Siete ejemplos de uso de las escalas logarítmicas

Además de las utilidades de los logaritmos en el análisis matemático y el cálculo algebraico y numérico, el empleo de los mismos tiene una gran relevancia a la hora de expresar y representar las cantidades que toman ciertas magnitudes; éstas pueden ser, a veces, muy grandes o muy pequeñas, y, a efectos de manipular dichos valores, no basta con el empleo de la notación científica; por ello, una de las ventajas de las escalas logarítmicas es el poder expresar los valores de dichas magnitudes con números que no son ni muy pequeños ni muy grandes, sino números cómodamente manejables. Además, la percepción de nuestros sentidos de ciertas magnitudes se demuestra mucho más eficiente según la describimos mediante escalas logarítmicas (percepción del sonido, o de la luminosidad, por ejemplo).

Estos siete ejemplos que he elegido son: i) las escalas logarítmicas de la graduación de los ejes de coordenadas en las representaciones gráficas que se emplean habitualmente para describir la dependencia entre dos variables que adoptan valores respectivos mucho más grandes/pequeños una con respecto de la otra; ii) la escala sismológica de Richter; iii) la escala de acidez o de pH; iv) las escalas de magnitudes relativas en la magnitud de la observación de los cuerpos celestes (no incluyen la dependencia de la distancia al observador); v) las escalas de magnitudes absolutas de los mismos (incluyen la dependencia de la distancia al observador); vi) en general, el uso de logaritmos para dos cantidades de la misma magnitud en la entrada y salida de un sistema (decibelios), que tanto se emplea en electrónica y telecomunicaciones; y, en particular, vii) en audición. Los siete los tenéis referenciados a continuación:

  [1] vv.aa., Escalas logarítmicas, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Escala_logarítmica], 2022.
  [2] vv.aa., La escala sismológica de Richter, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Escala_sismológica_de_Richter], 2022.
  [3] vv.aa., La escala de pH, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/PH], 2022.
  [4] vv.aa., Magnitud estelar aparente, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_aparente], 2022.
  [5] vv.aa., Magnitud estelar absoluta, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_absoluta], 2022.
  [6] vv.aa., Decibelio, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Decibelio], 2022.
  [7] vv.aa., Sonoridad, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Sonoridad_(sicoacústica) ], 2022.

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Descripción logarítmica de la ganancia/atenuación de una señal

En muchas ocasiones interesa expresar la medida de magnitud (potencia, tensión, intensidad eléctrica, intensidad sonora, etcétera) en relación a un nivel de referencia de la misma, pudiendo manejar así una cantidad adimensional. Ello tiene sus ventajas, por diversas razones; una de las más importantes es el poder expresar dicha medida relativa en una escala numérica manejable, con números que no sean ni muy grandes ni muy pequeños si, por contra, estos aparecieran directamente en la medida de la magnitud. Una forma de conseguirlo es utilizar el logaritmo de la razón de la medida abasoluta y la medida de referencia; a lo que resulta se le denomina bel, en honor a Alexander Graham Bell (1847-1922). De esta manera, podemos expresar la ganancia o la atenuación en una cierta magnitud a la salida de un cierto sistema (medio o dispositivo) con respecto al nivel de la misma en la entrada.

Se define entonces el belio (B) como la unidad adimensional de medida de una magnitud $\mathcal{X}$, que, en un momento dado, tome un cierto valor $x_1$, y ello con respecto a un valor convenido de la misma, $x_0$, utilizando el logaritmo decimal de la razón $\dfrac{x_0}{x_1}$, al que denominaremos $L_B$. Así, $$L_B:=\log_{10}\,\dfrac{x_1}{x_0}$$ con lo cual $x_1=x_0\,10^{L_B}$; en particular si $x_1=x_0$, entonces la ganancia/atenuación, es de $L_B=0$ B, ya que $1=10^0$, o lo que es lo mismo $L_B=0=\log_{10}\,1$. Notemos además que si se da un incremento (positivo), $x_1\gt x_0$, entonces $L_B>0$; y, en el caso de darse un decremento, si $x_1\lt x_0$, entonces $L_B\lt 0$.

Comunmente, a efectos prácticos, se utiliza del decibel (dB) en lugar del bel (B) con el mismo propósito que acabo de exponer (tener una expresión de una medida relativa a un nivel de referencia de la misma magnitud): $1\,\text{B}=10\,\text{dB}$, con lo cual podemos escribir que la medida relativa en decibelios de $x_1$ con respecto a $x_0$ es $$L_{dB}:=10\cdot \log_{10}\,\dfrac{x_1}{x_0}$$ y por tanto $$x_1=x_0 \cdot 10^{L_{dB}/10}=x_0\,10^{L_{B}}$$

Aplicación a la fisiología del oído humano. La sonoridad

Se sabe que la intensidad acústica —véase el siguiente artículo en este mismo blog: Algunas cosas básicas sobre los fenómenos ondulatorios— que el oído humano es capaz de percibir se encuentra en el intervalo $\left(10^{-12}, 1\right)\, \dfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$ ($W$ indica vatio, la unidad de potencia del Sistema Internacional). Por debajo del extremo inferior, $I_0=10^{-12}\,\dfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$, no se percibe ninguna sensación acústica; y, por encima, del extremo superior, $1\,\dfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$ se producen daños en el aparato auditivo.

Al objeto de cuantificar la sensación auditiva se define la magnitud adimensional sonoridad, que se relaciona con la intensidad acústica de las ondas incidentes en el oído según la ley de Weber-Fechner: $S=10\,\log_{10}\,\dfrac{I}{I_0}$ (recordemos que $I_0$ es la intensidad umbral de sensación auditiva) —nótese que esta magnitud adimensional, la sonoridad, viene dada en decibelios al estar definida mediante el logaritmo de la razón de dos magnitudes, que en este caso son las intensidades—. Puede entenderse de dicha dependencia entre la sonoridad y la intensidad acústica que la primerqa varía de manera lineal, si se hace variar la intensidad acústica de forma exponencial.

Se sabe que la sonoridad depende de la frecuencia del sonido: la máxima sensibilidad en el aparato auditivo humano corresponde a una frecuencia de unos $3000\,\text{Hz}$. La sensibilidad acústica del oído humano disminuye por debajo y por encima de dicha frecuencia; por debajo de $20\,\text{Hz}$ ya no se percibe ningún sonido, y tampoco por encima de $20\,000\,\text{Hz}$.

Ejemplo de cálculo con sonoridades

Una persona percibe un sonido con una sonoridad de $10\,\text{dB}$. Nos preguntamos cuál es el valor de la intensidad acústica que recibe.

Denotemos por $I$ a la intensidad acústica pedida. Entonces, según los datos, podemos escribir que $20=10\,\log_{10}\,\dfrac{I}{10^{-12}}$, luego $\dfrac{I}{10^{-12}}=10^{20/10}$, esto es, $I_A=10^{-12}\cdot 10^2=10^{-10}\,\dfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$.$\diamond$

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Referencias:

  [1] vv.aa., Decibel, Wikipedia [https://ca.wikipedia.org/wiki/Decibel], 2022.