Se pide la suma de los $7$ primeros términos de la progresión geométrica de razón $r=2$ y primer término $a_1=1$. Recordad (de cursos anteriores) que la suma de los $n$ primeros términos consecutivos es igual a $S_n=a_1\,\dfrac{r^n-1}{r-1}$, en nuestro caso, por tanto, tenemos que $S_7=1\cdot \dfrac{2^7-1}{2-1}=2^7-1=128-1=127$
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Consideremos la siguiente ecuación $$1+5+5^2+5^3+\ldots+5^k=3096$$ donde $k$ es un número entero positivo, cuyo valor se pide que calculemos:
El primer miembro de la igualdad corresponde a la suma de $k+1$ términos de una progresión geométrica de razón $r=5$ y cuyo primer término es $a_1=1$, por lo tanto sabemos que dicha suma viene dada por $a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$, siendo $n$ el número de términos de la suma, que, en nuestro caso es igual a $k+1$, luego la ecuación pedida puede escribirse de la forma $$1\cdot \dfrac{5^{k+1}-1}{5-1}=3\,096$$
Simplificándola nos queda:
$5^{k+1}=3\,096 \cdot 4 +1$
$5^{k+1}=3\,096 \cdot 4 +1$
$5^{k+1}=15\,625$
Para despejar la incógnita, $k$, extraigamos logaritmos en cada miembro:
$\ln\left(5^{k+1}\right)=\ln(15\,625)$
$(k+1)\,\ln(5)=\ln(15\,625)$
$k+1=\dfrac{\ln(15\,625)}{\ln(5)}$
$k=\dfrac{\ln(15\,625)}{\ln(5)}-1$
$k=5$
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