Un problema de álgebra básica, muy típico de Olimpiada Matemática

Si $m+n=1 \quad (1)$ y $m^2+n^2=2 \quad (2)$, donde $m$ y $n$ son números racionales, ¿a qué es igual $m^8+n^8$, sin calcular préviamente $m$ y $n$?

A partir de la identidad $(m+n)^2=m^2+2\,m\,n+n^2$, podemos escribir:
  $m^2+n^2=(m+n)^2-2\,m\,n$
Y teniendo en cuenta $(1)$ y $(2)$,
    $2=1^2-2\,m\,n \Rightarrow m\,n=-\dfrac{1}{2} \quad (3)$

Por otra parte,
  $m^4+n^4=$
    $=(m^2+n^2)^2-2\,m^2\,n^2$
      $=(m^2+n^2)^2-2\,(m\,n)^2$
        $\overset{(2),(3)}{=}2^2-2\cdot (-\dfrac{1}{2})^2$
          $=4-2\cdot \dfrac{1}{4}$
            $=4-\dfrac{1}{2}$
              $=\dfrac{8}{2}-\dfrac{1}{2}$
                $=\dfrac{8-1}{2}$
                  $=\dfrac{7}{2} \quad (4)$

Y, apoyándonos en la misma idea:
  $m^8+n^8=$
    $=(m^4)^2+(n^4)^2$
      $=(m^4+n^4)^2-2\,m^4\,n^4$
        $=(m^4+n^4)^2-2\,(m\,n)^4$
          $\overset{(3),(4)}{=}(\dfrac{7}{2})^2-2\cdot (-\dfrac{1}{2})^4$
            $=\dfrac{49}{4}-2\cdot \dfrac{1}{16}$
              $=\dfrac{49}{4}-\dfrac{1}{8}$
                $=\dfrac{98}{8}-\dfrac{1}{8}$
                  $=\dfrac{97}{8}$

$\diamond$