Una ecuación en la que aparece la suma de una progresión geométrica

Consideremos la siguiente ecuación

$$1+5+5^2+5^3+\ldots+5^k=3096$$ donde $k$ es un número entero positivo, cuyo valor se pide que calculemos:

El primer miembro de la igualdad corresponde a la suma de $k+1$ términos de una progresión geométrica de razón $r=5$ y cuyo primer término es $a_1=1$, por lo tanto sabemos que dicha suma viene dada por $a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$, siendo $n$ el número de términos de la suma, que, en nuestro caso es igual a $k+1$, luego la ecuación pedida puede escribirse de la forma

$$1\cdot \dfrac{5^{k+1}-1}{5-1}=3\,096$$

Simplificándola nos queda:
  $5^{k+1}=3\,096 \cdot 4 +1$
    $5^{k+1}=3\,096 \cdot 4 +1$
      $5^{k+1}=15\,625$
Para despejar la incógnita, $k$, extraigamos logaritmos en cada miembro:
  $\ln\left(5^{k+1}\right)=\ln(15\,625)$
    $(k+1)\,\ln(5)=\ln(15\,625)$
      $k+1=\dfrac{\ln(15\,625)}{\ln(5)}$
        $k=\dfrac{\ln(15\,625)}{\ln(5)}-1$
          $k=5$
$\diamond$