Resolución de inecuaciones. Otro ejemplo

Consideremos la función $f(x)=(2^x-1)(x+2)$. De manera parecida al ejercicio anterior, queremos determinar para qué valores de la variable independiente $x$ esta función toma valores positivos; es decir, queremos resolver la inecuación $$f(x) \gt 0$$

El dominio de definición de esta función es todo el conjunto de los números reales. Veamos primero para qué valores de $x$ se anula (raíces de dicho polinomio); así podremos ver los intervalos en los que queda dividido su dominio de definición (que es la recta completa de los números reales).

Para ello, impongamos la condición necesaria para que un cierto valor de $x$ sea raíz de la función $f(x)$:
  $f(x)=0$
    $(2^x-1)(x+2)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2^x-1=0 \Rightarrow x=0\\x+2=0 \Rightarrow x=-2\end{matrix}\right.$
Ésas son las raíces: $-2$ y $0$; por tanto el dominio (la recta de los números reales) queda dividida en los siguientes intervalors: $(-\infty,-2]$, $(-2,0)$ y $(0,+\infty)$, en los que la función toma signo positivo o bien negativo.

Para ver dónde toman valores positivos o negativos los factores de la función basta tomar un valor cualquiera que pertenezca a cada intervalo y, sustituyéndo $x$ por dicho valor en la expresión algebraica, calcular el signo del factor. Así podemos deducir fácilmente el signo de la propia función $f(x)$ en cada intervalo (multiplicando los signos que toman los factores en dichos intervalos). Organizamos este análisis en la siguiente tabla de resultados:

                    (-infinito,-2)             (-2,0)         (0,+infinito)
2^x-1                  negativo               negativo         positivo
x+2                    negativo               positivo         positivo
                              
(2^x-1)·(x+2)          positivo               negativo         positivo
 

El resultado lo extraemos de la última línea de la tabla: $$f(x) \gt 0 \,\forall x \in (-\infty,-2) \cup (0,+\infty)$$ $\diamond$