Cálculo de la potencia $z^{22}$, siendo $z$ el número complejo del ejercicio anterior

En el artículo precedente habíamos visto que $$z=\dfrac{2+i}{3-i}$$ puede expresarse de manera exponencial como $$\displaystyle z=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}$$ o, lo que es lo mismo, $$\displaystyle z=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}$$ Ahora, vamos a calcular la potencia $z^{22}$

Teniendo expresado $z$ de manera exponencial es sencillo calcular una potencia de exponente entero del mismo:
    $z^{22}=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}\right)^{22}$
        $=\left(\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right)^5\cdot \left(e^{i\,\frac{\pi}{4}}\right)^{22}$
          $=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{22}\cdot e^{i\,\frac{22\,\pi}{4}}$
            $=\left(\dfrac{1}{2^{\frac{1}{2}}}\right)^{22}\cdot e^{i\,\frac{11\,\pi}{2}}$
              $=\dfrac{1}{2^{\frac{22}{2}}}\cdot e^{i\,\frac{11\,\pi}{2}}$
                $=\dfrac{1}{2^{11}}\cdot e^{i\,\frac{11\,\pi}{2}}$
                  $=\dfrac{1}{2\,048}\cdot e^{i\,\frac{11\,\pi}{2}}$
Ahora bien, no hemos terminado, pues si queremos expresar $z^{22}$ en forma exponencial, debemos quedarnos con el argumento principal de dicho número complejo, y éste no puede ser mayor que $2\,\pi$, entonces, como el ángulo con que nos encontramos en la última línea es $\dfrac{11\,\pi}{2}\gt 2\pi$, tenemos que deducir cuál es el ángulo equivalente en la primera vuelta:
  Observemos que $11=2\cdot 5+1$, luego $\dfrac{11}{2}=\dfrac{2\cdot 5}{2}+\dfrac{1}{2}=5+\dfrac{1}{2}$; por consiguiente, $\dfrac{11\,\pi}{2}=5\,\pi+\dfrac{\pi}{2}=6\,\pi-\pi+\dfrac{\pi}{2}=6\,\pi+(-\dfrac{\pi}{2})=3\cdot 2\,\pi+(-\dfrac{\pi}{2})$, es decir, $\dfrac{11\,\pi}{2}$ es lo mismo que $3$ vueltas menos un cuarto de vuelta, luego el argumento principal es ese cuarto de vuelta negativo: $\text{Arg}(z^{22})=-\dfrac{\pi}{2}$

En conclusión,
  $\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}\right)^{22}=$     $=\dfrac{1}{2\,048}\cdot e^{-\frac{i\pi}{2}}$
      $=\dfrac{1}{2\,048}\cdot \left(\cos\,(-\frac{\pi}{2})+i\,\sin\,(-\frac{\pi}{2})\right)$
        $=\dfrac{1}{2\,048}\cdot \left(0+i\cdot (-1)\right)$
          $=-\dfrac{1}{2\,048}\cdot i$
que es un número imaginario puro, pues su parte real es nula, $\mathcal{Re}(z^{22})=0$.

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