Un ejercicio para adecuar el resultado al número de cifras significativas que corresponda, según intervengan sumas o productos en la operación combinada del resultado, atendiendo al número de cifras signicativas de los datos (los datos de las medidas son siempre inexactos)

Se ha encargado a una velería la elaboración de una vela triangular con las siguientes medidas de los lados: $g=7,2\,\text{m}$ (longitud del grátil, con $3$ cifras significativas [$3$ c.s.] y $1$ cifra decimal significativa [$1$ c.d.s.]); $b=6,11\,\text{m}$ (longitud de la baluma, con $3$ c.s. y $2$ c.d.s.), y $p=5,23\,\text{m}$ (longitud del pujamen, con $3$ c.s. y $2$ c.d.s.). Se pide que calculemos el área y el perímetro de la vela, adecuando el resultado al número de cifras significativas que corresponda a cada cálculo.

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Antes de comenzar con los cálculos del problema, es necesario recordar que se dice que una cifra de una determinada cantidad es una cifra significativa si su valor se conoce con seguridad. Una dato extraído siempre de una medida o del resultado de un cálculo precedente es tanto más preciso cuánto mayor sea su número de cifras significativas. Cuando hablemos del número de cifras significativas de una cantidad, nos referimos al conjunto de sus cifras significativas, ya sean de la parte entera o de la parte decimal de dicha cantidad (en el caso de que tenga una parte decimal); si, en particular, hablamos del número de cifras decimales significativas de una cantidad con parte decimal, nos referimos únicamente a las cifras significativas de la parte decimal de la misma. Por eso, en los datos del enunciado, por ejemplo, decimos que $5,23$ tiene tres cifras significativas, la de la parte entera y las dos de la parte decimal; a las dos de la parte decimal, aclaramos que son cifras decimales significativas, lo cual, como veremos enseguida, es importante en el caso de que la operación combinada del cálculo global conste tan sólo de sumas o restas.

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Nota: Aunque en este ejercicio no nos haga falta lo que voy a comentar ahora, sabed que una manera segura de contabilizar el número de cifras significativas de un dato y evitar así errores a la hora de contabilizarlas consiste en expresar la cantidad de dicho dato en notación científica: el número de cifras de la mantisa será, sin lugar a dudas, el número de cifras significativas de dicho dato; por ejemplo, consideremos un dato (no tiene nada que ver con este problema) tal como $145,007\,6$; éste tiene siete cifras significativas (en este caso los dos ceros también lo son), y, para ver ésto con claridad —hay datos en los que ciertos ceros que aparecen en ellos no son cifras significativas; tal es el caso de $0,0017$, y que tiene pues sólo dos cifras significativas, el $1$ y el $7$— en el caso de $145,007\,6$, sí son significativos los ceros que aparecen; para salir de dudas, puede escribirse en notación científica, $1,450\,076 \times 10^4$, y viendo pues que la mantisa $1,450\,076$ consta cláramente de $7$ cifras, podemos asegurar que esas siete cifras son todas las cifras significativas de $145,007\,6$.

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Para presentar el número correcto de cifras significativas en la cantidad que resulta del cálculo, hay que tener en cuento algo muy importante y que resulta evidente: la precisión del resultado en un cálculo no puede ser mayor que la del dato que, como resultado que es de una medición, tenga menos precisión, es decir, la de aquél que tenga el menor número de cifras significativas; así que, en buena lógica, y en lo que respecta a las operaciones básicas de suma/resta y multiplicación/división, deberemos tener en cuenta que:

1. El número de cifras significativas en el resultado de una multiplicación o una división no será mayor que el menor número de cifras significativas del factor que, como dato, sea el menos preciso (que el que tenga el menor número de cifras significativas de entre el conjunto de factores)
2. El número de cifras decimales significativas en el resultado de una suma o una resta no será mayor que el menor número de cifras decimales significativas del sumando que tenga menos precisión (que el que tenga el menor número de cifras decimales significativas)

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Ya estamos ahora en condiciones de ponernos a realizar los cálculos de este problema y a presentar correctamente los resultados en cuanto al número de cifras significativas que proceda.

El perímetro de un triángulo viene dado por la suma de los lados, esto es, $7,2+6,11+5,23$, y cuyo resultado, con todas las cifras del resultado, tal cual, es $18,54$; ahora bien, debemos adecuarlo al número de cifras significativas que le corresponte: tratándose de una suma, el número de cifras decimales significativas de dicha suma ha de ser igual al número de cifras decimales significativas del dato que tiene el menor número de las mismas, que corresponde a la longitud del grátil, que tiene $1$ c.d.s., luego el resultado, con la aproximación (por redondeo) a $1$ cifra decimal significativa es $18,5\, \text{m}$ (con $1$ c.d.s.)

Para calcular el área, vamos a utilizar la fórmula de Herón: $A=\sqrt{s\,(s-g)\,(s-b)\,(s-p)} \quad (1)$, donde $s$ denota el semiperímetro. En el cálculo del semiperímetro intervienen dos sumas y una división por $2$ (que es un dato exacto), cuyo resultado es $s=9,27$ (con todas sus cifras). Como, naturalmente, el cálculo hay que completarlo con dos restas/sumas, tres productos y una raíz cuadrada, utilizamos todas esas cifras del semiperímetro, por lo que la operación combinada y completa de (1) nos da $15,651\,618\,86$, pero, claro está, tenemos que adecuar ese resultado que leemos en la calculadora, aproximándolo por redondeo, al menor número de cifras significativas que corresponde al dato con el menor número de cifras significativas que intervenga en la operación combinada (1), por figurar en ella operaciones de multiplicación; el dato con el menor número de cifras significativas es la longitud del grátil, que tiene $2$ c.s., luego el resultado que deberemos presentar (aproximando por redondeo) es $16\,\text{m}^2$ (con $2$ c.s.).

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