Siendo $a$ y $b$ números enteros positivos, nos preguntamos a qué es igual $a+b$ y $a\cdot b$ sabiendo que $a!\cdot b!=10!$
Nota preliminar: Para calcular $a+b$ y $a\cdot b$ necesitamos conocer el valor de $a$ y $b$. Advirtamos, eso sí, que, salvo que $a$ o bien $b$ sean igual a $1$, $a!\cdot b!\neq (a\cdot b)!$, por lo que no debemos caer en el error de pensar que al factorizar $10$ de la forma $10=2\cdot 5$, entonces $a$ sea igual a $2$ y $b$ sea igual a $5$ o viceversa; evidentemente $2!\cdot 5!=2\cdot 120=240\neq (2\cdot 5)!)=10!$, y, $2! + 5!=2 + 120=122 \neq (2 + 5)!)=7!=5\,040$
Resolvamos ahora el problema:
Es claro que
$10!=10\cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=$
$(10\cdot 9 \cdot 8 \cdot 7) \cdot (6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)$=
$(10\cdot 9 \cdot 8 \cdot 7) \cdot 6!$=
$((5\cdot 2) \cdot (3\cdot 3) \cdot (4\cdot 2) \cdot 7) \cdot 6!$=
$((5\cdot 2) \cdot (3\cdot 3) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot 7) \cdot 6!$=
$(1\cdot 2 \cdot 3\cdot (2\cdot 2) \cdot 5 \cdot (3\cdot 2) \cdot 7) \cdot 6!$=
$(1\cdot 2 \cdot 3\cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7) \cdot 6!$=
$7! \cdot 6! \Rightarrow a=7\,\text{y}\,b=6\,,\,\text{o bien}\, a=6\,\text{y}\,b=7$
En cualquiera de los dos casos, $$a+b=6+7=7+6=13$$ y $$a\cdot b=6\cdot 7=7\cdot 6=42$$
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