Resolución de una ecuación típica de las que aparecen en la Olimpiada Matemática

Calculemos las solución reales y complejas de la ecuación $$x^3+x=30$$

Según el teorema fundamental del álgebra, al ser el grado de la ecuación pedida $3$, deberemos encontrar, considerando las multiplicidades, $3$ raíces complejas (incluidas, aquellas en las que su parte imaginaria es cero, esto es, las raíces reales):
  $x^3+x=30$
    $x^3+x-30=0$
      $x^3+x-27-3=0$ (paso clave)
        $x^3-27+x-3=0$
          $x^3-3^3+x-3=0$
            $(x^3-3^3)+(x-3)=0$
              $(x-3)(x^2+3x+3^2)+(x-3)=0$, por la identidad $a^3-b^3=(a-b)(a^2+a\,b+b^2)$
                $(x-3)\,( (x^2+3x+3^2)+ 1)=0$
                  $(x-3)\,( x^2+3x+9+ 1)=0$
                    $(x-3)\,( x^2+3x+10)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-3= 0 \Rightarrow x_1=3 \in \mathbb{R}\\ x^2+3x+10=0 \Rightarrow x_{2,3}=\dfrac{-3\pm i\,\sqrt{31}}{2} \in \mathbb{C}\end{matrix}\right.$
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