Comparación de la media cuadrática con la media aritmética en unas condiciones concretas

Se consideran dos números reales positivos, $a$ y $b$, tales que $a+b=1$, se pide que demostremos que la media geométrica de dichos números es menor que su media aritmética.

Recordemos las definiciones de media cuadrática de $n$ números, $\displaystyle \text{MQ}(\{x_1,\ldots,x_n\}):=\sqrt{ \dfrac{1}{n} \left(x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}+ \ldots + x_{n}^{2}\right)}$, y de media aritmética, $\text{MA}(\{x_1,\ldots,x_n\}):=\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}$

En el caso que nos ocupa: $\text{MQ}(\{a,b\}):=\sqrt{\dfrac{1}{2}\,(a^2+b^2)}$ y teniendo en cuenta que $a+b=1$, $b=a-1$, con lo cual $\text{MQ}(\{a,b\})=\sqrt{\dfrac{1}{2}\,(a^2+(1-a^2)}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\gt \dfrac{1}{2}$, valor que es igual al de la media aritmética, pues $\text{MA}(\{a,b\}):=\dfrac{a+b}{2}\overset{a+b=1}{=}\dfrac{1}{2}$. Por consiguiente, $$\text{MQ}(\{a,b\})\gt \text{MA}(\{a,b\}) \therefore \text{MA}(\{a,b\})\lt \text{MQ}(\{a,b\})$$

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Comentario:
Esta relación de desigualdad se extiende a un número arbitrario de números reales distintos de cero (positivos y negativos) cuya suma no necesariamente sea igual a $1$. La demostración es un poco más elaborada.

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