Acerca de la identidad de Bézout

Un resultado básico relacionado con el máximo común divisor de dos números (enteros), distintos de cero, $a,b$ —y lo notaremos de la forma $\text{m.c.d.}(a,b)$—, es la denominada identidad de Bézout, que dice así:

Sea $\mathbb{Z} \ni d=\text{m.c.d.}(a,b)$, entonces existen infinitas parejas de números enteros $x,y$, tales que $d=ax+by$.

Veamos un ejemplo:
Consideremos los números enteros $a=4$ y $b=2$ —para hacerlo sencillo, los hemos elegido positivos—. Sabemos que el máximo común divisor de estos dos números es $d=\text{m.c.d.}(4,2)=2$, entonces, según el resultado que nos ocupa (identidad de Bézout), podremos encontrar otros dos números $x,y$ (no necesariamente únicos) tales que $2=4x+2y$. En efecto, es claro que una posibilidad es $x_1=0$ e $y_1=1$, entre otras infinitas parejas que satisfacen esta igualdad, y se puede justificar que son de la forma $$\left\{\begin{matrix}x=x_1+\lambda\,\dfrac{b}{d} \\ y=y_1-\lambda\,\dfrac{a}{d}\end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$ es decir, en el caso que nos ocupa: $$\left\{\begin{matrix}x=0+\lambda\,\dfrac{2}{2}=\lambda \\ y=1-\lambda\,\dfrac{4}{2}=1-2\,\lambda\end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$ esto es $$\{(0,1),(1,-1),(-1,3),(2,-3),(-2,5),\ldots\}$$

Otro ejemplo:
Dados los números enteros $a=1170$ y $b=363$, nos proponemos encontrar los pares de valores enteros $x,y$ tales que $x\,a+y\,b=d$ (donde $d=\text{m.c.d.}(a,b)$. Lo primero que haremos es calcular el máximo común divisor; y, como vamos a ver enseguida, nos vendrá muy bien hacerlo aplicando el algoritmo de Euclides. Sigamos los pasos necesarios:
  (1)   $1170=363\cdot 3+81$
  (2)   $363=81\cdot 4+39$
  (3)   $81=39\cdot 2+3$
  (4)   $39=13\cdot 3+0 \Rightarrow d=3$
Procedemos ahora a encontrar una solución particular $x_1,y_1$:
  De (3), $3=81-39\cdot 2$
    y teniendo en cuenta (2), podemos escribir que
    $3=81-(363-81\cdot 4)\cdot 2=81-363\cdot 2 +81\cdot 8=9\cdot 81 -263\cdot 2$
    que, siguiendo a partir de (1), puede escribirse de la forma
    $3=9\cdot 81 -263\cdot 2=9\cdot 1170-27\cdot 363-363\cdot 2 = 9\cdot 1170 -29\cdot 363 \Rightarrow x_1=9$ y $y_1=-29$
Con lo cual, como ya sabemos la estructura de la solución general, llegamos a que ésta es: $$\left\{\begin{matrix}x=9+\lambda\,\dfrac{363}{3} \\ y=-29-\lambda\,\dfrac{1170}{3}\end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}x=9+121\,\lambda \\ y=-29-390\,\lambda\end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$ obteniendo (dando valores arbitrarios a $\lambda$: $0,\pm1,\pm2\,\ldots$) las infinitas parejas de que consta la solución: $$\{(9,-29),(130,-419),(-112,361),\ldots\}$$

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Una utilidad muy importante de la identidad de Bézout es la de formar parte del proceso de resolución de una ecuación diofántica lineal, $cx+dy=k$, siendo también $c,d$ y $k$, números enteros, y siendo $k|d=\text{m.c.d.}(a,b)$. En estas condiciones, la solución general de dicha ecuación diofántica lineal está formada por un conjunto de parejas de números enteros $x$ e $y$. Para encontrar dicha solución general, a partir de una solución particular, se parte del resultado básico de la identidad de Bézout. En cursos superiores, aprenderéis a resolver este tipo de ecuaciones. Si sóis personas curiosas, os sugiero que os avancéis y leáis este otro artículo —como ampliación opcional— para ver como se hace.

Nota: El nombre que se le da a estas ecuaciones de números enteros viene del matemático Diofanto (s. III d.C.), quien en su obra Arithmetica expuso la resolución de algunas de dichas ecuaciones. $\diamond$

Identidades trigométricas. Fórmulas de transformación de «suma en producto» de razones

En este artículo vamos a demostrar las fórmulas de transformación de suma de razones trigonométrics en producto de razones: $$\sin (\gamma)+ \sin(\delta) = 2\,\sin\left(\dfrac{\gamma+\delta}{2}\right)\cdot \cos\left(\dfrac{\gamma-\delta}{2}\right)\quad \quad (i)$$ $$\cos (\gamma)+ \cos(\delta) = 2\,\cos\left(\dfrac{\gamma+\delta}{2}\right)\cdot \cos\left(\dfrac{\gamma-\delta}{2}\right)\quad \quad (ii)$$ $$\sin (\gamma)- \sin(\delta) = 2\,\cos\left(\dfrac{\gamma-\delta}{2}\right)\cdot \cos\left(\dfrac{\gamma+\delta}{2}\right)\quad \quad (iii)$$ $$\cos (\delta)- \cos(\gamma) = 2\,\sin\left(\dfrac{\gamma+\delta}{2}\right)\cdot \sin\left(\dfrac{\gamma-\delta}{2}\right)\quad \quad (iv)$$

Para ello, recurrimos a las fórmulas de las transformaciones de producto en suma que hemos justificado en el artículo anterior: $$\sin (\alpha)\cdot \cos(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (1)$$ $$\cos (\alpha)\cdot \cos(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (2)$$ $$\sin (\beta)\cdot \cos(\alpha) = \dfrac{1}{2}\left(\,\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (3)$$ $$\sin (\alpha)\cdot \sin(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\,\right)\quad \quad (4)$$

Denominando $$\gamma=\alpha+\beta \quad \quad (b)$$ $$\delta=\alpha-\beta \quad \quad (b)$$ y sumando miembro a miembro (a) y (b) podemos escribir $$\alpha=\dfrac{\gamma+\delta}{2} \quad \quad (c)$$ y restando (b) de (a), $$\beta=\dfrac{\gamma-\delta}{2} \quad \quad (d)$$ Basta ahora con sustituir (c) y (d) en (1),(2),(3) y (4) para obtener las igualdades pedidas. $\diamond$

Identidades trigonométricas. Fórmulas de transformación de «producto en suma»

En este artículo vamos a demostrar las fórmulas de transformación de productos de razones trigonométrics en sumas: $$\sin (\alpha)\cdot \cos(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (1)$$ $$\cos (\alpha)\cdot \cos(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (2)$$ $$\sin (\beta)\cdot \cos(\alpha) = \dfrac{1}{2}\left(\,\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (3)$$ $$\sin (\alpha)\cdot \sin(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\,\right)\quad \quad (4)$$

Para ello, recurrimos a las fórmulas conocidas del seno y del coseno de la suma y de la diferencia de razones trigonométricas: $$\sin(\alpha + \beta)=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \sin(\beta)\cdot \cos(\alpha)\quad \quad (5)$$ $$\sin(\alpha - \beta)=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) - \sin(\beta)\cdot \cos(\alpha)\quad \quad (6)$$ $$\cos(\alpha + \beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) - \sin(\beta)\cdot \sin(\alpha)\quad \quad (7)$$ $$\cos(\alpha - \beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \sin(\beta)\cdot \sin(\alpha)\quad \quad (8)$$

Sumando miembro a miembro (5) y (6) se obtiene (1); restando (6) de (5) se obtiene (3); sumando (7) y (8) se obtiene (4), y restando (7) de (8) se llega a (2).$\diamond$

Seno, coseno y tangente de la suma y diferencia de ángulos

Observemos la siguiente figura, en la que se han representado los ángulos $\alpha$ y $\beta$, situados en el primer cuadrante. Nos proponemos demostrar la siguiente fórmula trigonométrica que da cuenta del seno del ángulo suma de $\alpha+\beta$, también del primer cuadrante: $$\sin(\alpha +\beta)=\sin(\alpha)\,\cos(\beta)+\sin(\beta)\,\cos(\alpha)$$

Veámoslo. Del triángulo rectángulo $\triangle OAB$ vemos que $\sin(\alpha+\beta)=\overline{AB}=\overline{FQ}+\overline{EQ} \quad \quad (1)$. Y como $\triangle QFB \sim \triangle OCD$, podemos escribir que $\overline{FQ}=\overline{QB}\cdot \cos(\alpha)$, y como en el triángulo rectángulo $\triangle OQB$, $\overline{QB}=1\cdot \sin(\beta)$, se tiene que $\overline{FQ}=\sin(\beta)\cdot \cos(\alpha) \quad \quad (2)$

Por otra parte $\triangle OEQ \sim \triangle ODC$ luego $\dfrac{\overline{EQ}}{\overline{CD}}=\dfrac{\overline{OQ}}{\overline{OC}} \Rightarrow \overline{EQ}=\overline{CD}\cdot \overline{OQ}$, ya que $\overline{OC}=1$. Teniendo en cuenta que en el triángulo rectángulo $\triangle OQB$, $\overline{OQ}=\cos(\beta)$ y que en el triángulo rectángulo $\triangle ODC$m $\overline{CD}=\sin(\alpha)$, podemos escribir $\overline{EQ}=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) \quad \quad (3)$.

Sustituyendo ahora (2) y (3) en (1), se justifica la fórmula propuesta.

Mediante un dibujo similar, y procediendo de manera análoga, es muy fácil demostrar que $$\sin(\alpha -\beta)=\sin(\alpha)\,\cos(\beta)-\sin(\beta)\,\cos(\alpha)$$

Podemos sacar más provecho de la figura, para justificar estas otras dos fórmulas empleando razonamientos similares: $$\cos(\alpha +\beta)=\cos(\alpha)\,\cos(\beta)-\sin(\beta)\,\sin(\alpha)$$ $$\cos(\alpha -\beta)=\cos(\alpha)\,\cos(\beta)+\sin(\beta)\,\sin(\alpha)$$

Por lo que se refiere a la razón tangente de la suma de ángulos, sabemos que $$\tan(\alpha+\beta):=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\dfrac{\sin(\alpha)\,\cos(\beta)+\sin(\beta)\,\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)\,\cos(\beta)-\sin(\beta)\,\sin(\alpha)}$$ Dividiendo el numerador y el denominador por $\cos(\alpha)\,cos(\beta)$, y simplificando se llega a $$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}+\dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}{1-\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\,\dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}$$ Teniendo en cuenta ahora que $\tan(\alpha):=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ y $\tan(\beta):=\dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}$, podemos escribir $$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\,\tan(\beta)}$$

Y en cuanto a la tangente de la diferencia de ángulos: $$\tan(\alpha-\beta):=\dfrac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}=\dfrac{\sin(\alpha)\,\cos(\beta)-\sin(\beta)\,\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)\,\cos(\beta)+\sin(\beta)\,\sin(\alpha)}$$ Dividiendo el numerador y el denominador por $\cos(\alpha)\,cos(\beta)$, y simplificando se llega a $$\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}-\dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}{1+\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\,\dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}$$, por tanto podemos escribir $$\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\,\tan(\beta)}$$

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Logaritmo de un número complejo

Vamos a calcular el logaritmo de un número complejo $z=a+ib$, donde $\mathcal{Re}(z)=a$ es la parte real, y $\mathcal{Im}(z)=b$ es la parte imaginaria, siendo $a,b\in \mathbb{R}$.

Para ello, nos conviene primero expresar el número complejo según la forma de Euler: $\displaystyle z=|z|\,e^{i\,\text{arg}(z)}$, donde $\text{arg}(z)=\text{Arg}(z)+2k\pi$, con $k=0,1,2,\ldots$, siendo $-\pi \lt \text{Arg}(z) \lt \pi$ el argumento principal (expresado en radianes), y, como sabemos, viene dado por $$\text{Arg}(z)=\text{arctan}\left(\dfrac{\mathcal{Im}(z)}{\mathcal{Re}(z)}\right)$$

Desde luego, el logaritmo pedido es un número complejo $\mathbb{C} \ni w=\ln(z)=c+id$, con $c=\mathcal{Re}(w),d=\mathcal{Im}(w)$, y por supuesto $c,d\in \mathbb{R}$, por lo tanto, $\ln\left(|z|\,e^{i\,\text{arg}(z)}\right)=c+id$. Teniendo en cuenta que $\ln\,e^{i\,\text{arg}(z)}=i\,\text{arg}(z)$, se tiene que $\displaystyle \ln\,|z|+i\,\left(\text{arctan}\left(\dfrac{b}{a}\right)+2k\pi\right)=c+id$. Así pues, $c=|z|$ y $d=\text{arctan}\left(\dfrac{b}{a}\right)+2k\pi$, con $k=0,1,2,\ldots$.

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Ejemplo. Sea $z=2+i$. Nos proponemos calcular $\ln\,z$. Pues bien, $\displaystyle z=\sqrt{5}\,e^{i\,\text{Arg}(z)+2k\pi}$ siendo en este caso el argumento principal $0\lt \text{Arg}(z)=\text{arctan}(1/2)\lt \pi/2$, ya que tanto la parte real como la parte imaginaria de $z$ son positivas (el afijo de dicho número se encuentra en el primer cuadrante). En consecuencia, $\ln\,z = c+ id$, con $c=\ln\,\sqrt{5}$ y $d=\text{arctan}(1/2)+2k\pi$, con $k=0,1,2,\ldots$, y vemos que, con ayuda de la calculadora, $\sqrt{5}\approx 0,8047$ y $\text{arctan}(1/2) \approx 0,4636\,\text{rad}$, luego el logaritmo pedido es $$\{\sqrt{5}+i\,\text{arctan}(1/2)\,,\,\sqrt{5}+i\,(\text{arctan}(1/2)+2\pi)\,,\,\sqrt{5}+i\,(\text{arctan}(1/2)+4\pi)\,,\,\sqrt{5}+i\,(\text{arctan}(1/2)+6\pi)\,,\,\ldots\}$$ $\diamond$

División de polinomios. Cálculo del polinomio resto sin hacer la división

Consideremos la división de polinomios con coeficientes en $\mathbb{R}$, $$5x^4+x^3+1 \div x^3+x^2-2x$$ ¿Cómo podemos calcular el resto y el cociente de dicha división sin realizar la división, esto es, sin aplicar explícitamente el algoritmo general de la división?.

Recordemos el teorema de la división euclídea de polinomios: dado los polinomios $D(x)$ (p. dividendo) y $d(x)$ (p. divisor), distintos ambos del polinomio cero, y siendo $\text{grado}(D(x)\ge \text{grado}(dx)$, entonces se cumple que $D(x)=d(x)\,c(x)+r(x)$, donde $c(x)$ es el polinomio cociente de dicha división y cuyo grado es $\text{grad}(c(x))=\text{grado}(D(x))-\text{grado}(d(x))$, y el polinomio resto es tal que $\text{grado}(r(x))\le \text{grado}(d(x))$.

En el caso que nos ocupa, el polinomio dividendo es $D(x)=5x^4+x^3+1$ y su grado es $4$, y el polinomio divisor es $d(x)=x^3+x^2-2x$ y su grado es $3$, por lo que el polinomio resto puede llegar a ser de grado $2$, en consecuencia podemos escribir que $r(x)=ax^2+bx+c$, siendo los coeficientes $a,b$ y $c$ números reales —si $D(x)$ fuese múltiplo de $d(x)$, los tres coeficientes serian nulos; en el caso que $r(x)$ fuese de grado $1$, el coeficiente $a$ seria nulo y $b$ no nulo, y de ser de grado $2$, el coeficientes $a$ debería ser no nulo—. Pues bien, según lo dicho deberá cumplirse que $$5x^4+x^3+1=(x^3+x^2-2x)\cdot c(x)+ax^2+bx+c$$, siendo conscientes de que, si bien sabemos que el grado del polinomio cocientes ha de ser $1$, desconocemos el valor de los coeficientes del mismo.

A pesar de ello, podemos determinar el valor de los coeficientes del polinomio residuo, $a,b$ y $c$, si calculamos las raíces del polinomio divisor $d(x)$, que, fácilmente, vemos que son $-2$, $1$ y $0$. En efecto, como es bien sabido, para cada una de las raíces, el polinomio $c(x)$ se anula, luego al sustituir la indeterminada de los polinomios $D(x)$, $d(x)$, $c(x)$ y $r(x)$, por cada uno de esos valores se llega al siguiente sistema de ecuaciones lineales:$$\left\{\begin{matrix}73&=&4a&-&2b&+&c\\ 7&=&a&+&b&+&c \\ 1&=&&&&+&c\end{matrix}\right.$$

Sustituyendo el valor de $c$ que nos da la última ecuación en las dos primeras, $$\left\{\begin{matrix}72&=&4a&-&2b\\ 6&=&a&+&b\end{matrix}\right.$$ Multiplicando por $2$ ambos miembros de la segunda tenemos el sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}72&=&4a&-&2b\\ 12&=&2a&+&2b\end{matrix}\right.$$ y sumando miembro a miembro ambas ecuaciones se obtiene $6a=84$ y por tanto, $a=14$; sustituyendo ahora en la primera ecuación, $b=6-14=-8$

Concluimos pues que el polinomio resto pedido es $$r(x)=14x^2-8x+1$$ $\diamond$

Calculemos ahora el polinomio cociente $c(x)$. Para ello, recordemos otra vez que, por el teorema de la división (de polinomios) euclídea, se tiene que $D(x)=d(x)\cdot c(x)+r(x)$, y por tanto $$5x^4+x^3+1=(x^3+x^2-2x)\cdot c(x)+ 14x^2-8x+1$$ siendo el grado del polinomio cociente igual a $1$, ya que los grados de los polinomios dividendo y divisor son $4$ y $3$, respectivamente. Así, el polinomio cociente deberá ser de la forma $c(x)=dx+e$, con $d,e\in \mathbb{R}$; es decir, $$5x^4+x^3+1=(x^3+x^2-2x)\cdot (dx+e)+ 14x^2-8x+1$$ esto es $$5x^4+x^3+1=dx^4++dx^3-2dx^2+ex^3+ex^2-2ex+14x^2-8x+1$$ y agrupando los términos por grados en ambos miembros, se llega a $$\left\{\begin{matrix}5=d\\d+e=1\\-2d+e+14=0\\-2e-8=0\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}d=5\\e=-4\end{matrix}\right.$$ con lo cual $$c(x)=5x-4$$ $\diamond$

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Observación 1: En el caso de que el polinomio divisor $d(x)$ no tenga raíces reales, podemos seguir el mismo procedimiento operando con las raíces complejas, como es bien fácil comprobarlo con algún ejemplo sencillo: pongamos que con $d(x)=x^2+1$.

Observación 2: Hallar el resto y el cociente sin hacer la división, puede ser interesante en los casos en los que el grado del polinomio dividendo sea mucho mayor que el grado del polinomio divisor, pues de aplicar el algoritmo general de la división, el proceso de cálculo podría ser engorroso y largo.