Ejemplo de una ecuación que no tiene solución en el conjunto de los números reales, pero que sí la tiene en el de los números complejos

Estudiemos la siguiente ecuación $$\sqrt{x}+\sqrt{-x}=2$$

Esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales, pues en el caso de que $x\gt 0$, el segundo término del primer miembro no está definido en $\mathbb{R}$ pues el argumento de la raíz cuadrada, $-x$ es negativo. Por otra parte, si $x\lt 0$, ocurre que no está definido en $\mathbb{R}$ el primer término, ya que el argumento de la ráiz cuadrada es negativo. Y, es evidente que $x$ no puede tomar el valor $0$ pues, en tal caso obtendríamos una contradicción $\sqrt{0}+\sqrt{0} = 0 \neq 2$.

No obstante, sí tiene solución en el conjunto de los números complejos $\mathbb{C}$. Veámoslo:
$\sqrt{x}+\sqrt{-x}=2$
  $\sqrt{x}=2-\sqrt{-x}$
    $(\sqrt{x})^2=(2-\sqrt{-x})^2$
      $x=4 - 4\,\sqrt{-x}+(\sqrt{-x})^2$
        $x=4 - 4\,\sqrt{-x}+(-x)$
          $2x=4\,(1 - \sqrt{-x})$
            $x=2\,(1 - \sqrt{-x})$
              $x=2 - 2\,\sqrt{-x}$
                $x-2=-2\,\sqrt{-x}$
                  $(x-2)^2=(-2\,\sqrt{-x})^2$
                    $(x-2)^2=(-2)^2\,(\sqrt{-x})^2$
                      $x^2-4x+4=4\cdot (-x)$
                        $x^2-4x+4=-4x$
                          $x^2-4x+4x+4=0$
                            $x^2+4=0$
                              $x^2=-4$
                                $\sqrt{x^2}=\pm\,\sqrt{-4}$
                                  $x=\pm\,\sqrt{(-1)\cdot 4}$
                                    $x=\pm\,\sqrt{(-1)}\cdot \sqrt{4}$
                                      $x=\pm\,i\cdot 2$
                                        $x=\pm\,2i$
La solución a la ecuación pedida consta pues de dos números complejos: $2i$ y $-2i$. $\diamond$