Sea el número complejo $$z=\dfrac{2+i}{3-i}$$ Me propongo expresarlo de la forma $$z=|z|\cdot e^{i\,\theta}$$ donde $\theta$ es el ángulo polar y $|z|$ denota el módulo de dicho número complejo
Podemos calcular el módulo $|z|$ de varias maneras. Una de ellas consiste en manejar el cociente con el que se define dicho número para expresarlo en forma binómica, $z=a+ib$, con $a,b\in \mathbb{R}$, y, a continuación, hallar su módulo: $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. Procedo de esta manera:
$z=\dfrac{2+i}{3-i}$. Multiplicando y dividiendo por el complejo conjugado del denominador:
$=\dfrac{2+i}{3-i}\dfrac{3+i}{3+i}$
$=\dfrac{(2+i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}$
$=\dfrac{6+(3+2)i+i^2}{(3^2+3i-3i-i^2}$
$=\dfrac{6+5i+-(1)}{(3^2-(-1)}$
$=\dfrac{5+5i}{10}$
$=\dfrac{5(1+i)}{10}$
$=\dfrac{1}{2}\cdot (1+i) \quad (1)$
Entonces,
$|z|=|\dfrac{1}{2}|\cdot |1+1\cdot i|$
$=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{1^2+1^2}$
$=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
De $(1)$ podemos deducir ya el ángulo polar de $z$, para el que tomamos el argumento principal del mismo, $\theta =\text{Arg}(z)$, con $0\le \text{Arg}(z) \le 2\pi$:
$\theta=\text{Arg}(z):=\arctan\left(\dfrac{\mathcal{Im}(z)}{\mathcal{Re}(z)}\right)$, y teniendo en cuenta que $\text{Arg}\left(\dfrac{1}{2}\,(1+i)\right)=\text{Arg}(1+i)$, se tiene que, como $\mathcal{Re}(1+i)=1$ y $\mathcal{Im}(1+i)=1$, $\theta=\text{arctan}\left(\dfrac{1}{1}\right)=\text{arctan}(1)$. Por otra parte, el afijo de $z$ se encuentra en el primer cuadrante del plano de Argand (o plano complejo), pues $\mathcal{Re}(z)\gt 0$ y $\mathcal{Im}(z)\gt 0$, luego $\theta=\dfrac{\pi}{4}$. Nota: Recordemos que los ángulos los expresamos en radianes.
En consecuencia, ya podemos escribir el número complejo en forma exponencial:
$$\displaystyle z=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}$$
También podemos calcular el módulo de $z$ de la siguiente manera:
$|z|=\left|\dfrac{2+i}{3-i}\right|$
$=\dfrac{\left|2+i\right|}{\left|3-i\right|}$
$=\dfrac{\sqrt{2^2+1^2}}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}$
$=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$
$=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5\cdot 2}}$
$=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}}$
$=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\diamond$
