Resolución de inecuaciones. Otro ejemplo

Consideremos la función $f(x)=(2^x-1)(x+2)$. De manera parecida al ejercicio anterior, queremos determinar para qué valores de la variable independiente $x$ esta función toma valores positivos; es decir, queremos resolver la inecuación $$f(x) \gt 0$$

El dominio de definición de esta función es todo el conjunto de los números reales. Veamos primero para qué valores de $x$ se anula (raíces de dicho polinomio); así podremos ver los intervalos en los que queda dividido su dominio de definición (que es la recta completa de los números reales).

Para ello, impongamos la condición necesaria para que un cierto valor de $x$ sea raíz de la función $f(x)$:
  $f(x)=0$
    $(2^x-1)(x+2)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2^x-1=0 \Rightarrow x=0\\x+2=0 \Rightarrow x=-2\end{matrix}\right.$
Ésas son las raíces: $-2$ y $0$; por tanto el dominio (la recta de los números reales) queda dividida en los siguientes intervalors: $(-\infty,-2]$, $(-2,0)$ y $(0,+\infty)$, en los que la función toma signo positivo o bien negativo.

Para ver dónde toman valores positivos o negativos los factores de la función basta tomar un valor cualquiera que pertenezca a cada intervalo y, sustituyéndo $x$ por dicho valor en la expresión algebraica, calcular el signo del factor. Así podemos deducir fácilmente el signo de la propia función $f(x)$ en cada intervalo (multiplicando los signos que toman los factores en dichos intervalos). Organizamos este análisis en la siguiente tabla de resultados:

                    (-infinito,-2)             (-2,0)         (0,+infinito)
2^x-1                  negativo               negativo         positivo
x+2                    negativo               positivo         positivo
                              
(2^x-1)·(x+2)          positivo               negativo         positivo
 

El resultado lo extraemos de la última línea de la tabla: $$f(x) \gt 0 \,\forall x \in (-\infty,-2) \cup (0,+\infty)$$ $\diamond$

Resolución de inecuaciones polinómicas. Un ejemplo

Consideremos el polinomio $P(x)=x^2+8x+7$. Nos proponemos determinar para qué valores de la variable independiente $x$ este polinomio toma valores positivos; es decir, queremos resolver la inecuación $$P(x) \gt 0$$

Veamos primero para qué valores de $x$ se anula (raíces de dicho polinomio); así podremos ver los intervalos en los que queda dividido su dominio de definición (que es la recta completa de los números reales).

Para ello, impongamos la condición necesaria para que un cierto valor $x$ sea raíz de $P(x)$:
  $P(x)=0$
    $x^2+8x+7=0$
      $x^2+x+7x+7=0$
        $x(x+1)+7(x+1)=0$
          $x(x+1)+7(x+1)=0$
            $(x+1)\left(x+7\right)=0 \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right.$
Ésas son las raíces: $-7$ y $-1$; por tanto $\mathbb{R}$ queda dividida en los siguientes intervalos, en los que el polinomio es positivo o bien negativo: $(-\infty,-7)$, $(-7,-1)$ y $(-1,+\infty)$

Para ver dónde toman valores positivos o negativos los factores del polinomio basta un valor cualquiera que pertenezca a cada intervalo y, sustituyendo $x$ por dicho valor en la expresión algebraica, calcular el signo de su valor. Así podemos deducir fácilmente el signo del propio polinomio $P(x)$ en cada intervalo (multiplicando los signos que toman los factores en dichos intervalos). Organizamos este análisis en la siguiente tabla de resultados:

                  (-infintio,-7)             (-7,-1)       (-1,+infinto)
x+1                    negativo             negativo         positivo
x+7                    negativo             positivo         positivo
                              
(x+1)·(x+7)            positivo             negativo         positivo
 

El resultado lo deducimos de la última línea de la tabla: $$P(x) \gt 0 \,\forall x \in (-\infty,-7) \cup (-1,+\infty)$$ $\diamond$

Cálculo del ángulo entre dos números complejos en el diagrama de Argand (plano complejo)

Consideremos los números complejos $w=-1+2i$ y $z=1+3i$, ¿qué ángulo forman entre sí?

Observemos que el afijo de $w$ está en el segundo cuadrante del plano de Argand, pues $\mathcal{Re}(w)\lt 0$ y $\mathcal{Im}(w)\gt 0$; y, el afijo de $z$ está en el primer cuadrante, ya que $\mathcal{Re}(z)\gt 0$ y $\mathcal{Im}(z)\gt 0$. Así pues $90^{\circ}\lt \text{Arg}(w) \lt 180^{\circ}$, mientras que $0^{\circ}\lt \text{Arg}(z) \lt 90^{\circ}$. Nota: En este ejercicio, por comodidad, he decidido expresar los ángulos en grados sexagesimales.

Calculo ahora los argumentos principales, aproximando a la cifra de las unidades: $\text{Arg}(z)=\text{arctan}\left( \dfrac{\mathcal{Im}(z)}{\mathcal{Re}(z)} \right)=\text{arctan}\,(\dfrac{3}{1})=\text{arctan}(3)\approx 72^{\circ}$ y $\text{Arg}(w)=\text{arctan}\left( \dfrac{\mathcal{Im}(w)}{\mathcal{Re}(w)} \right)=\text{arctan}\,(\dfrac{2}{-1})=\text{arctan}(-2)\approx 117^{\circ}$

El ángulo que forman los dos números complejos en el plano de Argand será por tanto igual a la diferencia (en valor absoluto) de los argumentos principales: $$\measuredangle(w,z)=|\text{Arg}(w)-\text{Arg}(z)|=117^{\circ}-72^{\circ}=45^{\circ}$$ $\diamond$

Cálculo de la potencia $z^{22}$, siendo $z$ el número complejo del ejercicio anterior

En el artículo precedente habíamos visto que $$z=\dfrac{2+i}{3-i}$$ puede expresarse de manera exponencial como $$\displaystyle z=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}$$ o, lo que es lo mismo, $$\displaystyle z=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}$$ Ahora, vamos a calcular la potencia $z^{22}$

Teniendo expresado $z$ de manera exponencial es sencillo calcular una potencia de exponente entero del mismo:
    $z^{22}=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}\right)^{22}$
        $=\left(\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right)^5\cdot \left(e^{i\,\frac{\pi}{4}}\right)^{22}$
          $=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{22}\cdot e^{i\,\frac{22\,\pi}{4}}$
            $=\left(\dfrac{1}{2^{\frac{1}{2}}}\right)^{22}\cdot e^{i\,\frac{11\,\pi}{2}}$
              $=\dfrac{1}{2^{\frac{22}{2}}}\cdot e^{i\,\frac{11\,\pi}{2}}$
                $=\dfrac{1}{2^{11}}\cdot e^{i\,\frac{11\,\pi}{2}}$
                  $=\dfrac{1}{2\,048}\cdot e^{i\,\frac{11\,\pi}{2}}$
Ahora bien, no hemos terminado, pues si queremos expresar $z^{22}$ en forma exponencial, debemos quedarnos con el argumento principal de dicho número complejo, y éste no puede ser mayor que $2\,\pi$, entonces, como el ángulo con que nos encontramos en la última línea es $\dfrac{11\,\pi}{2}\gt 2\pi$, tenemos que deducir cuál es el ángulo equivalente en la primera vuelta:
  Observemos que $11=2\cdot 5+1$, luego $\dfrac{11}{2}=\dfrac{2\cdot 5}{2}+\dfrac{1}{2}=5+\dfrac{1}{2}$; por consiguiente, $\dfrac{11\,\pi}{2}=5\,\pi+\dfrac{\pi}{2}=6\,\pi-\pi+\dfrac{\pi}{2}=6\,\pi+(-\dfrac{\pi}{2})=3\cdot 2\,\pi+(-\dfrac{\pi}{2})$, es decir, $\dfrac{11\,\pi}{2}$ es lo mismo que $3$ vueltas menos un cuarto de vuelta, luego el argumento principal es ese cuarto de vuelta negativo: $\text{Arg}(z^{22})=-\dfrac{\pi}{2}$

En conclusión,
  $\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}\right)^{22}=$     $=\dfrac{1}{2\,048}\cdot e^{-\frac{i\pi}{2}}$
      $=\dfrac{1}{2\,048}\cdot \left(\cos\,(-\frac{\pi}{2})+i\,\sin\,(-\frac{\pi}{2})\right)$
        $=\dfrac{1}{2\,048}\cdot \left(0+i\cdot (-1)\right)$
          $=-\dfrac{1}{2\,048}\cdot i$
que es un número imaginario puro, pues su parte real es nula, $\mathcal{Re}(z^{22})=0$.

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Un ejercicio para hallar la forma exponencial de un número complejo

Sea el número complejo $$z=\dfrac{2+i}{3-i}$$ Me propongo expresarlo de la forma $$z=|z|\cdot e^{i\,\theta}$$ donde $\theta$ es el ángulo polar y $|z|$ denota el módulo de dicho número complejo

Podemos calcular el módulo $|z|$ de varias maneras. Una de ellas consiste en manejar el cociente con el que se define dicho número para expresarlo en forma binómica, $z=a+ib$, con $a,b\in \mathbb{R}$, y, a continuación, hallar su módulo: $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. Procedo de esta manera:
  $z=\dfrac{2+i}{3-i}$. Multiplicando y dividiendo por el complejo conjugado del denominador:
    $=\dfrac{2+i}{3-i}\dfrac{3+i}{3+i}$
      $=\dfrac{(2+i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}$
        $=\dfrac{6+(3+2)i+i^2}{(3^2+3i-3i-i^2}$
          $=\dfrac{6+5i+-(1)}{(3^2-(-1)}$
            $=\dfrac{5+5i}{10}$
              $=\dfrac{5(1+i)}{10}$
                $=\dfrac{1}{2}\cdot (1+i) \quad (1)$
Entonces,
  $|z|=|\dfrac{1}{2}|\cdot |1+1\cdot i|$
    $=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{1^2+1^2}$
      $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
        $=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
De $(1)$ podemos deducir ya el ángulo polar de $z$, para el que tomamos el argumento principal del mismo, $\theta =\text{Arg}(z)$, con $0\le \text{Arg}(z) \le 2\pi$:
  $\theta=\text{Arg}(z):=\arctan\left(\dfrac{\mathcal{Im}(z)}{\mathcal{Re}(z)}\right)$, y teniendo en cuenta que $\text{Arg}\left(\dfrac{1}{2}\,(1+i)\right)=\text{Arg}(1+i)$, se tiene que, como $\mathcal{Re}(1+i)=1$ y $\mathcal{Im}(1+i)=1$, $\theta=\text{arctan}\left(\dfrac{1}{1}\right)=\text{arctan}(1)$. Por otra parte, el afijo de $z$ se encuentra en el primer cuadrante del plano de Argand (o plano complejo), pues $\mathcal{Re}(z)\gt 0$ y $\mathcal{Im}(z)\gt 0$, luego $\theta=\dfrac{\pi}{4}$. Nota: Recordemos que los ángulos los expresamos en radianes.
En consecuencia, ya podemos escribir el número complejo en forma exponencial: $$\displaystyle z=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}$$

Observación:

También podemos calcular el módulo de $z$ de la siguiente manera:
  $|z|=\left|\dfrac{2+i}{3-i}\right|$
      $=\dfrac{\left|2+i\right|}{\left|3-i\right|}$
        $=\dfrac{\sqrt{2^2+1^2}}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}$
          $=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$
            $=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5\cdot 2}}$
              $=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}}$
                $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
                  $=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

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Ejemplo de una ecuación que no tiene solución en el conjunto de los números reales, pero que sí la tiene en el de los números complejos

Estudiemos la siguiente ecuación $$\sqrt{x}+\sqrt{-x}=2$$

Esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales, pues en el caso de que $x\gt 0$, el segundo término del primer miembro no está definido en $\mathbb{R}$ pues el argumento de la raíz cuadrada, $-x$ es negativo. Por otra parte, si $x\lt 0$, ocurre que no está definido en $\mathbb{R}$ el primer término, ya que el argumento de la ráiz cuadrada es negativo. Y, es evidente que $x$ no puede tomar el valor $0$ pues, en tal caso obtendríamos una contradicción $\sqrt{0}+\sqrt{0} = 0 \neq 2$.

No obstante, sí tiene solución en el conjunto de los números complejos $\mathbb{C}$. Veámoslo:
$\sqrt{x}+\sqrt{-x}=2$
  $\sqrt{x}=2-\sqrt{-x}$
    $(\sqrt{x})^2=(2-\sqrt{-x})^2$
      $x=4 - 4\,\sqrt{-x}+(\sqrt{-x})^2$
        $x=4 - 4\,\sqrt{-x}+(-x)$
          $2x=4\,(1 - \sqrt{-x})$
            $x=2\,(1 - \sqrt{-x})$
              $x=2 - 2\,\sqrt{-x}$
                $x-2=-2\,\sqrt{-x}$
                  $(x-2)^2=(-2\,\sqrt{-x})^2$
                    $(x-2)^2=(-2)^2\,(\sqrt{-x})^2$
                      $x^2-4x+4=4\cdot (-x)$
                        $x^2-4x+4=-4x$
                          $x^2-4x+4x+4=0$
                            $x^2+4=0$
                              $x^2=-4$
                                $\sqrt{x^2}=\pm\,\sqrt{-4}$
                                  $x=\pm\,\sqrt{(-1)\cdot 4}$
                                    $x=\pm\,\sqrt{(-1)}\cdot \sqrt{4}$
                                      $x=\pm\,i\cdot 2$
                                        $x=\pm\,2i$
La solución a la ecuación pedida consta pues de dos números complejos: $2i$ y $-2i$. $\diamond$

Un cálculo interesante con números complejos

En este ejercicio de cálculo con números complejos se pide hallar el resultado de la siguiente operación $$\sqrt{2i}+\sqrt{-2i}$$ lo cual sirve de comprobación de la solución encontrada en este otro ejercicio de resolución de ecuaciones.

Para ello, utilizaremos la fórmula de Euler: siendo $z=a+i\,b$ ($a,b\in \mathbb{R}$ ) un número complejo, entonces puede expresarse de la forma $z=|z|\,e^{i\,\theta}=|z|\,(\cos\,\theta+i\,\sin\,\theta)$, donde $|z|$ es el módulo de dicho número y $\theta$ es su ángulo polar, esto es $\theta=\text{arctan}\,\left(\dfrac{b}{a}\right)$, donde, a la hora de determinar el cuadrante donde se sitúa el afijo de dicho número en el plano de Argand, los signos de $b$ y $a$.

Por la fórmula de Euler, $2i=2\,e^{i\,\frac{\pi}{2}}$; en efecto, $2\,e^{i\,\frac{\pi}{2}}=2\,(\cos\,\frac{\pi}{2}+i\,\sin\,\frac{\pi}{2})=2\,(0+i)=2i$ y $-2i=2\,e^{-i\,\frac{\pi}{2}}$, ya que $2\,e^{-i\,\frac{\pi}{2}}=2\,(\cos\,(-\frac{\pi}{2})+i\,\sin\,(-\frac{\pi}{2}))=2\,(0-i)=-2i$
Entonces, podemos expresar $\sqrt{2i}+\sqrt{-2i}$ de la siguiente forma,
  $\sqrt{2\,e^{i\frac{\pi}{2}}}+\sqrt{2\,e^{-i\frac{\pi}{2}}}$
    $\sqrt{2}\cdot\left(e^{i\frac{\pi}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}+\sqrt{2}\,\left(e^{-i\frac{\pi}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$
      $\sqrt{2}\cdot\left(e^{i\frac{\pi}{4}}+e^{-i\frac{\pi}{4}}\right)$
        $\sqrt{2}\cdot\left(\left(\cos\,(\frac{\pi}{4})+i\,\sin\,(\frac{\pi}{4})\right)+\left(\cos\,(-\frac{\pi}{4})+i\,\sin\,(-\frac{\pi}{4})\right)\right)$
          $\sqrt{2}\cdot\left(\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)+\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-i\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)$
            $\sqrt{2}\cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}-i\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$
              $\sqrt{2}\cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\,\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)$
                $\sqrt{2}\cdot\left(2\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\cdot 0\right)$
                  $\sqrt{2}\cdot\left(2\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}+0\right)$
                    $\sqrt{2}\cdot 2\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
                      $2\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
                        $2\cdot 1$
                          $2$
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Una demostración del teorema del seno

Sea un triángulo general en el plano $\triangle(ABC)$ tal como se muestra en la figura. Voy a justificar en este artículo el teorema del seno, que dice así: $$\dfrac{\sin\,\widehat{CAB}}{a}=\dfrac{\sin\,\widehat{ABC}}{b}=\dfrac{\sin\,\widehat{BCA}}{c}$$

Comencemos trazando dos de las tres alturas del triángulo, $i$ y $j$, como indico en la siguiente figura:

Como puede verse, se forman dos triángulos rectángulos: $\triangle(FAB)$ y $\triangle(CAG)$. Entonces, del triángulo rectángulo $\triangle{FAB}$ se tiene que $i=a\,\sin\,\widehat{BCF}$, y teniendo en cuenta que $\widehat{BCF}=\widehat{BCA}$, podemos escribir $$i=a\,\sin\,\widehat{BCA} \quad (1.1)$$ Por otra parte, del triángulo $\triangle{FAB}$ se tiene que $i=c\,\sin\,\widehat{FAB}$, y como $\widehat{FAB}=\widehat{CAB}$, podemos escribir $$i=c\,\sin\,\widehat{CAB} \quad (1.2)$$ Así pues, de $(1.1)$ y $(1.2)$ podemos escribir $$a\,\sin\,\widehat{BCA}=c\,\sin\,\widehat{CAB}$$ y por tanto $$\dfrac{\sin\,\widehat{CAB}}{a} = \dfrac{\sin\,\widehat{BCA}}{c} \quad (1.3) $$

Bien, ahora, examinando el triángulo rectángulo $\triangle{CBG}$ se tiene que $j=a\,\sin\,\widehat{CBG}$, y como $\widehat{CBG}=\pi-\widehat{ABC}$, podemos escribir $$j=a\,\sin\,(\pi-\widehat{ABC})=a\,\sin\,\widehat{ABC} \quad (2.1)$$ Por otra parte, del triángulo $\triangle{CAG}$ se tiene que $j=b\,\sin\,\widehat{CAG}$, y como $\widehat{CAG}=\widehat{CAB}$, podemos escribir $$j=c\,\sin\,\widehat{CAB} \quad (2.2)$$ Así pues, de $(2.1)$ y $(2.2)$ tenemos que $$a\,\sin\,\widehat{ABC}=b,\sin\,\widehat{CAB}$$ con lo cual $$\dfrac{\sin\,\widehat{CAB}}{a} = \dfrac{\sin\,\widehat{ABC}}{b}\quad (2.3)$$ en consecuencia, de esta relación $(2.3)$ y de la relación $(1.3)$ concluimos que $$\dfrac{\sin\,\widehat{CAB}}{a} = \dfrac{\sin\,\widehat{ABC}}{b} = \dfrac{\sin\,\widehat{BCA}}{c} \quad (3)$$

Nota:
En la mayoría de libros de texto, se utiliza la siguiente notación equivalente para los ángulos interiores del triángulo: $\alpha:= \widehat{CAB}$, $\beta:= \widehat{ABC}$ y $\gamma:=\widehat{BCA}$, por lo que también podemos expresar $(3)$ de una forma acaso algo más cómoda (es cuestión de gustos): $$\dfrac{\sin\,\alpha}{a} = \dfrac{\sin\,\beta}{b} = \dfrac{\sin\,\gamma}{c} $$

Observación:
La triple igualdad deducida, que es igual a una constante $k$, lleva también a la que se deduce de la mimsa, teniendo en cuenta que los inversos de las fracciones también serán iguales, a $\dfrac{1}{k}$: $$\dfrac{a}{\sin\,\widehat{CAB}} = \dfrac{b}{\sin\,\widehat{ABC}} = \dfrac{c}{\sin\,\widehat{BCA}} \quad (4)$$ y, desde luego, también podemos escribirla con la notación alternativa que he comentado en la nota de arriba: $$\dfrac{a}{\sin\,\alpha} = \dfrac{b}{\sin\,\beta} = \dfrac{c}{\sin\,\gamma}$$

Comentario:
Tanto este teorema del seno como el teorema del coseno (del que he hablado en otros artículos) tienen sus versiones en trigonometría esférica, que trata de la resolución de triángulos sobre la superficie de una esfera (triángulos esféricos). No trataré aquí esta extensión, pero hago hincapié en el hecho de que tanto en la versión plana como en la versión esférica, la importancia de estos dos resultados es enorme en múltiples áreas: física, ingeniería, astronomía, etcétera. En el blog de segundo de bachillerato he dedicado un espacio para la introducción de la trigonometría esférica, que podéis consultar siguiendo este enlace.

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Un ejercicio propio de Olimpiada Matemática

En este artículo voy a mostrar cómo encontrar la solución del siguiente sistema de ecuaciones, una de las cuales es no lineal: $$\left\{\begin{matrix}x+y=2 \\ x^5+y^5=82\end{matrix}\right.$$

Enumero las ecuaciones para referirme a ellas en el proceso de resolución:
$$\left\{\begin{matrix}x+y=2 & (1) \\ x^5+y^5=82 & (2)\end{matrix}\right.$$ Elevando al cuadrado los dos miembros de $(1)$,
  $(x+y)^2=2^2$
    $x^2+y^2+2xy=4$
      $x^2+y^2=4-2xy \quad (1.1)$
Elevando al cubo los dos miembros de $(2)$,
  $(x+y)^3=2^3$
    $x^3+y^3+3x^2\,y+3x\,y^2=8$
      $x^3+y^3+3xy(x+y)=8$
        $x^3+y^3=8-3xy(x+y)$
Pero teniendo en cuenta $(1)$, ésto nos queda
          $x^3+y^3=8-3\cdot 2\, xy$
            $x^3+y^3=8-6\, xy \quad (1.2)$
Multiplicando miembro a miembro las igualdades $(1.1)$ y $(1.2)$,
              $(x^2+y^2)(x^3+y^3)=(4-2xy)(8-6xy)$
                $x^5+y^5+x^2\,y^3+x^3\,y^2=(4-2xy)(8-6xy)$
                  $x^5+y^5+x^2\,y^2\,(x+y)=(4-2xy)(8-6xy)$
y teniendo en cuenta $(1)$,
                    $x^5+y^5+2\,x^2\,y^2=(4-2xy)(8-6xy)$
                      $x^5+y^5+2\,x^2\,y^2=4\,(4-3xy)(2-xy)$
tenienod en cuenta $(2)$,
                        $82+2\,x^2\,y^2=4\,(4-3xy)(2-xy)$
                          $41+x^2\,y^2=2\,(4-3xy)(2-xy)$
                            $41+(xy)^2=2\,(4-3xy)(2-xy)$
denotemos ahora $t:=xy$
                            $41+t^2=2\,(4-3t)(2-t)$
y expandiendo el segundo miembro,
                              $41+t^2=2\,(8-6t-4t+3t^2)$
                                $41+t^2=16 -12t -8t +6t^2$
                                  $5t^2-20t-25=0$
                                    $t^2-4t-5=0$
                                      $t=\dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1\cdot (-5)}}{2\cdot 1}=\dfrac{4\pm 6}{2}=\left\{\begin{matrix}5 \\ -1\end{matrix}\right.$

Para $t=5$, tenemos que $xy=5$, y teniendo en cuenta $(1)$, $x=2-y$, con lo cual $(2-y)\,y=5$, esto es, $y^2-2y+5=0$, luego $y=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot 5}}{2\cdot 1}=\dfrac{2\pm \sqrt{-16}}{2}=\dfrac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i$; por lo tanto, $x=2-(1 \pm 2i)=1\mp 2i$. Obtenemos así, dos pares $(x,y)$ que forman parte de la solución: $(1-2i\,,\,1+2i)$ y $(1+2i\,,\,1-2i)$

Para $t=-1$, tenemos que $xy=-1$, y teniendo en cuenta $(1)$, $x=2-y$, con lo cual $(2-y)\,y=-1$, esto es, $y^2-2y-1=0$, luego $y=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-1)}}{2\cdot 1}=\dfrac{2\pm \sqrt{8}}{2}=\dfrac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=1\pm \sqrt{2}$; por lo tanto, $x=2-(1 \pm \sqrt{2})=1\mp \sqrt{2}$. Obtenemos así, otros dos pares $(x,y)$ que también forman parte de la solución: $(1-\sqrt{2}\,,\,1+\sqrt{2})$ y $(1+\sqrt{2}\,,\,1-\sqrt{2})$

En conclusión, la solución del sistema de ecuaciones pedido está formado por el siguiente conjunto de pares de valores $(x,y)$: $$\{(1-2i\,,\,1+2i)\,,\,(1+2i\,,\,1-2i)\,,\,(1-\sqrt{2}\,,\,1+\sqrt{2})\,,\,(1+\sqrt{2}\,,\,1-\sqrt{2}) \}$$

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Una manera de justificar el teorema del coseno

En este artículo voy a justificar el teorema del coseno a partir del producto escalar. Recordemos que en dicho teorema se afirma que, dado un triángulo $\triangle(A,B,C)$, de vértices $A,B$ y $C$ y lados (enfrentados a los vértices respectivos) $a,b$ y $c$, $ c^2=a^2+b^2-2ab\,\cos(\widehat{BCA})$. Vamos allá.

Establezco un sistema de referencia ortogonal en un punto arbitrario, $O$, del plano, y tomo una base ortonormal, como por ejemplo la base canónica $\mathcal{C}=\{\hat{i}=(1,0)\,,\,\hat{j}=(0,1)\}$. En primer lugar, envío vectores de posición a los vértices del triángulo desde el origen del sistema de referencia: $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ y $\overrightarrow{OC}$, de manera que los vectores que apuntan de un vértice a otro del triángulo se relacionan mediante la suma vectorial, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$

A continuación, y a partir del producto escalar euclidiano, multiplico (escalarmente) el vector $\overrightarrow{AB}$ por sí mismo, $\langle \overrightarrow{AB}\,,\, \overrightarrow{AB}\rangle = \left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2$, que, de acuerdo con el convenio de notación que he utilizado, es igual a la longitud del lado del triángulo enfrentado al vértice $C$, es decir, $\langle \overrightarrow{AB}\,,\, \overrightarrow{AB}\rangle = \left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2=c^2$; pero, por otra parte, y teniendo en cuenta la relación de suma entre los vectores de los lados del triángulo, $\langle \overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AB}\rangle=\langle \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\,,\, \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\rangle = \langle \overrightarrow{BC}\,,\,\overrightarrow{BC}\rangle+\langle \overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{BC}\rangle + \langle \overrightarrow{BC}\,,\,\overrightarrow{CA}\rangle + \langle \overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{CA}\rangle=$
$=\langle \overrightarrow{BC}\,,\,\overrightarrow{BC}\rangle+\langle \overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{BC}\rangle + \langle \overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{BC}\rangle + \langle \overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{CA}\rangle=$
$=\langle \overrightarrow{BC}\,,\,\overrightarrow{BC}\rangle+2\,\langle \overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{BC}\rangle + \langle \overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{CA}\rangle$
Entonces,
$\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2=\left\| \overrightarrow{BC} \right\|^2 + 2\,\left\| \overrightarrow{CA} \right\|\cdot \left\| \overrightarrow{BC} \right\|\,\cos\,\left(\angle(\overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{BC})\right) + \left\| \overrightarrow{CA} \right\|^2$, y teniendo en cuenta que $\angle(\overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{BC})=\pi - \widehat{BCA}$, se tiene que $\cos\,\left(\angle(\overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{BC})\right)=\cos\,(\pi- \widehat{BCA})=-\cos\,\widehat{BCA}$; y teniendo en cuenta que, de acuerdo con el convenio de notación que he utilizado, $\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2=c^2$, $\left\| \overrightarrow{BC} \right\|^2=a^2$ y $ \left\| \overrightarrow{CA} \right\|^2=b^2$, se llega finalmente a $$ c^2=a^2+b^2-2ab\,\cos(\widehat{BCA}) $$

Nota:
Procediendo de manera análoga, y eligiendo cada uno de los otros dos lados vectores se deduce, también, que $a^2=b^2+c^2-2ac\,\cos(\widehat{CAB})$ y $b^2=a^2+c^2-2ac\,\cos(\widehat{ABC})$

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Un caso de un sistema de ecuaciones no lineales y su resolución

En este artículo voy a resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineales: $$\left\{\begin{matrix}x^2-y=1 \\-x+y^2=1\end{matrix}\right.$$

Enumero las ecuaciones para referirme a ellas en la explicación de los pasos de resolución:

$\left\{\begin{matrix}x^2-y=1 & (1)\\-x+y^2=1 & (2)\end{matrix}\right.$
Restando miembro a miembro $(2)$ de $(1)$,
  $x^2-y^2-y+x=0$
    $(x-y)(x+y)+(x-y)=0$
      $(x-y)\left((x+y)+1\right)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-y=0 \Rightarrow x=y & (3) \\ x+y+1=0 \Rightarrow x+y=-1 & (4)\end{matrix}\right.$
Sumando miembro a miembro $(2)$ y $(1)$,
  $(x^2+y^2)-(x+y)=2$
    $\left((x+y)^2-2xy\right)-(x+y)=2 \quad (5)$

De $(3)$ y $(5)$ se obtiene:
  $\left((2x)^2-2x^2\right)-2x=2$
    $4x^2-2x^2-2x=2$
      $2x^2-2x-2=0$
        $x^2-x-1=0 \Rightarrow x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-1)}}{2\cdot 1}=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
Sacamos pues de ahí dos pares $(x,y)$ de la solución: $\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$ y $\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2},\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)$

Por otra parte, de $(4)$ y $(5)$ llegamos a:
  $\left((-1)^2-2xy\right)-(-1)=2$
    $1-2xy+1=2$
      $2-2xy=2$
        $-2xy=0$
          $xy=0 \quad (6)$
Ahora bien, como $x+y+1=0$ (ecuación $(4)$), multiplicando por $x$ en cada miembro, podemos escribirla de la forma $x^2+xy+x=0$, pero teniendo en cuenta $(6)$ se tiene que $x^2+x=0$, esto es,
  $x\,(x+1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 \overset{(4)}{\Rightarrow} 0+y=-1 \Rightarrow y=-1 \\ x+1=0 \Rightarrow x=-1 \overset{(4)}{\Rightarrow} -1+y=-1 \Rightarrow y=0 \end{matrix}\right.$
Así que, de ahí, aparecen otros dos pares más $(x,y)$ de la solución: $\left(0,-1\right)$ y $\left(-1,0\right)$. $\diamond$

Parámetros de las funciones circulares (sinusoidales)

Una función sinusoidal (o circular) es una función del tipo $y=a\,\sin\,(b\,x+c) \quad (1)$, (o, lo que es lo mismo: $f(x)=a\,\sin\,b\,x+c)$), donde $|a|$ es la amplitud (expresada en las mismas unidades que $y$) y representa la altura (medida en el eje de ordenadas) entre un nodo y el máximo o el mínimo que está inmediatamente a la izquierda o a la derecha de dicho nodo.

Aquí, sin pérdida de generalidad, he elegido $x$ como la variable tiempo (expresado en segundos) para facilitar el hacernos una idea física más tangible, pero podría representar cualquier otra magnitud; así pues, reescribo la función de la forma $f(t)=a\,\sin\,(\omega\,t+\theta)$ o si se prefiere $y=a\,\sin\,(\omega\,t+\theta)$, por lo que $\omega$ es lo que llamamos pulsación (expresada en $\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$). Y, por lo que se refiere al parámetro $\theta$, éste representa el ángulo de fase (exprersado en $\text{rad}$).

Ejemplo:

Consideremos la función circular dependiente del tiempo $y=-\cos\,\dfrac{2\,\pi\,\,t}{3}$. Determinemos la amplitud, la pulsación, la frecuencia, el periodo, y el ángulo de fase de dicha función sinusoidal. Recordemos que la relación entre la pulsación $\omega$ y el periodo $T$ es $\omega=2\,\pi\,f=\dfrac{2\,\pi}{T}$. Recordemos también que la relación entre el periodo y la frecuencia es $T=\dfrac{1}{f}$, donde la frecuencia $f$ (número de ciclos por segundo) se expresa en $\text{s}^{-1}$ (o hertz, abreviado $\text{Hz}$).

Demos la forma apropiada, asemejándola a $(1)$, de manera que sea (equivalente) a la función propuesta, para identificar así el valor de los parámetros pedidos:
  $y=-\cos\,\dfrac{2\,\pi\,\,t}{3}=(-1)\cdot \sin\,\left(\dfrac{2\,\pi}{3}\,t+\dfrac{\pi}{2}\right)$ (la función coseno está desfasada $\pi/2$ con respecto de la función seno, teniendo la misma forma), luego $\theta=\dfrac{\pi}{2}\, \text{rad}$, $a=|-1|=1\,\text{u.a.y.}$ (unidades arbitrarias de $y$), $\omega=\dfrac{2\,\pi}{3}\,\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$; $T=\dfrac{2\,\pi}{2\,\pi/3}=3\,\text{s}$, $f=\dfrac{1}{3}\,\text{s}^{-1}$, es decir, $f=\dfrac{1}{3}\,\text{Hz}$.

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Comentario:
En la siguiente figura se muestra un trozo de la gráfica de la función, que se extiende, para $t$ de $-\infty$ a $+\infty$, a lo largo del eje de abscisas, repitiéndose el motivo periódico que se aprecia entre dos máximos consecutivos:

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