puedan repetir los colores ?

SOLUCIÓN
Este problema es equivalente a repartir cuatro bolas idénticas en un conjunto de cinco compartimentos. Cada compartimento representa color; y cada "bola" representa una marca de selección de color. Así, por ejemplo, las siguientes son algunas de las ordenaciones posibles:

-----------
[B|R|V|A|N]
-----------
[xx|xx| | | ] -> BBRR
[xxxx|| | | ] -> BBBB
[x|x| | |x|x] -> BRAN
etcétera

Por lo tanto podemos ver este problema como un problema de combinaciones con repetición ( de $m$ bolas idénticas en $n$ urnas/compartimentos ), que, como sabemos puede verse a su vez como un problema de permutaciones con repetición de $m+(n-1)$ símbolos entre los cuales $m$ ( las bolas ) son de un tipo y $n-1$ de otro ( barras separadoras de los compartimentos ), y, por tanto, es igual a $\dfrac{m+(n-1)}{m!\,(n-1)!}$. También podemos expresar esta solución de la forma $\binom{m+(n-1)}{m}$ y, también, de la forma $\binom{m+(n-1)}{n-1}$ ( por la propiedad simétrica de los números combinatorios ). Así, como en este problema, $m=4$ y $n=5$, obtenemos un total de $\dfrac{4+(5-1)}{4!\,(5-1)!}=70$ maneras de disponer las tarjetas ( de cinco posibles colores ) en grupos de cuatro tarjetas. $\square$

Coordenadas geográficas ... ( Artículo escrito en catalán )

Per fer un recull de les coordenades geogràfiques (latitud i longitud) de diversos llocs podríem fer-ho de les següents maneres:

Opció 1. Al web de l'Institut Cartogràfic de Catalunya hi podeu consultar les coordenades geogràfiques de diverses localitats [http://www.icc.es], i també hi trobareu una aplicació en línia que permet convertir les coordenades UTM a coordenades geogràfiques (latitud i longitud), i a l'inrevés. Naturalment, això també ho podeu fer consultant en totes les pàgines web dels instituts cartogràfics d'arreu.

Opció 2. És possible fer servir el Google Earth o Google Maps per llegir les coordenades geogràfiques de qualsevol punt del mapa on tinguem el cursor a la part inferior de la finestra (latitud, longitud, i altura sobre el nivell del mar). Als alumnes no els ha de costar gens ni mica engegar el Google Earth, volar on són, llegir-les i apuntar-les.

Opció 3.  Per saber les coordenades d'un punt del mapa només cal el mapa de la zona; una mica de paciència, ganes i curiositat, un compàs, un regle i una calculadora científica bàsica (la calculadora ni cal); els alumnes són perfectament capaços de fer-ho: una activitat, per cert, fascinant per aprendre a fer servir els mapes. No tot ha de passar pels ordinadors, el Google i les bases de dades. Sovint el més eficaç és també el més senzill. Certament no quedarà ni tic ni tac, però s'aprèn, de debò, vull dir.

Opció 4.  Mitjançant un receptor GPS (el del cotxe familiar ja farà el fet) es mira i s'apunten en un paperet les coordenades del punt on ens trobmem. Fent això per tots els llocs d'interès quan ens hi traslladem es pot anar bastint la petita base de dades que vulguem fer.

Opció 5. Per a estudiants de batxillerat de ciències amb ganes d'aprendre, curiositat matemàtica, i amb una bona dosi de romanticisme - aquesta mena d'individus ho aguanten tot i, naturalment, aprenen a situar-se en tot moment -, els aconsello adquirir, a més a més, un sextant de plàstic [són molt més barats i, per començar amb l'afició de la navegació astronòmica, són molt apropiats], o fins i tot, fer-se'n un amb materials reciclats (un bon projecte de taller i laboratori); l'almanac nàutic de l'any (editat pel Real Instituto y Observatorio de la Armada), un rellotge ajustat a l'hora TU (també anomenada UT, UTC, o GMT). I, el més important: mirar el cel, mirar els astres que, per altra banda, i de tant en tant, va força bé bé per apartar la vista de la pantalla de l'ordinador i tornar a contemplar l'esfera celeste, com feien els antics, abans que (no fa pas gaires anys) hi hagués també al cel la flota de satèl·lits de posicionament global (GPS). Ben proveïts d'aquests estris, d'una mica de trigonometria esfèrica i uns coneixements elementals d'astronomia, tan sols caldrà "fer baixar" (amb l'humil i meravellós sextant) fins a l'horitzó un parell d'astres (estrelles, la Lluna, o bé el Sol, depenent del moment de l'observació, de dia o bé de nit), mesurant les seves altures sobre l'horitzó i els moments corresponents (hora TU), traçar les corresponents rectes d'altura sobre el paper i calcular les coordenades del lloc des d'on hem fet l'observació. Us puc assegurar que és una experiència fascinant.

[nota del autor]

Ejercicios con números complejos ...

4. Calculeu     $\sqrt{-i}$

Atès que l'índex del radical és igual a $2$, sabem d'antuvi que hem de trobar dos nombres complexos com a solució, de la forma $s=x+y\,i$

$\sqrt{-i}=x+y\,i$

elevant al quadrat en cada membre per poder desfer l'arrel quadrada del primer membre

$-i=(x+y\,i)^2$

i, desenvolupant el binomi al quadrat, trobem

$-i=x^2-y^2 + 2xy\,i$

Igualtant les parts reals i les parts imaginàries d'un i altre membres

$\left.\begin{matrix} x^2-y^2 = 0\\ \\ 2xy = -1\\ \end{matrix}\right\}$

Resolent aquest sistema d'equacions (per substitució) arribem a una equació polinòmica de grau quatre en $x$

$4x^4-1=0$

que, com és fàcil veure, té aquests quatre valors com a solució

$x_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$x_2=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$x_3=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,i$

$x_4=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,i$

d'entre els quals, tan sols tenen sentit, els dos primers, atès que representen la part real de les solucions que estem cercant

Llavors, substituint l'un i l'altre a la segona equació, arribem als valors de $y$ que tenen emparellats (després de racionalitzar i simplificar les expressions amb radicals que apareixen, càlculs addicionals senzills que no mostrarem aquí):

$y_1=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$y_2=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

A partir d'aquest resultats per a la part real i dels corresponents per a la part imaginària de les solucions de $\sqrt{-i}$, concloem que les solucions són:

$s_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,i$

i

$s_2=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,i$

$\square$

5. Calculeu el mòdul i l'angle polar del nombre complex:     $z=-1-2\,i$

Calculem el mòdul $r_z$:

$r_z=\left| \sqrt{z \cdot \overline{z}} \right|$

com que $\overline{z}=-1+2\,i$

$z \cdot \overline{z} = (-1-2\,i)\cdot(1+2\,i) = \ldots = 5$

per tant

$r_z=\left|\sqrt{5}\right|$

Calculem l'angle polar $\theta$:

És important que, primer de tot, representem el nombre polar en el pla complex, ja que cal ubicar-ne l'afix en el quadrant que correspongui d'acord amb els valor de la part real, $-1$ i de la part imaginària $-2$

Observem que

$180º \prec \theta \prec 270º$

L'angle pintat de color vermell a la figura és el que obtenim directament de la calculadora

$\arctan{\Big(\dfrac{Im(z)}{Re(z)}\Big)}=\arctan{2} \approx 63º \, 26'$

i, tenint en compte que

$\tan{(\theta)} = \tan{(\theta +180º)}$

entenem que l'angle que és solució de l'exercici (l'angle del 3r quadrant, pintat de color verd a la figura) és igual a

$63º \, 26' + 180º$

és a dir

$\theta \approx 243º \, 26'$

6. Determineu la part real la part imaginària de     $(2+3\,i)^4$

Desenvolupant la potència del binomi per la fórmula del binomi de Newton ens queda

$1\cdot 2^4 \cdot (3\,i)^0 + 4\cdot 2^3 \cdot (3\,i)^1$ $+ 6\cdot 2^2 \cdot (3\,i)^2+4\cdot 2^1 \cdot (3\,i)^3+$
$+1\cdot 2^0 \cdot (3\,i)^4$

on els coeficients que apareixen multiplicant davant de cada terme
$\{1,4,6,4,1\}$
són els nombres de la cinquena fila del triangle de Pascal (els nombres combinatoris de la fórmula del binomi de Newton)

Simplificant obtenim

$(2+3\,i)^4=\ldots=-119-120\,i$

$\square$

7. Considereu el nombre complex $z$, amb mòdul $r_z$ igual a $2$ i angle polar $\theta$ igual a $\pi/6$. Caculeu el seu complex conjugat $\overline{z}$, expressant-lo en forma cartesiana.

La forma trigonomètrica del nombre complex donat és

$z=2 \cdot \cos{ \big( \dfrac{\pi}{6} \big)} +2 \cdot \sin{ \big(\dfrac{\pi}{6}\big) } \, i $

tenint en compte que

$\sin{\big(\dfrac{\pi}{6}\big)}=\dfrac{1}{2}$

i

$\cos{\big(\dfrac{\pi}{6}\big)}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

simplifiquem i ens queda

$z=\sqrt{3}+i$

llavors, el complex conjugat serà

$z=\sqrt{3}-i$

$\square$

8. Demostreu que, donat un nombre complex $z=a+b\,i$ ( $a \,,\, \in \mathbb{R}$ ), llavors es compleix que

$z \cdot \overline{z} = \overline{z} \cdot z = r^{2}_{z} $

on $\overline{z}$ és el complex conjugat de $z$, i $r_z$ representa el mòdul de $z$ (que és igual, també, al de $\overline{z}$)

$z \cdot \overline{z} = \overline{z} \cdot z$

atès que, per la propietat commutativa de la multiplicació de nombres reals

$(a+b\,i)\cdot (a-b\,i)$

és igual a

$(a-b\,i)\cdot (a+b\,i)$

(de fet, ja sabem - és ben senzill demostrar-ho - que la propietat commutativa per al producte de dos nombres complexos qualssevol també és vàlida)

i, desenvolupant qualsevol de les dues expressions anteriors, fent ús de la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma, trobem que és igual a

$a^2+b^2$

expressió que, evidentment, representa el quadrat del mòdul de $z$ (i també el de $\overline{z}$)

en efecte

$a^2+b^2=\big(\sqrt{a^2+b^2}\,\big)^2=r^{2}_{z}$

tal i com volíem demostrar.

$\square$

[nota del autor]

Si realizamos una serie de $n$ medidas de ...

Si realitzem una sèrie de $n$ mesures d'una mateixa magnitud trobarem valors diferents
  $\{x_1 \,,\,x_2 \,,\,x_3 \, \ldots \, x_n \}$
la qual cosa demostra l'existència d'errors de tipus aleatori (o accidental) en la mesura

Malgrat no sigui possible predir aquests valors, sí que es demostra (no farem aquí la demostració) que segueixen una distribució de probabilitats normal $N(\mu, \sigma)$:


  On la mitjana $\mu$ és igual a la mitjana mostral

    $\displaystyle \mu = \bar{x}$
    i, per tant, $\mu=\dfrac{{\sum_{i=1}^{n}}\,x_i}{n}$

  I la desviació estàndard $\sigma$ es calcula fent

    $\displaystyle \sigma = \dfrac{s}{\sqrt{n}}$
      on $s$ representa la desviació estàndard de la mostra (de la sèrie de mesures)

      $\displaystyle s=\sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}\,\big(x_{i}-\bar{x}\big)^2}{n-1}}$

Resumint: prendrem el valor $\mu$ de la distribució normal, $\bar{x}$, com a valor estimat $\langle x \rangle$ de la magnitud $X$ mesurada (a partir de la sèrie de mesures efectuades), amb fita d'error accidental igual a $\Delta \, x_{a}$ igual a $\sigma$


Per acabar, també haurem de considerar l'error degut a la precisió de l'instrument de mesura (error instrumental) $\Delta \, x_{ins}$ (donat per la unitat més petita que figura al dispositiu de lectura), per tant, calcularem la fita d'error global fent
$\Delta \, x = \Delta \, x_{ins} + \Delta \, x_{acc}$
obtenint l'interval d'incertesa de la mesura efectuada
$x= \pm \Delta \, d$


Exercici proposat:
Hem fet una sèrie de $6$ mesures del diàmetre d'un cilindre i hem obtingut els següents resultats:
  $\{4,1\;,\;4,2\;,\;3,9\;,\;3,8\;,\;4,3\;,\;4,0\}$
Calculeu el valor estimat del diàmetre del cilindre i la fita d'error absolut lligada a aquest resultat aproximat $\bar{x} \pm \Delta\,x$. Nota: suposarem que l'error instrumental es nul.

[nota del autor]