Reducciones al primer cuadrante de las razones de los cuadrantes segundo, tercero y cuarto

Teniendo en cuenta las simetrías y rotaciones del triángulo (que se forma en la circunferencia trigonométrica al fijar el ángulo en diversos cuadrantes), veamos algunas relaciones de las razones trigonométricas de ángulos fuera del primer cuadrante con el ángulo $\alpha$ del primer cuadrante. Para ello, basta con hacer los dibujitos, de manera que, sin más, teniendo en cuenta los signos de la proyecciones de las razones con los ejes cartesianos, resulta comprensible lo siguiente:

Algunas relaciones entre las razones trigonométricas del segundo cuadrante y las del ángulo de referencia $\alpha$ del primer cuadrante:
  $\sin(\alpha+\dfrac{\pi}{2})=\cos(\alpha)$
  $\cos(\alpha+\dfrac{\pi}{2})=-\sin(\alpha)$
  $\tan(\alpha+\dfrac{\pi}{2})=-\dfrac{1}{\tan(\alpha)}$

-oOo- Y, como $\pi-\alpha$ y $\alpha$ son ángulos suplementarios:
  $\sin(\pi-\alpha)=\sin(\alpha)$
  $\cos(\pi-\alpha)=-\cos(\alpha)$
  $\tan(\pi-\alpha)=-\tan(\alpha)$

Algunas relaciones entre las razones trigonométricas del tercer cuadrante y las del ángulo de referencia $\alpha$ del primer cuadrante:
  $\sin(\alpha+\pi)=-\sin(\alpha)$
  $\cos(\alpha+\pi)=-\cos(\alpha)$
  $\tan(\alpha+\pi)=\tan(\alpha)$

Algunas relaciones entre las razones trigonométricas del cuarto cuadrante y las del ángulo de referencia $\alpha$ del primer cuadrante:
  $\sin(2\,\pi-\alpha)=\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha)$
  $\cos(2\,\pi-\alpha)=\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)$
  $\tan(2\,\pi-\alpha)=\tan(-\alpha)=-\tan(\alpha)$

-oOo-   $\sin(\dfrac{3}{2}\,\pi+\alpha)=\sin(-\dfrac{\pi}{2}+\alpha)=-\cos(\alpha)$
  $\cos(\dfrac{3}{2}\,\pi+\alpha)=\sin(-\dfrac{\pi}{2}+\alpha)=\sin(\alpha)$
  $\tan(\dfrac{3}{2}\,\pi+\alpha)=\tan(-\dfrac{\pi}{2}+\alpha)=-\dfrac{1}{\tan(\alpha)}$

-oOo-

Tengamos en cuenta también las razones trigonométricas entre ángulos complementarios del primer cuadrante:
  $\sin(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\cos(\alpha)$
  $\cos(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\sin(\alpha)$
  $\tan(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\dfrac{1}{\tan(\alpha)}$
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Una aplicación de la trigonometría a un problema de velocidad relativa

Una embarcación $A$ navega hacia el Este a una velocidad de $10$ nudos. Nos preguntamos a qué velocidad debe desplazarse otra embarcación $B$ que navega con rumbo $030^\circ$ (esto es, $\text{N}\,30^\circ\,\text{E}$) para que, desde $A$ se vea a $B$ alejarse en todo momento hacia el Norte?

Representando los vectores de velocidad $\vec{v_A}$, $\vec{v_B}$ y el vector de velocidad relativa de $B$ con respecto a $A$ ($\vec{v_r}=\vec{v_B}-\vec{v_A}$) en las condiciones expuestas en el enunciado, se configura el siguiente triángulo vectorial, que, en nuestro caso es un triángulo rectángulo:

Entonces, como el módulo de $\vec{v_A}$ es $\left\|\vec{v_A}\right\|=10$ nudos (que designaremos por, por comodidad, por $v_A$), el módulode $\vec{B}$ (que designaremos por $v_B$) ha de cumplir que $\dfrac{10}{v_B}=\cos(90^\circ-30^\circ)$, esto es,
  $\dfrac{v_B}{10}=\dfrac{1}{\cos(60^\circ)}$
    $\dfrac{v_B}{10}=\dfrac{1}{\frac{1}{2}}$
      $\dfrac{v_B}{10}=2$
        $v_B=2\cdot 10$
          $v_B=20$ nudos
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Una demostración del teorema del seno

Sea un triángulo general en el plano $\triangle(ABC)$ tal como se muestra en la figura. Voy a justificar en este artículo el teorema del seno, que dice así: $$\dfrac{\sin\,\widehat{CAB}}{a}=\dfrac{\sin\,\widehat{ABC}}{b}=\dfrac{\sin\,\widehat{BCA}}{c}$$

Comencemos trazando dos de las tres alturas del triángulo, $i$ y $j$, como indico en la siguiente figura:

Como puede verse, se forman dos triángulos rectángulos: $\triangle(FAB)$ y $\triangle(CAG)$. Entonces, del triángulo rectángulo $\triangle{FAB}$ se tiene que $i=a\,\sin\,\widehat{BCF}$, y teniendo en cuenta que $\widehat{BCF}=\widehat{BCA}$, podemos escribir $$i=a\,\sin\,\widehat{BCA} \quad (1.1)$$ Por otra parte, del triángulo $\triangle{FAB}$ se tiene que $i=c\,\sin\,\widehat{FAB}$, y como $\widehat{FAB}=\widehat{CAB}$, podemos escribir $$i=c\,\sin\,\widehat{CAB} \quad (1.2)$$ Así pues, de $(1.1)$ y $(1.2)$ podemos escribir $$a\,\sin\,\widehat{BCA}=c\,\sin\,\widehat{CAB}$$ y por tanto $$\dfrac{\sin\,\widehat{CAB}}{a} = \dfrac{\sin\,\widehat{BCA}}{c} \quad (1.3) $$

Bien, ahora, examinando el triángulo rectángulo $\triangle{CBG}$ se tiene que $j=a\,\sin\,\widehat{CBG}$, y como $\widehat{CBG}=\pi-\widehat{ABC}$, podemos escribir $$j=a\,\sin\,(\pi-\widehat{ABC})=a\,\sin\,\widehat{ABC} \quad (2.1)$$ Por otra parte, del triángulo $\triangle{CAG}$ se tiene que $j=b\,\sin\,\widehat{CAG}$, y como $\widehat{CAG}=\widehat{CAB}$, podemos escribir $$j=c\,\sin\,\widehat{CAB} \quad (2.2)$$ Así pues, de $(2.1)$ y $(2.2)$ tenemos que $$a\,\sin\,\widehat{ABC}=b,\sin\,\widehat{CAB}$$ con lo cual $$\dfrac{\sin\,\widehat{CAB}}{a} = \dfrac{\sin\,\widehat{ABC}}{b}\quad (2.3)$$ en consecuencia, de esta relación $(2.3)$ y de la relación $(1.3)$ concluimos que $$\dfrac{\sin\,\widehat{CAB}}{a} = \dfrac{\sin\,\widehat{ABC}}{b} = \dfrac{\sin\,\widehat{BCA}}{c} \quad (3)$$

Nota:
En la mayoría de libros de texto, se utiliza la siguiente notación equivalente para los ángulos interiores del triángulo: $\alpha:= \widehat{CAB}$, $\beta:= \widehat{ABC}$ y $\gamma:=\widehat{BCA}$, por lo que también podemos expresar $(3)$ de una forma acaso algo más cómoda (es cuestión de gustos): $$\dfrac{\sin\,\alpha}{a} = \dfrac{\sin\,\beta}{b} = \dfrac{\sin\,\gamma}{c} $$

Observación:
La triple igualdad deducida, que es igual a una constante $k$, lleva también a la que se deduce de la mimsa, teniendo en cuenta que los inversos de las fracciones también serán iguales, a $\dfrac{1}{k}$: $$\dfrac{a}{\sin\,\widehat{CAB}} = \dfrac{b}{\sin\,\widehat{ABC}} = \dfrac{c}{\sin\,\widehat{BCA}} \quad (4)$$ y, desde luego, también podemos escribirla con la notación alternativa que he comentado en la nota de arriba: $$\dfrac{a}{\sin\,\alpha} = \dfrac{b}{\sin\,\beta} = \dfrac{c}{\sin\,\gamma}$$

Comentario:
Tanto este teorema del seno como el teorema del coseno (del que he hablado en otros artículos) tienen sus versiones en trigonometría esférica, que trata de la resolución de triángulos sobre la superficie de una esfera (triángulos esféricos). No trataré aquí esta extensión, pero hago hincapié en el hecho de que tanto en la versión plana como en la versión esférica, la importancia de estos dos resultados es enorme en múltiples áreas: física, ingeniería, astronomía, etcétera. En el blog de segundo de bachillerato he dedicado un espacio para la introducción de la trigonometría esférica, que podéis consultar siguiendo este enlace.

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Identidades trigométricas. Fórmulas de transformación de «suma en producto» de razones

En este artículo vamos a demostrar las fórmulas de transformación de suma de razones trigonométrics en producto de razones: $$\sin (\gamma)+ \sin(\delta) = 2\,\sin\left(\dfrac{\gamma+\delta}{2}\right)\cdot \cos\left(\dfrac{\gamma-\delta}{2}\right)\quad \quad (i)$$ $$\cos (\gamma)+ \cos(\delta) = 2\,\cos\left(\dfrac{\gamma+\delta}{2}\right)\cdot \cos\left(\dfrac{\gamma-\delta}{2}\right)\quad \quad (ii)$$ $$\sin (\gamma)- \sin(\delta) = 2\,\cos\left(\dfrac{\gamma-\delta}{2}\right)\cdot \cos\left(\dfrac{\gamma+\delta}{2}\right)\quad \quad (iii)$$ $$\cos (\delta)- \cos(\gamma) = 2\,\sin\left(\dfrac{\gamma+\delta}{2}\right)\cdot \sin\left(\dfrac{\gamma-\delta}{2}\right)\quad \quad (iv)$$

Para ello, recurrimos a las fórmulas de las transformaciones de producto en suma que hemos justificado en el artículo anterior: $$\sin (\alpha)\cdot \cos(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (1)$$ $$\cos (\alpha)\cdot \cos(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (2)$$ $$\sin (\beta)\cdot \cos(\alpha) = \dfrac{1}{2}\left(\,\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (3)$$ $$\sin (\alpha)\cdot \sin(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\,\right)\quad \quad (4)$$

Denominando $$\gamma=\alpha+\beta \quad \quad (b)$$ $$\delta=\alpha-\beta \quad \quad (b)$$ y sumando miembro a miembro (a) y (b) podemos escribir $$\alpha=\dfrac{\gamma+\delta}{2} \quad \quad (c)$$ y restando (b) de (a), $$\beta=\dfrac{\gamma-\delta}{2} \quad \quad (d)$$ Basta ahora con sustituir (c) y (d) en (1),(2),(3) y (4) para obtener las igualdades pedidas. $\diamond$

Identidades trigonométricas. Fórmulas de transformación de «producto en suma»

En este artículo vamos a demostrar las fórmulas de transformación de productos de razones trigonométrics en sumas: $$\sin (\alpha)\cdot \cos(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (1)$$ $$\cos (\alpha)\cdot \cos(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (2)$$ $$\sin (\beta)\cdot \cos(\alpha) = \dfrac{1}{2}\left(\,\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (3)$$ $$\sin (\alpha)\cdot \sin(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\,\right)\quad \quad (4)$$

Para ello, recurrimos a las fórmulas conocidas del seno y del coseno de la suma y de la diferencia de razones trigonométricas: $$\sin(\alpha + \beta)=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \sin(\beta)\cdot \cos(\alpha)\quad \quad (5)$$ $$\sin(\alpha - \beta)=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) - \sin(\beta)\cdot \cos(\alpha)\quad \quad (6)$$ $$\cos(\alpha + \beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) - \sin(\beta)\cdot \sin(\alpha)\quad \quad (7)$$ $$\cos(\alpha - \beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \sin(\beta)\cdot \sin(\alpha)\quad \quad (8)$$

Sumando miembro a miembro (5) y (6) se obtiene (1); restando (6) de (5) se obtiene (3); sumando (7) y (8) se obtiene (4), y restando (7) de (8) se llega a (2).$\diamond$

Seno, coseno y tangente de la suma y diferencia de ángulos

Observemos la siguiente figura, en la que se han representado los ángulos $\alpha$ y $\beta$, situados en el primer cuadrante. Nos proponemos demostrar la siguiente fórmula trigonométrica que da cuenta del seno del ángulo suma de $\alpha+\beta$, también del primer cuadrante: $$\sin(\alpha +\beta)=\sin(\alpha)\,\cos(\beta)+\sin(\beta)\,\cos(\alpha)$$

Veámoslo. Del triángulo rectángulo $\triangle OAB$ vemos que $\sin(\alpha+\beta)=\overline{AB}=\overline{FQ}+\overline{EQ} \quad \quad (1)$. Y como $\triangle QFB \sim \triangle OCD$, podemos escribir que $\overline{FQ}=\overline{QB}\cdot \cos(\alpha)$, y como en el triángulo rectángulo $\triangle OQB$, $\overline{QB}=1\cdot \sin(\beta)$, se tiene que $\overline{FQ}=\sin(\beta)\cdot \cos(\alpha) \quad \quad (2)$

Por otra parte $\triangle OEQ \sim \triangle ODC$ luego $\dfrac{\overline{EQ}}{\overline{CD}}=\dfrac{\overline{OQ}}{\overline{OC}} \Rightarrow \overline{EQ}=\overline{CD}\cdot \overline{OQ}$, ya que $\overline{OC}=1$. Teniendo en cuenta que en el triángulo rectángulo $\triangle OQB$, $\overline{OQ}=\cos(\beta)$ y que en el triángulo rectángulo $\triangle ODC$m $\overline{CD}=\sin(\alpha)$, podemos escribir $\overline{EQ}=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) \quad \quad (3)$.

Sustituyendo ahora (2) y (3) en (1), se justifica la fórmula propuesta.

Mediante un dibujo similar, y procediendo de manera análoga, es muy fácil demostrar que $$\sin(\alpha -\beta)=\sin(\alpha)\,\cos(\beta)-\sin(\beta)\,\cos(\alpha)$$

Podemos sacar más provecho de la figura, para justificar estas otras dos fórmulas empleando razonamientos similares: $$\cos(\alpha +\beta)=\cos(\alpha)\,\cos(\beta)-\sin(\beta)\,\sin(\alpha)$$ $$\cos(\alpha -\beta)=\cos(\alpha)\,\cos(\beta)+\sin(\beta)\,\sin(\alpha)$$

Por lo que se refiere a la razón tangente de la suma de ángulos, sabemos que $$\tan(\alpha+\beta):=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\dfrac{\sin(\alpha)\,\cos(\beta)+\sin(\beta)\,\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)\,\cos(\beta)-\sin(\beta)\,\sin(\alpha)}$$ Dividiendo el numerador y el denominador por $\cos(\alpha)\,cos(\beta)$, y simplificando se llega a $$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}+\dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}{1-\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\,\dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}$$ Teniendo en cuenta ahora que $\tan(\alpha):=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ y $\tan(\beta):=\dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}$, podemos escribir $$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\,\tan(\beta)}$$

Y en cuanto a la tangente de la diferencia de ángulos: $$\tan(\alpha-\beta):=\dfrac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}=\dfrac{\sin(\alpha)\,\cos(\beta)-\sin(\beta)\,\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)\,\cos(\beta)+\sin(\beta)\,\sin(\alpha)}$$ Dividiendo el numerador y el denominador por $\cos(\alpha)\,cos(\beta)$, y simplificando se llega a $$\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}-\dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}{1+\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\,\dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}$$, por tanto podemos escribir $$\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\,\tan(\beta)}$$

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Ejercicio de demostración de la veracidad de una identidad trigonométrica propuesta

Resolución de un triángulo general, calculando los ángulos a partir de las longitudes de los tres lados

Distancia al horizonte ...

Una persona passeja per la platja, s'atura i contempla la mar (la seva altura és de 1,65 m). És l'hora foscant. No veu cap embarcació a la llunyania, només el blau del mar i la fina línia de l'horitzó a la llum de l'ocàs; però, tot d'una, es comença a veure un dels llums de navegació de l'extrem del pal d'un veler (suposem que l'altura del pal és de 10 m). Quina distància hi ha entre el veler i el passejant de la platja ? Distància a l'horitzó: Primer de tot, cal saber calcular la distància a l'horitzó d'un observador. Per això podem imaginar una petita boia amb un llum (la seva altura és negligible), siutuada just en el punt més enllà del qual (a més distància de la platja) ja no es pot veure (des de la platja) degut a la curvatura de la Terra. Posem que a és l'altura d'un observador. Com es pot veure a la figura (la circumferència representa la circumferència meridiana, E el punt de l'horitzó de l'observador E), per fer un càlcul aproximat de la distància a l'horitzó s és possible fer ús del teorema de Pitàgores, en el benentès que l'altura a la qual observem sigui moderada (no pensem en un observador que viatja en un avió a gran altitud, sinó en un observador situat a prop la superfície de la Terra), en el sentit que la distància a l'horitzó s pugui ser aproximada per la longitud DE del quadrat de color verd. Observeu la configuració del teorema de Pitàgores: els quadrats (de colors marró, verd, i rosa) damunt dels respectius costats del triangle rectangle AED. Naturalment es compleix que l'àrea del quadrat sobre la hipotenusa R+a cal que sigui igual a la suma de les àrees dels altres dos quadrats, bastits damunt els respectius catets; per tant, l'àrea del quadrat de color verd és igual a que és igual a Llavors, la longitud del costat d'aquest quadrat pren el valor i és igual, aproximadament a la distància a l'horitzó s Prenent el radi de la Terra igual, aproximadament, a 3670 km, podem escriure la següent expressió aproximada (fàcil de recordar) per poder fer càlculs aproximats, quan fem observacions "de camp": Entrant a en metres, obtenim la distància a l'horitzó en quilòmetres. I, de gran interès per als navegants: si es vol donar en milles nàutiques (NM), cal recordar que Ara que ja sabem calcular la distància a l'horitzó d'un observador, podrem calcular la distància entre dos observadors; seguint l'exemple, un d'ells és el passejant de la platja (situada a la platja, dreta) i el segon observador el situarem a l'extrem del pal del veler (mirant vers la posició del passejant de la platja). Fem-ho: Distància entre el veler i el passejant de la platja: En el cas concret que hem plantejat, cal sumar la distància a l'horitzó del passejant de la platja i la distància a l'horitzó d'un observador que estigués situat a l'extrem del pal (observant en direcció a la platja, on es troba el passejant): Sumant les distàncies a l'hortizó respectives trobem que la distància aproximada entre el veler i la la platja és igual a i aproximant a una xifra decimal: Referències: ROJO, A.   La física en la vida cotidiana. RBA Libros, 2010 JOUETTE, A.   El secreto de los números. Robinbook, 2000

[nota del autor]

Demostración del Teorema del coseno ... ( Artículo escrito en catalán )

Considerem un triangle general ABC, com el de la figura. En traçar una altura (per exemple, la que passa pel vèrtex C) el triangle ABC queda dividit en dos triangles rectangles. Del triangle rectangle MBC, $a^2=h^2+n^2$ (1) (teorema de Pitàgores). Tenint en compte que $n=c-b\,\cos(\alpha))$ (triangle rectangle AMC) i que $h=b\,\sin(\alpha))$ (triangle rectangle MBC), podrem escriure la igualtat (1) de la forma: $a^2=b^2\,\sin^{2}(\alpha)+(c-b\,\cos(\alpha))^2$ que, simplificada, queda $a^2=b^2+c^2-2\,b\,c\,\cos(\alpha)$ Semblantment, si repetim el procés traçant les altres altures trobarem: $b^2=a^2+c^2-2\,a\,c\,\cos(\beta)$ i $c^2=a^2+b^2-2\,b\,a\,\cos(\gamma)$ $\square$

[nota del autor]

Calcular el valor de los ángulos ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu el valor dels angles i l'àrea del triangle de vèrtexs A, B i C, sabent que
  $a=7 \text{cm}$
  $b=8 \text{cm}$
  $c=13 \text{cm}$

Resolució:
Del teorema del cosinus
      $a^2=b^2+c^2-2\,b\,c\,\cos(\alpha)$
tenim que
      $\alpha = \arccos \Bigg( \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2\,b\,c}\Bigg)$
          $= \arccos \Bigg( \dfrac{8^2+13^2-7^2}{2 \cdot 8\cdot 13}\Bigg)\approx 27º\,47^{'}\,44,78^{''}$
            [serà útil emmagatzemar aquest resultat en una memòria de la calculadora ( $27º \,47^{'}\,44,78^{''} \rightarrow \text{Mem}$ ), per poder fer-ne ús en els càlculs que segueixen ]

Tenint en compte el teorema del sinus
      $\dfrac{\sin{\alpha}}{a}=\dfrac{\sin{\beta}}{b}=\dfrac{\sin{\gamma}}{c}$
podem escriure
      $\dfrac{\sin{\alpha}}{7}=\dfrac{\sin{\beta}}{8}$
            [recordem que tenim a la memòria de la calculadora el valor que hem calculat de l'angle $\alpha$ ]
llavors
      $\beta=\arcsin{\Big(\dfrac{8}{7}\,\sin\big(\alpha\leftarrow\text{Mem}\big)\Big)}$
          $\approx 32º\,12^{'}\,15,22^{''}$

El tercer angle $\gamma$ el calculem tenint en compte que la suma dels tres angles ha de ser igual a $180º$
      $\gamma=180º-(\alpha+\beta)$
          $=120º$

Per acabar, calculem l'àrea del triangle
      $\text{Àrea}=\dfrac{1}{2}\,c\,h \quad \quad \quad (1)$
on $h$ representa la longitud del segment perpendicular a $c$ que passa pel vèrtex C.

Si ens fixem amb el triangle rectangle AC'C calculem el valor de $h$ fent
      $h=b \, \sin(\alpha)$
          $=8 \cdot \sin\big(\alpha \leftarrow \text{Mem}\big)$

Substituint això en (1)
      $\text{Àrea}=\ldots \approx 24 \, \text{cm}^2$


$\square$

[nota del autor]

Resolución de ecuaciones trigonométricas. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Resoleu l'equació $-3\,\sin{x}+\cos^{2}{x}=3$ per a $0 \le x \le 2\,\pi$

Resolució:
De la identitat trigonomètrica: $\cos^{2}{x}=1-\cos^{2}{x}$, expressió que
substituïda a l'equació ens permet escriure-la de tal manera que únicament aparegui la raó sinus: $-3\,\sin{x}+1-\sin^{2}{x}=3$ que, ordenada de grau més gran a grau més petit queda $\sin^{2}{x}+3\,\sin{x}+2=0$. Anomenant, a continuació, $y$ a $\sin{x}$, podrem transformar l'equació trigonomètrica en una e. polinòmica: $y^2+3\,y+2=0$. El valors de la variable $y$ que són solució d'aquesta equació són $y_1=-1$ i $y_2=-2$, tal i com podeu comprovar fàcilment. Finalment, cal desfer el canvi de nom per trobar els valors de la variable $x$ que compleixen l'equació original:

• $\text{Si} \quad y_1 := \sin{x_1}=-1 \Rightarrow x_1 = \dfrac{3}{2}\,\pi \quad \text{rad}$
  

• Si $y_2=-2$ (valor del sinus igual a -2 [!]), no és possible trobar valors per a la variable $x$ (l'argument del sinus)

[nota del autor]

Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad ( Artículo escrito en catalán )

Farem ús de les següents fórmules, que ja s'han explicat: $\sin{(\alpha \pm \beta)}= \sin{\alpha}\,\cos{\beta} \pm \sin{\beta}\,\cos{\alpha}$ $\cos{(\alpha \pm \beta)} = \cos{\alpha}\,\cos{\beta} \mp \sin{\beta}\,\sin{\alpha}$ En concret, per a la suma i la diferència de la raó sinus dels angles $\alpha$ $\pm$ $\beta$ tenim: $\sin{(\alpha + \beta)}= \sin{\alpha}\,\cos{\beta} + \sin{\beta}\,\cos{\alpha} \quad \quad (1)$ $\cos{(\alpha + \beta)}= \cos{\alpha}\,\cos{\beta} + \sin{\beta}\,\sin{\alpha} \quad \quad (2)$ En particular, si $\alpha =\beta$ trobem aquestes dues fórmules: $\sin{(2\,\alpha)}= 2\,\sin{\alpha}\,\cos{\beta} \quad \quad (3)$ $\cos{(2\,\alpha)}= \cos^{2}{(\alpha)}-\sin^{2}{(\alpha)} \quad \quad (4)$ I dividint membre a membre: $\tan{(2\,\alpha)}=\dfrac{2\,\tan{\alpha)}}{1-\tan^{2}{\alpha)}} \quad \quad (5)$ A continuació deduirem les fórmules corresponents a l'angle meitat. Per això, partirem de $(4)$. Tenint en compte la i.f. de la trigonometria $\sin^{2}{(\alpha)}+\cos^{2}{(\alpha)}=1 \quad \forall \; \alpha$, podrem escriure: $\cos{(2\,\alpha)}= \cos^{2}{(\alpha)}-\big(1-\cos^{2}{(\alpha)\big)}$ i, simplificant, $\cos{(2\,\alpha)}= -1+2\, \cos^{2}{(\alpha)} \Rightarrow \cos{(\alpha)}=\sqrt{\dfrac{1+\cos{(2 \,\alpha)}}{2}}$. Si anomenem $\theta$ a $2\,\alpha$ podem escriure la fórmula del cosinus de l'angle meitat de la forma $\cos{(\dfrac{\theta}{2})}=\sqrt{\dfrac{1+\cos{(\theta)}}{2}}\quad \quad (6)$ També podrem escriure $(4)$ de la forma $\cos{(2\,\alpha)}= \big(1-\sin^{2}{(\alpha)}\big)-\sin^{2}{(\alpha)}$ i, simplificant, $\cos{(2\,\alpha)}= 1-2\, \sin^{2}{(\alpha)} \Rightarrow \sin{(\alpha)}=\sqrt{\dfrac{1-\cos{(2 \,\alpha)}}{2}}$. De manera semblant al que hem fet a dalt, podem escriure la fórmula del sinus de l'angle meitat de la forma $\sin{(\dfrac{\theta}{2})}=\sqrt{\dfrac{1-\cos{(\theta)}}{2}}\quad \quad (7)$ Dividint membre a membre la igualtat $(7)$ entre la igualtat $(6)$, deduïm la fórmula de la tangent de l'angle meitat $\tan{(\dfrac{\theta}{2})}=\sqrt{\dfrac{1-\cos{(\theta)}}{1+\cos{(\theta)}}} \quad \quad (8)$ $\square$

[nota del autor]