Un interesante problema con números enteros positivos

Un bonito problema que apareció en una Olimpiada Matemática es el siguiente:
  Encontrar las ternas de números enteros positivos $a,b,c$ que cumple la siguiente igualdad

$$3^a+3^b+3^c=387$$ Veamos cómo puede resolverse:

Empecemos suponiendo, sin pérdida de generalidad, que $a\ge b \ge c\quad (1)$, con lo cual $3^a \ge 3^b \ge 3^c$, con lo cual
  $3^a+3^b+3^c=387$ puede expresarse de la siguiente manera:
  $3^c\cdot (3^{a-c}+3^{b-c}+1)=387$
Por otra parte, $387= 3^3\cdot 31$, por tanto lo anterior puede escribirse como
  $3^c\cdot (3^{a-c}+3^{b-c}+1)=3^3\cdot 31 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}3^c=3^3 \Rightarrow c=3 & (2) \\ 3^{a-c}+3^{b-c}+1=31 & (3)\end{matrix}\right.$
Simplificando $(3)$,   $3^{a-c}+3^{b-c}=30=3\cdot 10$
Y teniendo en cuenta $(1)$, $3^{a-c} \ge 3^{b-c}$, con lo cual la igualdad anterior puede escribirse como
  $3^{b-c}\cdot \left(3^{(a-c)-(b-c)}+1\right)=3\cdot 10$
    $3^{b-c}\cdot \left( 3^{a-b}+1\right)=3\cdot 10 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}3^{b-c}=3 \Rightarrow b-c=1 \overset{(2)}{\Rightarrow} b=4 & (4)\\ 3^{a-b}+1=10 & (5)\end{matrix}\right.$
Y de $(5)$,
  $3^{a-b}=9=3^2 \Rightarrow a-b=2 \overset{(4)}{=} a=6$
Así pues, la terna que se obtiene es $(a,b,c)=(6,4,3)$. Pero, como la suposición $(1)$ sólo nos ha servido para encontrar ésta, podríamos repetir todo lo anterior permutando los elementos de dicha desigualdad por lo que, además de $(6,4,3)$ son también solución las ternas que resultan de permutar los valores obtenidos: $(6,3,4)$, $(4,3,6)$, $(4,6,3)$, $(3,4,6)$ y $(3,6,4)$.

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