Resolución de inecuaciones polinómicas. Un ejemplo

Consideremos el polinomio $P(x)=x^2+8x+7$. Nos proponemos determinar para qué valores de la variable independiente $x$ este polinomio toma valores positivos; es decir, queremos resolver la inecuación $$P(x) \gt 0$$

Veamos primero para qué valores de $x$ se anula (raíces de dicho polinomio); así podremos ver los intervalos en los que queda dividido su dominio de definición (que es la recta completa de los números reales).

Para ello, impongamos la condición necesaria para que un cierto valor $x$ sea raíz de $P(x)$:
  $P(x)=0$
    $x^2+8x+7=0$
      $x^2+x+7x+7=0$
        $x(x+1)+7(x+1)=0$
          $x(x+1)+7(x+1)=0$
            $(x+1)\left(x+7\right)=0 \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right.$
Ésas son las raíces: $-7$ y $-1$; por tanto $\mathbb{R}$ queda dividida en los siguientes intervalos, en los que el polinomio es positivo o bien negativo: $(-\infty,-7)$, $(-7,-1)$ y $(-1,+\infty)$

Para ver dónde toman valores positivos o negativos los factores del polinomio basta un valor cualquiera que pertenezca a cada intervalo y, sustituyendo $x$ por dicho valor en la expresión algebraica, calcular el signo de su valor. Así podemos deducir fácilmente el signo del propio polinomio $P(x)$ en cada intervalo (multiplicando los signos que toman los factores en dichos intervalos). Organizamos este análisis en la siguiente tabla de resultados:

                  (-infintio,-7)             (-7,-1)       (-1,+infinto)
x+1                    negativo             negativo         positivo
x+7                    negativo             positivo         positivo
                              
(x+1)·(x+7)            positivo             negativo         positivo
 

El resultado lo deducimos de la última línea de la tabla: $$P(x) \gt 0 \,\forall x \in (-\infty,-7) \cup (-1,+\infty)$$ $\diamond$