Representemos la gráfica de la siguiente función definida a tramos: $$f(x)=\left\{\begin{matrix}x+1 & \text{si} & x \lt 0 \\ 2^{-x} & \text{si} & x \ge 0 \end{matrix}\right.$$
Para hacerlo con la ayuda de GNU MAXIMA, escribimos la siguiente instrucción en el panel correspondiente:
(%i33) wxplot2d([if x<0 then x+1 else 2^-x],[x,-4,4]);
$\diamond$
Nos proponemos calcular las coordenadas de los puntos de intersección de la circumferencia $C:x^2+y^2=3^2$ (de radio igual $3$ y centrada en el origen de coordenadas) y la elipse $E:\dfrac{x^2}{4^2}+\dfrac{y^2}{2^2}=1$ (centrada también en el origen de coordenadas, con semiejes $a=4$ y $b=2$). Para ello, debemos resolver el sistema de cuaciones cuadráticas $\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=3^2 \\ \dfrac{x^2}{4^2}+\dfrac{y^2}{2^2}=1\end{matrix}\right.$
Primero, visualicemos las gráficas de dichas cónicas:
(%i31) wxplot2d([x^2+y^2=9,x^2/16+y^2/4=1],[x,-10,10],[y,-10,10]);
A continuación, vamos a calcular las coordenadas exactas de los puntos de intersección:
(%i9) c:x^2+y^2=3^2$ /* ecuación de la circumferemcia */
(%i10) e:x^2/4^2+y^2/2^2=1$ /* ecuación de la elipse */
/* instrucción de resolución del sistema de ecuaciones
formado por las dos ecuaciones anteriores y respuesta
de MAXIMA */
(%i11) solve([c,e],[x,y]);
(%o11) [[x=-(2*sqrt(5))/sqrt(3),y=-sqrt(7)/sqrt(3)],
[x=-(2*sqrt(5))/sqrt(3),y=sqrt(7)/sqrt(3)],
[x=(2*sqrt(5))/sqrt(3),y=-sqrt(7)/sqrt(3)],
[x=(2*sqrt(5))/sqrt(3),y=sqrt(7)/sqrt(3)]]
Así, pues, vemos que las coodenadas $(x,y)$ de los $4$ puntos de intersección son: $\left\{ \left( 2\,\sqrt{\dfrac{5}{3}},\sqrt{\dfrac{7}{3}}\right), \left( 2\,\sqrt{\dfrac{5}{3}},-\sqrt{\dfrac{7}{3}}\right),\left( -2\,\sqrt{\dfrac{5}{3}},\sqrt{\dfrac{7}{3}}\right), \left( -2\,\sqrt{\dfrac{5}{3}},-\sqrt{\dfrac{7}{3}}\right) \right\}$. $\diamond$
(%i15) f(x):=x^2$ g(x):=-x$ wxplot2d([f(x),g(x)],[x,-1,1]);
Aquí tenéis un algoritmo básico y el código del programa correspondiente en lenguaje Python [1]
def es_primo(numero):
if numero < 2:
return False
for i in range(2, int(numero ** 0.5) + 1):
if numero % i == 0:
return False
return True
# Ejemplo de uso:
numero = int(input("Ingrese un número: "))
if es_primo(numero):
print(numero, "es un número primo.")
else:
print(numero, "no es un número primo.")
Y para encontrar los números primos mayores o iguales que $2$ y menores que $1000$, podéis escribir y hacer funcionar el siguiente programa en vuestro intérprete de Python (los hay que podéis utilizar en línea, sin instalar software de desarrollo en vuestro ordenador como, por ejemplo, éste [3]: https://www.tutorialspoint.com/online_python_compiler.php):
def es_primo(numero):
if numero < 2:
return False
#la búsqueda acaba en la raíz cuadrada del número introducido más una unidad
for i in range(2, int(numero ** 0.5) + 1):
if numero % i == 0:
return False
return True
primos = []
for num in range(2, 1001):
if es_primo(num):
primos.append(num)
print("Números primos hasta 1000:")
print(primos)
Al poner en marcha el programa, a cuyo archivo le he dado el nombre de numerosprimos.py,
>>> %Run numerosprimos.py
Nota: el símbolo >>> indica el prompt de la cónsola de vuestro entorno de desarrollo (fuera de línea, he utilizado el IDE Thonny [2] (habiendo instalado préviamente Python [1]), que es software libre, y es de fácil uso)
Podéis comprobar que se obtiene (rápidamente, en pocos segundos) ...
Números primos hasta 1000:
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997]
>>>
Otra manera de hacerlo consiste en implementar el algoritmo de la criba de Eratóstenes, tal como podéis ver en este artículo que he escrito en otro de mis blogs; en particular, con un programa escrito, también, en lenguaje Python.
$\diamond$