Un cálculo de velocidad media a partir de un movimiento adelante-atrás con un patrón de sucesiones aritméticas

Un cochecito robot se mueve en línea recta, saliendo de un punto $O$. En el primer segundo avanza $10\,\text{cm}$ —la posición de salida, $x_0=0\,\text{cm}$, corresponde al origen de tiempo, $t_0=0\,\text{s}$— y en el segundo segundo retroce $6\,\text{cm}$; en el tercer segundo avanza $12\,\text{cm}$ y en el cuarto segundo retroce $8\,\text{cm}$; en el quinto segundo avanza $14\,\text{cm}$ y en el sexto segundo retroce $10\,\text{cm}$; y, así, sucesivamente, hasta que han transcurrido $51$ segundos. Finalmente, ¿en que posición se encuentra con respecto al punto $A$? ¿cuál es la velocidad media del coche entre el punto inicial $O$ y el punto final del recorrido?

La distancia desde la posición final a $O$ es, por definición de distancia entre dos puntos de una recta, $d:=x_{51}-x_{0}=x_{51}-0=x_{51}$, donde $x_i$ denota las posiciones en los instantes $0,1,2,\ldots,51$, con $x_0=0$ (posición de salida). Por tanto, la distancia pedida viene dada por la suma $$d=x_{1}+x_2+x_3+x_4+\ldots+x_{50}+x_{51}$$ donde los términos/sumandos con índice impar corresponden a los avances (positivos) y los términos con índice par a los pasos de retroceso (que son negativos), es decir, $$d=10+(-6)+12+(-8)+14+(-10)+16+(-12)+\overset{\underbrace{51}}{\ldots}+\ell+(-m)$$ siendo $\ell$ el último avance (el del quincuagésimo primer segundo, y por tanto el vigésimo sexto en el conjunto de los avances) y $m$ el último retroceso (el del quincuagésimo segundo, y por tanto el vigésimo quinto en el conjunto de los retrocesos). Esta suma podemos separarla a su vez en dos sumas, la suma de los pasos $26$ términos positivos que corresponden a los pasos de avance $$10+12+14+16+\overset{\underbrace{26}}{\ldots}+\ell$$ y la suma de los $25$ términos negativos que corresponden a los pasos de retroceso $$-6+(-8)+(-10)+(-12)+\overset{\underbrace{25}}{\ldots}+m$$ Observemos que la suma de los términos positivos es la de una progresión aritmética (la de los $26$ pasos de avance), de diferencia igual a $2$, con primer término igual a $10$, y último término $m=10+(26-1)\cdot 2 = 60$, luego $10+12+14+16+\overset{(26)}{\ldots}+260=26\cdot \dfrac{10+60}{2}=910$.

Por otra parte, la suma de los términos negativos es la de una progresión aritmética (la de los $25$ pasos de retroceso) de diferencia igual a $-2$, con primer término giual a $-6$, y último término $m=-6+(25-1)\cdot (-2) = -54$, luego $-6+(-8)+(-10)+(-12)+\overset{(25)}{\ldots}+(-54)=25\cdot \dfrac{(-6)+(-54)}{2}=-750$.

Entonces, $d=910+(-750)=160\,\text{cm}$, que corresponde al valor de la coordenada de la posición final $x_{51}$. Calculo ahora la velocidad media: $$v_m:=\dfrac{\Delta\,x}{\Delta\,t}=\dfrac{x_{\text{final}}-x_{\text{inicial}}}{t_{\text{final}}-t_{\text{inicial}}}=\dfrac{x_{51}-x_{0}}{t_{51}-t_{0}}=\dfrac{160-0}{51-0}=\dfrac{160}{51}\,\dfrac{\text{cm}}{\text{s}}$$

$\diamond$

Hablemos de cinemática

En cinemática, se define la rapidez (o celeridad) media en un intervalo de tiempo $[t_1,t_2]$, como el cociente $\dfrac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1}$ (llamado también cociente incremental), siendo $s(t)$ la distancia a un origen del sistema referencia predeterminado (elegido). En este ejemplo, voy a calcular la rapidez media de un móvil cuya distancia a un reflector de radar (origen del sistema de referencia) se sabe que viene dada por la función $s(t)=4\,\sqrt{t^3}$, entre los instantes de tiempo $t_1=10\,\text{s}$ y $t_2=15\,\text{s}$

De acuerdo con la definición, la rapidez entre dichos instantes de tiempo es igual a $=\dfrac{4\,\sqrt{15^3}-4\,\sqrt{10^3}}{15-10} \approx 21\, \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Para hacernos una idea más «automovilística» serían aproximadamente $76\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$

Observación:
Si el incremento de tiempo del cociente lo hiciésemos cada vez más pequeño, hasta hacerlo tender a cero, a la vez que el incremento $\Delta\,s$ se hace también más pequeño, llegaríamos (en el límite) al concepto de celeridad instantánea, que en el caso de un movimiento rectilíneo no sería más que la velocidad instantánea (la velocidad en un instante $t$); y, en el caso de un movimiento no rectilíneo, deberíamos extender esa idea teniendo en cuenta el caracter vectorial de $\vec{s}$. De esta forma, podríamos hablar ya de velocidad media en el intervalo $[t_1,t_2]$: $\vec{v}_m:=\dfrac{\vec{s}(t_2)-\vec{s}(t_1)}{t_2-t_1}$ y de velocidad instantánea (en un instante $t$, donde $t_1 \le t \le t_2$): $\displaystyle \vec{v}(t):=\dfrac{\vec{s}(t)-\vec{s}(t_1)}{t-t_1}$