Una ecuación en la que interviene una progresión aritmética

Se pide que resolvamos la siguiente ecuación $$1+3+5+7+9+\ldots+k=121$$ donde $k$ es un número entero positivo.

El primer miembro de la igualdad corresponde a la suma de un cierto número de términos de una progresión aritmética de diferencia $d=2$, y primer término igual a $1$, por lo tanto sabemos que dicha suma viene dada por $\dfrac{a_1+k}{2}\cdot n$, siendo $n$ el número de términos de la suma, y $a_1$ el valor del primer término de la suma, que es igual a $1$, luego podemos escribir la ecuación pedida de la forma $$\dfrac{1+k}{2}\cdot n =121 \quad (1)$$.

Para calcular el número de términos, $n$, de la progresión, recurrimos a la expresión del $n-ésimo$ término, cuyo valor es igual a $k$: $$k=a_1+(n-1)\cdot d$$ esto es $k=1+(n-1)\cdot 2$ y, por tanto, $n=\dfrac{k-1}{2}+1 \quad (2)$

Entonces, sustituyendo $(2)$ en $(1)$:
  $\dfrac{1+k}{2}\cdot \left( \dfrac{k-1}{2}+1\right)=121$
    $\dfrac{1+k}{2}\cdot \left( \dfrac{1+k}{2}\right)=121$
      $\dfrac{(1+k)^2}{2^2}=121$
        $(1+k)^2=121\cdot 2^2$
          $(1+k)^2=121\cdot 4$
            $(1+k)^2=484$
              $1+k = \sqrt{484}$
                $1+k = 22$
                  $k = 22-1$
                    $k = 21$
$\diamond$