Otra manera de demostrar la proposición del ejercicio anterior

Se consideran dos números reales positivos, $a$ y $b$, tales que $a+b=1$, se pide que demostremos la siguiente desigualdad $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\gt 2$, empleando un método alternativo al del ejercicio del artículo precedente.

Recordemos que, ya sea que $a=b$, o, por el contrario, que $a\neq b$, hemos visto (en el artículo precedente a éste) que la desigualdad propuesta podemos demostrarla de la siguiente manera:
  $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=$
    $=\dfrac{a+b}{a}+\dfrac{a+b}{b}$
      $=\dfrac{a}{a}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{b}$
        $=1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+1$
          $=2+\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)$
Y teniendo en cuenta que, al ser $a$ y $b$, positivos y menores que uno, se tiene que $0\lt \dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\gt 1$. En consecuencia, $2+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\gt 2$. Por consiguiente,
$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\gt 2$$

Sin embargo, ahora, nos proponemos hacer la demostración mediante un método alternativo:
Vamos a distinguir los dos casos siguientes, que cubren todas las posibilidades:

1. En el caso de que $a=b$, entonces, como $0\lt a \lt 1$ y $0\lt b \lt 1$ y $a+b=1$, se tiene que $a=b=\dfrac{1}{2}$, luego $\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{\frac{1}{2}}=2$, y, por tanto, $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=4\gt 2 \quad \diamond$
2. En el caso de que $a\neq b$, entonces, como $0\lt a \lt 1$ y $0\lt b \lt 1$ y $a+b=1$, y visto el caso anterior, por el principio (de recuento) del palomar, uno de los dos tiene que ser menor que $\dfrac{1}{2}$, que, sin pérdida de generalidad, vamos a suponer que éste sea $a$. Entonces, si $a\lt \dfrac{1}{2}$, se tiene que $\dfrac{1}{2} \gt \dfrac{1}{\frac{1}{2}}=2$, y, por tanto, $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\gt 2+\dfrac{1}{b}$. Pero, el valor de $\dfrac{1}{b}$, ha de ser necesariamente mayor que cero, en consecuencia $2+\dfrac{1}{b}\gt 2$, con lo cual $$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \gt 2+\dfrac{1}{b} \gt 2$$ $\diamond$