Un cálculo de velocidad media a partir de un movimiento adelante-atrás con un patrón de sucesiones aritméticas

Un cochecito robot se mueve en línea recta, saliendo de un punto $O$. En el primer segundo avanza $10\,\text{cm}$ —la posición de salida, $x_0=0\,\text{cm}$, corresponde al origen de tiempo, $t_0=0\,\text{s}$— y en el segundo segundo retroce $6\,\text{cm}$; en el tercer segundo avanza $12\,\text{cm}$ y en el cuarto segundo retroce $8\,\text{cm}$; en el quinto segundo avanza $14\,\text{cm}$ y en el sexto segundo retroce $10\,\text{cm}$; y, así, sucesivamente, hasta que han transcurrido $51$ segundos. Finalmente, ¿en que posición se encuentra con respecto al punto $A$? ¿cuál es la velocidad media del coche entre el punto inicial $O$ y el punto final del recorrido?

La distancia desde la posición final a $O$ es, por definición de distancia entre dos puntos de una recta, $d:=x_{51}-x_{0}=x_{51}-0=x_{51}$, donde $x_i$ denota las posiciones en los instantes $0,1,2,\ldots,51$, con $x_0=0$ (posición de salida). Por tanto, la distancia pedida viene dada por la suma $$d=x_{1}+x_2+x_3+x_4+\ldots+x_{50}+x_{51}$$ donde los términos/sumandos con índice impar corresponden a los avances (positivos) y los términos con índice par a los pasos de retroceso (que son negativos), es decir, $$d=10+(-6)+12+(-8)+14+(-10)+16+(-12)+\overset{\underbrace{51}}{\ldots}+\ell+(-m)$$ siendo $\ell$ el último avance (el del quincuagésimo primer segundo, y por tanto el vigésimo sexto en el conjunto de los avances) y $m$ el último retroceso (el del quincuagésimo segundo, y por tanto el vigésimo quinto en el conjunto de los retrocesos). Esta suma podemos separarla a su vez en dos sumas, la suma de los pasos $26$ términos positivos que corresponden a los pasos de avance $$10+12+14+16+\overset{\underbrace{26}}{\ldots}+\ell$$ y la suma de los $25$ términos negativos que corresponden a los pasos de retroceso $$-6+(-8)+(-10)+(-12)+\overset{\underbrace{25}}{\ldots}+m$$ Observemos que la suma de los términos positivos es la de una progresión aritmética (la de los $26$ pasos de avance), de diferencia igual a $2$, con primer término igual a $10$, y último término $m=10+(26-1)\cdot 2 = 60$, luego $10+12+14+16+\overset{(26)}{\ldots}+260=26\cdot \dfrac{10+60}{2}=910$.

Por otra parte, la suma de los términos negativos es la de una progresión aritmética (la de los $25$ pasos de retroceso) de diferencia igual a $-2$, con primer término giual a $-6$, y último término $m=-6+(25-1)\cdot (-2) = -54$, luego $-6+(-8)+(-10)+(-12)+\overset{(25)}{\ldots}+(-54)=25\cdot \dfrac{(-6)+(-54)}{2}=-750$.

Entonces, $d=910+(-750)=160\,\text{cm}$, que corresponde al valor de la coordenada de la posición final $x_{51}$. Calculo ahora la velocidad media: $$v_m:=\dfrac{\Delta\,x}{\Delta\,t}=\dfrac{x_{\text{final}}-x_{\text{inicial}}}{t_{\text{final}}-t_{\text{inicial}}}=\dfrac{x_{51}-x_{0}}{t_{51}-t_{0}}=\dfrac{160-0}{51-0}=\dfrac{160}{51}\,\dfrac{\text{cm}}{\text{s}}$$

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Una aproximación al modelo binomial de variable aleatoria

En una población se sabe que el $1\,\%$ de los individuos tienen los ojos verdes. De $10$ individuos (elegidos al azar), ¿cuál es la probabilidad de que exactamente tres de ellos tengan los ojos verdes?

Este problema es muy similar al lanzamiento repetido de una moneda (no equilibrada). Para un cierto individuo (elegido al azar), podemos asimilar el que salga cara a que tenga los ojos verdes; según la información del enunciado, la probabilidad de que tenga los ojos verdes, $p$, es $0,01$, y la probabilidad de que no tenga los ojos verdes (suceso contrario), $q$, será, por tanto, $1-p=1-0,01=0,99$. Entonces, podemos imaginar que lanzamos la moneda $20$ veces (los lanzamientos son independientes unos de otros), con lo cual, hay $\binom{10}{3}$ posibilidades a la hora de seleccionar los tres individuos (sobre un total de $10$) a los que se refiere la pregunta del enunciado. Por consiguiente, como los resultados de los 'lanzamientos' son independientes, la probabilidad pedida es $\binom{10}{3}\cdot 0,01^3 \cdot 0,99^{10-3}\approx 1,118\cdot 10^{-4}$.

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Comentario (generalización y notación): Denominemos $X$ a la variable aleatoria que representa cuántos individuos tienen los ojos verdes (dado el conjunto de individuos por el que nos estamos preguntando, que, en general pongamos que sea $n$); así, los posibles valores que puede tomar dicha variable aleatoria son los del conjunto $X=\{0,1,2,\ldots,n\}$. En las condiciones expuestas (independencia de sucesos y estricta dualidad en los resultados: tener cierta característica o bien no tenerla), nos referiremos formalmente a la probabilidad pedida como modelo de probabilidad binomial de varable aleatoria; así, la probabilidad de que $m$ de los $n$ individuos, con $m \le n$, tengan la característica por la que nos preguntamos, tener los ojos verdes (lo contrario es no tener los ojos verdes, y no hay más posibilidades) con la siguiente notación (que es la que utilizaremos para todos los problemas que se ajusten a ese modelo de probabilidad): $$\displaystyle P(\{X=m\})=\binom{n}{m}\cdot p^{m}\cdot (1-p)^{n-m}$$

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Resolución de inecuaciones. Otro ejemplo

Consideremos la función $f(x)=(2^x-1)(x+2)$. De manera parecida al ejercicio anterior, queremos determinar para qué valores de la variable independiente $x$ esta función toma valores positivos; es decir, queremos resolver la inecuación $$f(x) \gt 0$$

El dominio de definición de esta función es todo el conjunto de los números reales. Veamos primero para qué valores de $x$ se anula (raíces de dicho polinomio); así podremos ver los intervalos en los que queda dividido su dominio de definición (que es la recta completa de los números reales).

Para ello, impongamos la condición necesaria para que un cierto valor de $x$ sea raíz de la función $f(x)$:
  $f(x)=0$
    $(2^x-1)(x+2)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2^x-1=0 \Rightarrow x=0\\x+2=0 \Rightarrow x=-2\end{matrix}\right.$
Ésas son las raíces: $-2$ y $0$; por tanto el dominio (la recta de los números reales) queda dividida en los siguientes intervalors: $(-\infty,-2]$, $(-2,0)$ y $(0,+\infty)$, en los que la función toma signo positivo o bien negativo.

Para ver dónde toman valores positivos o negativos los factores de la función basta tomar un valor cualquiera que pertenezca a cada intervalo y, sustituyéndo $x$ por dicho valor en la expresión algebraica, calcular el signo del factor. Así podemos deducir fácilmente el signo de la propia función $f(x)$ en cada intervalo (multiplicando los signos que toman los factores en dichos intervalos). Organizamos este análisis en la siguiente tabla de resultados:

                    (-infinito,-2)             (-2,0)         (0,+infinito)
2^x-1                  negativo               negativo         positivo
x+2                    negativo               positivo         positivo
                              
(2^x-1)·(x+2)          positivo               negativo         positivo
 

El resultado lo extraemos de la última línea de la tabla: $$f(x) \gt 0 \,\forall x \in (-\infty,-2) \cup (0,+\infty)$$ $\diamond$

Resolución de inecuaciones polinómicas. Un ejemplo

Consideremos el polinomio $P(x)=x^2+8x+7$. Nos proponemos determinar para qué valores de la variable independiente $x$ este polinomio toma valores positivos; es decir, queremos resolver la inecuación $$P(x) \gt 0$$

Veamos primero para qué valores de $x$ se anula (raíces de dicho polinomio); así podremos ver los intervalos en los que queda dividido su dominio de definición (que es la recta completa de los números reales).

Para ello, impongamos la condición necesaria para que un cierto valor $x$ sea raíz de $P(x)$:
  $P(x)=0$
    $x^2+8x+7=0$
      $x^2+x+7x+7=0$
        $x(x+1)+7(x+1)=0$
          $x(x+1)+7(x+1)=0$
            $(x+1)\left(x+7\right)=0 \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right.$
Ésas son las raíces: $-7$ y $-1$; por tanto $\mathbb{R}$ queda dividida en los siguientes intervalos, en los que el polinomio es positivo o bien negativo: $(-\infty,-7)$, $(-7,-1)$ y $(-1,+\infty)$

Para ver dónde toman valores positivos o negativos los factores del polinomio basta un valor cualquiera que pertenezca a cada intervalo y, sustituyendo $x$ por dicho valor en la expresión algebraica, calcular el signo de su valor. Así podemos deducir fácilmente el signo del propio polinomio $P(x)$ en cada intervalo (multiplicando los signos que toman los factores en dichos intervalos). Organizamos este análisis en la siguiente tabla de resultados:

                  (-infintio,-7)             (-7,-1)       (-1,+infinto)
x+1                    negativo             negativo         positivo
x+7                    negativo             positivo         positivo
                              
(x+1)·(x+7)            positivo             negativo         positivo
 

El resultado lo deducimos de la última línea de la tabla: $$P(x) \gt 0 \,\forall x \in (-\infty,-7) \cup (-1,+\infty)$$ $\diamond$

Cálculo del ángulo entre dos números complejos en el diagrama de Argand (plano complejo)

Consideremos los números complejos $w=-1+2i$ y $z=1+3i$, ¿qué ángulo forman entre sí?

Observemos que el afijo de $w$ está en el segundo cuadrante del plano de Argand, pues $\mathcal{Re}(w)\lt 0$ y $\mathcal{Im}(w)\gt 0$; y, el afijo de $z$ está en el primer cuadrante, ya que $\mathcal{Re}(z)\gt 0$ y $\mathcal{Im}(z)\gt 0$. Así pues $90^{\circ}\lt \text{Arg}(w) \lt 180^{\circ}$, mientras que $0^{\circ}\lt \text{Arg}(z) \lt 90^{\circ}$. Nota: En este ejercicio, por comodidad, he decidido expresar los ángulos en grados sexagesimales.

Calculo ahora los argumentos principales, aproximando a la cifra de las unidades: $\text{Arg}(z)=\text{arctan}\left( \dfrac{\mathcal{Im}(z)}{\mathcal{Re}(z)} \right)=\text{arctan}\,(\dfrac{3}{1})=\text{arctan}(3)\approx 72^{\circ}$ y $\text{Arg}(w)=\text{arctan}\left( \dfrac{\mathcal{Im}(w)}{\mathcal{Re}(w)} \right)=\text{arctan}\,(\dfrac{2}{-1})=\text{arctan}(-2)\approx 117^{\circ}$

El ángulo que forman los dos números complejos en el plano de Argand será por tanto igual a la diferencia (en valor absoluto) de los argumentos principales: $$\measuredangle(w,z)=|\text{Arg}(w)-\text{Arg}(z)|=117^{\circ}-72^{\circ}=45^{\circ}$$ $\diamond$

Cálculo de la potencia $z^{22}$, siendo $z$ el número complejo del ejercicio anterior

En el artículo precedente habíamos visto que $$z=\dfrac{2+i}{3-i}$$ puede expresarse de manera exponencial como $$\displaystyle z=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}$$ o, lo que es lo mismo, $$\displaystyle z=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}$$ Ahora, vamos a calcular la potencia $z^{22}$

Teniendo expresado $z$ de manera exponencial es sencillo calcular una potencia de exponente entero del mismo:
    $z^{22}=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}\right)^{22}$
        $=\left(\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right)^5\cdot \left(e^{i\,\frac{\pi}{4}}\right)^{22}$
          $=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{22}\cdot e^{i\,\frac{22\,\pi}{4}}$
            $=\left(\dfrac{1}{2^{\frac{1}{2}}}\right)^{22}\cdot e^{i\,\frac{11\,\pi}{2}}$
              $=\dfrac{1}{2^{\frac{22}{2}}}\cdot e^{i\,\frac{11\,\pi}{2}}$
                $=\dfrac{1}{2^{11}}\cdot e^{i\,\frac{11\,\pi}{2}}$
                  $=\dfrac{1}{2\,048}\cdot e^{i\,\frac{11\,\pi}{2}}$
Ahora bien, no hemos terminado, pues si queremos expresar $z^{22}$ en forma exponencial, debemos quedarnos con el argumento principal de dicho número complejo, y éste no puede ser mayor que $2\,\pi$, entonces, como el ángulo con que nos encontramos en la última línea es $\dfrac{11\,\pi}{2}\gt 2\pi$, tenemos que deducir cuál es el ángulo equivalente en la primera vuelta:
  Observemos que $11=2\cdot 5+1$, luego $\dfrac{11}{2}=\dfrac{2\cdot 5}{2}+\dfrac{1}{2}=5+\dfrac{1}{2}$; por consiguiente, $\dfrac{11\,\pi}{2}=5\,\pi+\dfrac{\pi}{2}=6\,\pi-\pi+\dfrac{\pi}{2}=6\,\pi+(-\dfrac{\pi}{2})=3\cdot 2\,\pi+(-\dfrac{\pi}{2})$, es decir, $\dfrac{11\,\pi}{2}$ es lo mismo que $3$ vueltas menos un cuarto de vuelta, luego el argumento principal es ese cuarto de vuelta negativo: $\text{Arg}(z^{22})=-\dfrac{\pi}{2}$

En conclusión,
  $\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}\right)^{22}=$     $=\dfrac{1}{2\,048}\cdot e^{-\frac{i\pi}{2}}$
      $=\dfrac{1}{2\,048}\cdot \left(\cos\,(-\frac{\pi}{2})+i\,\sin\,(-\frac{\pi}{2})\right)$
        $=\dfrac{1}{2\,048}\cdot \left(0+i\cdot (-1)\right)$
          $=-\dfrac{1}{2\,048}\cdot i$
que es un número imaginario puro, pues su parte real es nula, $\mathcal{Re}(z^{22})=0$.

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Un ejercicio para hallar la forma exponencial de un número complejo

Sea el número complejo $$z=\dfrac{2+i}{3-i}$$ Me propongo expresarlo de la forma $$z=|z|\cdot e^{i\,\theta}$$ donde $\theta$ es el ángulo polar y $|z|$ denota el módulo de dicho número complejo

Podemos calcular el módulo $|z|$ de varias maneras. Una de ellas consiste en manejar el cociente con el que se define dicho número para expresarlo en forma binómica, $z=a+ib$, con $a,b\in \mathbb{R}$, y, a continuación, hallar su módulo: $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. Procedo de esta manera:
  $z=\dfrac{2+i}{3-i}$. Multiplicando y dividiendo por el complejo conjugado del denominador:
    $=\dfrac{2+i}{3-i}\dfrac{3+i}{3+i}$
      $=\dfrac{(2+i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}$
        $=\dfrac{6+(3+2)i+i^2}{(3^2+3i-3i-i^2}$
          $=\dfrac{6+5i+-(1)}{(3^2-(-1)}$
            $=\dfrac{5+5i}{10}$
              $=\dfrac{5(1+i)}{10}$
                $=\dfrac{1}{2}\cdot (1+i) \quad (1)$
Entonces,
  $|z|=|\dfrac{1}{2}|\cdot |1+1\cdot i|$
    $=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{1^2+1^2}$
      $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
        $=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
De $(1)$ podemos deducir ya el ángulo polar de $z$, para el que tomamos el argumento principal del mismo, $\theta =\text{Arg}(z)$, con $0\le \text{Arg}(z) \le 2\pi$:
  $\theta=\text{Arg}(z):=\arctan\left(\dfrac{\mathcal{Im}(z)}{\mathcal{Re}(z)}\right)$, y teniendo en cuenta que $\text{Arg}\left(\dfrac{1}{2}\,(1+i)\right)=\text{Arg}(1+i)$, se tiene que, como $\mathcal{Re}(1+i)=1$ y $\mathcal{Im}(1+i)=1$, $\theta=\text{arctan}\left(\dfrac{1}{1}\right)=\text{arctan}(1)$. Por otra parte, el afijo de $z$ se encuentra en el primer cuadrante del plano de Argand (o plano complejo), pues $\mathcal{Re}(z)\gt 0$ y $\mathcal{Im}(z)\gt 0$, luego $\theta=\dfrac{\pi}{4}$. Nota: Recordemos que los ángulos los expresamos en radianes.
En consecuencia, ya podemos escribir el número complejo en forma exponencial: $$\displaystyle z=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}$$

Observación:

También podemos calcular el módulo de $z$ de la siguiente manera:
  $|z|=\left|\dfrac{2+i}{3-i}\right|$
      $=\dfrac{\left|2+i\right|}{\left|3-i\right|}$
        $=\dfrac{\sqrt{2^2+1^2}}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}$
          $=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$
            $=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5\cdot 2}}$
              $=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}}$
                $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
                  $=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

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Ejemplo de una ecuación que no tiene solución en el conjunto de los números reales, pero que sí la tiene en el de los números complejos

Estudiemos la siguiente ecuación $$\sqrt{x}+\sqrt{-x}=2$$

Esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales, pues en el caso de que $x\gt 0$, el segundo término del primer miembro no está definido en $\mathbb{R}$ pues el argumento de la raíz cuadrada, $-x$ es negativo. Por otra parte, si $x\lt 0$, ocurre que no está definido en $\mathbb{R}$ el primer término, ya que el argumento de la ráiz cuadrada es negativo. Y, es evidente que $x$ no puede tomar el valor $0$ pues, en tal caso obtendríamos una contradicción $\sqrt{0}+\sqrt{0} = 0 \neq 2$.

No obstante, sí tiene solución en el conjunto de los números complejos $\mathbb{C}$. Veámoslo:
$\sqrt{x}+\sqrt{-x}=2$
  $\sqrt{x}=2-\sqrt{-x}$
    $(\sqrt{x})^2=(2-\sqrt{-x})^2$
      $x=4 - 4\,\sqrt{-x}+(\sqrt{-x})^2$
        $x=4 - 4\,\sqrt{-x}+(-x)$
          $2x=4\,(1 - \sqrt{-x})$
            $x=2\,(1 - \sqrt{-x})$
              $x=2 - 2\,\sqrt{-x}$
                $x-2=-2\,\sqrt{-x}$
                  $(x-2)^2=(-2\,\sqrt{-x})^2$
                    $(x-2)^2=(-2)^2\,(\sqrt{-x})^2$
                      $x^2-4x+4=4\cdot (-x)$
                        $x^2-4x+4=-4x$
                          $x^2-4x+4x+4=0$
                            $x^2+4=0$
                              $x^2=-4$
                                $\sqrt{x^2}=\pm\,\sqrt{-4}$
                                  $x=\pm\,\sqrt{(-1)\cdot 4}$
                                    $x=\pm\,\sqrt{(-1)}\cdot \sqrt{4}$
                                      $x=\pm\,i\cdot 2$
                                        $x=\pm\,2i$
La solución a la ecuación pedida consta pues de dos números complejos: $2i$ y $-2i$. $\diamond$

Un cálculo interesante con números complejos

En este ejercicio de cálculo con números complejos se pide hallar el resultado de la siguiente operación $$\sqrt{2i}+\sqrt{-2i}$$ lo cual sirve de comprobación de la solución encontrada en este otro ejercicio de resolución de ecuaciones.

Para ello, utilizaremos la fórmula de Euler: siendo $z=a+i\,b$ ($a,b\in \mathbb{R}$ ) un número complejo, entonces puede expresarse de la forma $z=|z|\,e^{i\,\theta}=|z|\,(\cos\,\theta+i\,\sin\,\theta)$, donde $|z|$ es el módulo de dicho número y $\theta$ es su ángulo polar, esto es $\theta=\text{arctan}\,\left(\dfrac{b}{a}\right)$, donde, a la hora de determinar el cuadrante donde se sitúa el afijo de dicho número en el plano de Argand, los signos de $b$ y $a$.

Por la fórmula de Euler, $2i=2\,e^{i\,\frac{\pi}{2}}$; en efecto, $2\,e^{i\,\frac{\pi}{2}}=2\,(\cos\,\frac{\pi}{2}+i\,\sin\,\frac{\pi}{2})=2\,(0+i)=2i$ y $-2i=2\,e^{-i\,\frac{\pi}{2}}$, ya que $2\,e^{-i\,\frac{\pi}{2}}=2\,(\cos\,(-\frac{\pi}{2})+i\,\sin\,(-\frac{\pi}{2}))=2\,(0-i)=-2i$
Entonces, podemos expresar $\sqrt{2i}+\sqrt{-2i}$ de la siguiente forma,
  $\sqrt{2\,e^{i\frac{\pi}{2}}}+\sqrt{2\,e^{-i\frac{\pi}{2}}}$
    $\sqrt{2}\cdot\left(e^{i\frac{\pi}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}+\sqrt{2}\,\left(e^{-i\frac{\pi}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$
      $\sqrt{2}\cdot\left(e^{i\frac{\pi}{4}}+e^{-i\frac{\pi}{4}}\right)$
        $\sqrt{2}\cdot\left(\left(\cos\,(\frac{\pi}{4})+i\,\sin\,(\frac{\pi}{4})\right)+\left(\cos\,(-\frac{\pi}{4})+i\,\sin\,(-\frac{\pi}{4})\right)\right)$
          $\sqrt{2}\cdot\left(\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)+\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-i\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)$
            $\sqrt{2}\cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}-i\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$
              $\sqrt{2}\cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\,\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)$
                $\sqrt{2}\cdot\left(2\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\cdot 0\right)$
                  $\sqrt{2}\cdot\left(2\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}+0\right)$
                    $\sqrt{2}\cdot 2\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
                      $2\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
                        $2\cdot 1$
                          $2$
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Una demostración del teorema del seno

Sea un triángulo general en el plano $\triangle(ABC)$ tal como se muestra en la figura. Voy a justificar en este artículo el teorema del seno, que dice así: $$\dfrac{\sin\,\widehat{CAB}}{a}=\dfrac{\sin\,\widehat{ABC}}{b}=\dfrac{\sin\,\widehat{BCA}}{c}$$

Comencemos trazando dos de las tres alturas del triángulo, $i$ y $j$, como indico en la siguiente figura:

Como puede verse, se forman dos triángulos rectángulos: $\triangle(FAB)$ y $\triangle(CAG)$. Entonces, del triángulo rectángulo $\triangle{FAB}$ se tiene que $i=a\,\sin\,\widehat{BCF}$, y teniendo en cuenta que $\widehat{BCF}=\widehat{BCA}$, podemos escribir $$i=a\,\sin\,\widehat{BCA} \quad (1.1)$$ Por otra parte, del triángulo $\triangle{FAB}$ se tiene que $i=c\,\sin\,\widehat{FAB}$, y como $\widehat{FAB}=\widehat{CAB}$, podemos escribir $$i=c\,\sin\,\widehat{CAB} \quad (1.2)$$ Así pues, de $(1.1)$ y $(1.2)$ podemos escribir $$a\,\sin\,\widehat{BCA}=c\,\sin\,\widehat{CAB}$$ y por tanto $$\dfrac{\sin\,\widehat{CAB}}{a} = \dfrac{\sin\,\widehat{BCA}}{c} \quad (1.3) $$

Bien, ahora, examinando el triángulo rectángulo $\triangle{CBG}$ se tiene que $j=a\,\sin\,\widehat{CBG}$, y como $\widehat{CBG}=\pi-\widehat{ABC}$, podemos escribir $$j=a\,\sin\,(\pi-\widehat{ABC})=a\,\sin\,\widehat{ABC} \quad (2.1)$$ Por otra parte, del triángulo $\triangle{CAG}$ se tiene que $j=b\,\sin\,\widehat{CAG}$, y como $\widehat{CAG}=\widehat{CAB}$, podemos escribir $$j=c\,\sin\,\widehat{CAB} \quad (2.2)$$ Así pues, de $(2.1)$ y $(2.2)$ tenemos que $$a\,\sin\,\widehat{ABC}=b,\sin\,\widehat{CAB}$$ con lo cual $$\dfrac{\sin\,\widehat{CAB}}{a} = \dfrac{\sin\,\widehat{ABC}}{b}\quad (2.3)$$ en consecuencia, de esta relación $(2.3)$ y de la relación $(1.3)$ concluimos que $$\dfrac{\sin\,\widehat{CAB}}{a} = \dfrac{\sin\,\widehat{ABC}}{b} = \dfrac{\sin\,\widehat{BCA}}{c} \quad (3)$$

Nota:
En la mayoría de libros de texto, se utiliza la siguiente notación equivalente para los ángulos interiores del triángulo: $\alpha:= \widehat{CAB}$, $\beta:= \widehat{ABC}$ y $\gamma:=\widehat{BCA}$, por lo que también podemos expresar $(3)$ de una forma acaso algo más cómoda (es cuestión de gustos): $$\dfrac{\sin\,\alpha}{a} = \dfrac{\sin\,\beta}{b} = \dfrac{\sin\,\gamma}{c} $$

Observación:
La triple igualdad deducida, que es igual a una constante $k$, lleva también a la que se deduce de la mimsa, teniendo en cuenta que los inversos de las fracciones también serán iguales, a $\dfrac{1}{k}$: $$\dfrac{a}{\sin\,\widehat{CAB}} = \dfrac{b}{\sin\,\widehat{ABC}} = \dfrac{c}{\sin\,\widehat{BCA}} \quad (4)$$ y, desde luego, también podemos escribirla con la notación alternativa que he comentado en la nota de arriba: $$\dfrac{a}{\sin\,\alpha} = \dfrac{b}{\sin\,\beta} = \dfrac{c}{\sin\,\gamma}$$

Comentario:
Tanto este teorema del seno como el teorema del coseno (del que he hablado en otros artículos) tienen sus versiones en trigonometría esférica, que trata de la resolución de triángulos sobre la superficie de una esfera (triángulos esféricos). No trataré aquí esta extensión, pero hago hincapié en el hecho de que tanto en la versión plana como en la versión esférica, la importancia de estos dos resultados es enorme en múltiples áreas: física, ingeniería, astronomía, etcétera. En el blog de segundo de bachillerato he dedicado un espacio para la introducción de la trigonometría esférica, que podéis consultar siguiendo este enlace.

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Un ejercicio propio de Olimpiada Matemática

En este artículo voy a mostrar cómo encontrar la solución del siguiente sistema de ecuaciones, una de las cuales es no lineal: $$\left\{\begin{matrix}x+y=2 \\ x^5+y^5=82\end{matrix}\right.$$

Enumero las ecuaciones para referirme a ellas en el proceso de resolución:
$$\left\{\begin{matrix}x+y=2 & (1) \\ x^5+y^5=82 & (2)\end{matrix}\right.$$ Elevando al cuadrado los dos miembros de $(1)$,
  $(x+y)^2=2^2$
    $x^2+y^2+2xy=4$
      $x^2+y^2=4-2xy \quad (1.1)$
Elevando al cubo los dos miembros de $(2)$,
  $(x+y)^3=2^3$
    $x^3+y^3+3x^2\,y+3x\,y^2=8$
      $x^3+y^3+3xy(x+y)=8$
        $x^3+y^3=8-3xy(x+y)$
Pero teniendo en cuenta $(1)$, ésto nos queda
          $x^3+y^3=8-3\cdot 2\, xy$
            $x^3+y^3=8-6\, xy \quad (1.2)$
Multiplicando miembro a miembro las igualdades $(1.1)$ y $(1.2)$,
              $(x^2+y^2)(x^3+y^3)=(4-2xy)(8-6xy)$
                $x^5+y^5+x^2\,y^3+x^3\,y^2=(4-2xy)(8-6xy)$
                  $x^5+y^5+x^2\,y^2\,(x+y)=(4-2xy)(8-6xy)$
y teniendo en cuenta $(1)$,
                    $x^5+y^5+2\,x^2\,y^2=(4-2xy)(8-6xy)$
                      $x^5+y^5+2\,x^2\,y^2=4\,(4-3xy)(2-xy)$
tenienod en cuenta $(2)$,
                        $82+2\,x^2\,y^2=4\,(4-3xy)(2-xy)$
                          $41+x^2\,y^2=2\,(4-3xy)(2-xy)$
                            $41+(xy)^2=2\,(4-3xy)(2-xy)$
denotemos ahora $t:=xy$
                            $41+t^2=2\,(4-3t)(2-t)$
y expandiendo el segundo miembro,
                              $41+t^2=2\,(8-6t-4t+3t^2)$
                                $41+t^2=16 -12t -8t +6t^2$
                                  $5t^2-20t-25=0$
                                    $t^2-4t-5=0$
                                      $t=\dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1\cdot (-5)}}{2\cdot 1}=\dfrac{4\pm 6}{2}=\left\{\begin{matrix}5 \\ -1\end{matrix}\right.$

Para $t=5$, tenemos que $xy=5$, y teniendo en cuenta $(1)$, $x=2-y$, con lo cual $(2-y)\,y=5$, esto es, $y^2-2y+5=0$, luego $y=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot 5}}{2\cdot 1}=\dfrac{2\pm \sqrt{-16}}{2}=\dfrac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i$; por lo tanto, $x=2-(1 \pm 2i)=1\mp 2i$. Obtenemos así, dos pares $(x,y)$ que forman parte de la solución: $(1-2i\,,\,1+2i)$ y $(1+2i\,,\,1-2i)$

Para $t=-1$, tenemos que $xy=-1$, y teniendo en cuenta $(1)$, $x=2-y$, con lo cual $(2-y)\,y=-1$, esto es, $y^2-2y-1=0$, luego $y=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-1)}}{2\cdot 1}=\dfrac{2\pm \sqrt{8}}{2}=\dfrac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=1\pm \sqrt{2}$; por lo tanto, $x=2-(1 \pm \sqrt{2})=1\mp \sqrt{2}$. Obtenemos así, otros dos pares $(x,y)$ que también forman parte de la solución: $(1-\sqrt{2}\,,\,1+\sqrt{2})$ y $(1+\sqrt{2}\,,\,1-\sqrt{2})$

En conclusión, la solución del sistema de ecuaciones pedido está formado por el siguiente conjunto de pares de valores $(x,y)$: $$\{(1-2i\,,\,1+2i)\,,\,(1+2i\,,\,1-2i)\,,\,(1-\sqrt{2}\,,\,1+\sqrt{2})\,,\,(1+\sqrt{2}\,,\,1-\sqrt{2}) \}$$

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Una manera de justificar el teorema del coseno

En este artículo voy a justificar el teorema del coseno a partir del producto escalar. Recordemos que en dicho teorema se afirma que, dado un triángulo $\triangle(A,B,C)$, de vértices $A,B$ y $C$ y lados (enfrentados a los vértices respectivos) $a,b$ y $c$, $ c^2=a^2+b^2-2ab\,\cos(\widehat{BCA})$. Vamos allá.

Establezco un sistema de referencia ortogonal en un punto arbitrario, $O$, del plano, y tomo una base ortonormal, como por ejemplo la base canónica $\mathcal{C}=\{\hat{i}=(1,0)\,,\,\hat{j}=(0,1)\}$. En primer lugar, envío vectores de posición a los vértices del triángulo desde el origen del sistema de referencia: $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ y $\overrightarrow{OC}$, de manera que los vectores que apuntan de un vértice a otro del triángulo se relacionan mediante la suma vectorial, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$

A continuación, y a partir del producto escalar euclidiano, multiplico (escalarmente) el vector $\overrightarrow{AB}$ por sí mismo, $\langle \overrightarrow{AB}\,,\, \overrightarrow{AB}\rangle = \left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2$, que, de acuerdo con el convenio de notación que he utilizado, es igual a la longitud del lado del triángulo enfrentado al vértice $C$, es decir, $\langle \overrightarrow{AB}\,,\, \overrightarrow{AB}\rangle = \left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2=c^2$; pero, por otra parte, y teniendo en cuenta la relación de suma entre los vectores de los lados del triángulo, $\langle \overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AB}\rangle=\langle \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\,,\, \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\rangle = \langle \overrightarrow{BC}\,,\,\overrightarrow{BC}\rangle+\langle \overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{BC}\rangle + \langle \overrightarrow{BC}\,,\,\overrightarrow{CA}\rangle + \langle \overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{CA}\rangle=$
$=\langle \overrightarrow{BC}\,,\,\overrightarrow{BC}\rangle+\langle \overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{BC}\rangle + \langle \overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{BC}\rangle + \langle \overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{CA}\rangle=$
$=\langle \overrightarrow{BC}\,,\,\overrightarrow{BC}\rangle+2\,\langle \overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{BC}\rangle + \langle \overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{CA}\rangle$
Entonces,
$\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2=\left\| \overrightarrow{BC} \right\|^2 + 2\,\left\| \overrightarrow{CA} \right\|\cdot \left\| \overrightarrow{BC} \right\|\,\cos\,\left(\angle(\overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{BC})\right) + \left\| \overrightarrow{CA} \right\|^2$, y teniendo en cuenta que $\angle(\overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{BC})=\pi - \widehat{BCA}$, se tiene que $\cos\,\left(\angle(\overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{BC})\right)=\cos\,(\pi- \widehat{BCA})=-\cos\,\widehat{BCA}$; y teniendo en cuenta que, de acuerdo con el convenio de notación que he utilizado, $\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2=c^2$, $\left\| \overrightarrow{BC} \right\|^2=a^2$ y $ \left\| \overrightarrow{CA} \right\|^2=b^2$, se llega finalmente a $$ c^2=a^2+b^2-2ab\,\cos(\widehat{BCA}) $$

Nota:
Procediendo de manera análoga, y eligiendo cada uno de los otros dos lados vectores se deduce, también, que $a^2=b^2+c^2-2ac\,\cos(\widehat{CAB})$ y $b^2=a^2+c^2-2ac\,\cos(\widehat{ABC})$

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Un caso de un sistema de ecuaciones no lineales y su resolución

En este artículo voy a resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineales: $$\left\{\begin{matrix}x^2-y=1 \\-x+y^2=1\end{matrix}\right.$$

Enumero las ecuaciones para referirme a ellas en la explicación de los pasos de resolución:

$\left\{\begin{matrix}x^2-y=1 & (1)\\-x+y^2=1 & (2)\end{matrix}\right.$
Restando miembro a miembro $(2)$ de $(1)$,
  $x^2-y^2-y+x=0$
    $(x-y)(x+y)+(x-y)=0$
      $(x-y)\left((x+y)+1\right)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-y=0 \Rightarrow x=y & (3) \\ x+y+1=0 \Rightarrow x+y=-1 & (4)\end{matrix}\right.$
Sumando miembro a miembro $(2)$ y $(1)$,
  $(x^2+y^2)-(x+y)=2$
    $\left((x+y)^2-2xy\right)-(x+y)=2 \quad (5)$

De $(3)$ y $(5)$ se obtiene:
  $\left((2x)^2-2x^2\right)-2x=2$
    $4x^2-2x^2-2x=2$
      $2x^2-2x-2=0$
        $x^2-x-1=0 \Rightarrow x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-1)}}{2\cdot 1}=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
Sacamos pues de ahí dos pares $(x,y)$ de la solución: $\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$ y $\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2},\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)$

Por otra parte, de $(4)$ y $(5)$ llegamos a:
  $\left((-1)^2-2xy\right)-(-1)=2$
    $1-2xy+1=2$
      $2-2xy=2$
        $-2xy=0$
          $xy=0 \quad (6)$
Ahora bien, como $x+y+1=0$ (ecuación $(4)$), multiplicando por $x$ en cada miembro, podemos escribirla de la forma $x^2+xy+x=0$, pero teniendo en cuenta $(6)$ se tiene que $x^2+x=0$, esto es,
  $x\,(x+1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 \overset{(4)}{\Rightarrow} 0+y=-1 \Rightarrow y=-1 \\ x+1=0 \Rightarrow x=-1 \overset{(4)}{\Rightarrow} -1+y=-1 \Rightarrow y=0 \end{matrix}\right.$
Así que, de ahí, aparecen otros dos pares más $(x,y)$ de la solución: $\left(0,-1\right)$ y $\left(-1,0\right)$. $\diamond$

Parámetros de las funciones circulares (sinusoidales)

Una función sinusoidal (o circular) es una función del tipo $y=a\,\sin\,(b\,x+c) \quad (1)$, (o, lo que es lo mismo: $f(x)=a\,\sin\,b\,x+c)$), donde $|a|$ es la amplitud (expresada en las mismas unidades que $y$) y representa la altura (medida en el eje de ordenadas) entre un nodo y el máximo o el mínimo que está inmediatamente a la izquierda o a la derecha de dicho nodo.

Aquí, sin pérdida de generalidad, he elegido $x$ como la variable tiempo (expresado en segundos) para facilitar el hacernos una idea física más tangible, pero podría representar cualquier otra magnitud; así pues, reescribo la función de la forma $f(t)=a\,\sin\,(\omega\,t+\theta)$ o si se prefiere $y=a\,\sin\,(\omega\,t+\theta)$, por lo que $\omega$ es lo que llamamos pulsación (expresada en $\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$). Y, por lo que se refiere al parámetro $\theta$, éste representa el ángulo de fase (exprersado en $\text{rad}$).

Ejemplo:

Consideremos la función circular dependiente del tiempo $y=-\cos\,\dfrac{2\,\pi\,\,t}{3}$. Determinemos la amplitud, la pulsación, la frecuencia, el periodo, y el ángulo de fase de dicha función sinusoidal. Recordemos que la relación entre la pulsación $\omega$ y el periodo $T$ es $\omega=2\,\pi\,f=\dfrac{2\,\pi}{T}$. Recordemos también que la relación entre el periodo y la frecuencia es $T=\dfrac{1}{f}$, donde la frecuencia $f$ (número de ciclos por segundo) se expresa en $\text{s}^{-1}$ (o hertz, abreviado $\text{Hz}$).

Demos la forma apropiada, asemejándola a $(1)$, de manera que sea (equivalente) a la función propuesta, para identificar así el valor de los parámetros pedidos:
  $y=-\cos\,\dfrac{2\,\pi\,\,t}{3}=(-1)\cdot \sin\,\left(\dfrac{2\,\pi}{3}\,t+\dfrac{\pi}{2}\right)$ (la función coseno está desfasada $\pi/2$ con respecto de la función seno, teniendo la misma forma), luego $\theta=\dfrac{\pi}{2}\, \text{rad}$, $a=|-1|=1\,\text{u.a.y.}$ (unidades arbitrarias de $y$), $\omega=\dfrac{2\,\pi}{3}\,\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$; $T=\dfrac{2\,\pi}{2\,\pi/3}=3\,\text{s}$, $f=\dfrac{1}{3}\,\text{s}^{-1}$, es decir, $f=\dfrac{1}{3}\,\text{Hz}$.

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Comentario:
En la siguiente figura se muestra un trozo de la gráfica de la función, que se extiende, para $t$ de $-\infty$ a $+\infty$, a lo largo del eje de abscisas, repitiéndose el motivo periódico que se aprecia entre dos máximos consecutivos:

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Acerca de la existencia de la función inversa de una función cuadrática

¿Por qué se puede afirmar que la función cuadrática $f(x)=x^2\, \forall x\in \mathbb{R}$ no tiene función inversa?

Una función tiene función inversa si y sólo si es biyectiva; es decir, debe ser inyectiva y sobreyectiva. Si bien la función $x^2$ es sobreyectiva, entendiendo que su recorrido (conjunto de valores imagen) es la semirrecta de los números reales $[0,+\infty)$, no es sin embargo inyectiva, puesto que para un mismo valor de la variable dependiente encontramos dos valores distintos (salvo en el punto máximo/mínimo) de la variable independiente, un valor positivo y su opuesto; por consiguiente, dicha función cuadrática no es biyectiva, luego rigurosamente se puede afirmar que las funciones cuadráticas no tienen asociadas funciones inversas.

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Observación importante:
Para que la función cuadrática $f(x)=x^2$ tuviese inversa, deberíamos redefinir su dominio de existencia para que fuese inyectiva de tal manera que éste fuese o bien $[0,+\infty)$, y en tal caso la función recíproca asociada es $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$; o bien de tal modo que el dominio fuese $(-\infty,0]$, en cuyo caso la función recíproca sería entonces, $f^{-1}(x)=-\sqrt{x}$. Recordemos que el recorrido de la función raíz cuadrada es, por convenio, el conjunto de los números no negativos (1). Ésto permite afirmar que, por ejemplo, para $f(x)=4$, se tiene que su antiimagen, por (1), es $f^{-1}(4)=2$, ya que la imagen de $2$ es $2^2=4$.

Nótese que, si conviniésemos que el recorrido de la raíz cuadrada fuese el conjunto de los números no positivos —que no es lo habitual—, entonces diríamos que $f^{-1}(4)=-2$, ya que la imagen de $-2$, de acuerdo a este otro convenio (no usual), es también $4$, pues $(-2)^2=4$.

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Un ejemplo de cálculo de funciones derivadas. Derivada de la función $f(x)=x^x$, definida en $0 \lt x \lt +\infty$

A efectos prácticos, escribamos la función de la forma: $y=x^x$, entendiendo bien que $y\equiv f(x)$. Tengamos claro que el dominio de definición de la función en el que trabajaremos es la semirrecta de los números reales $(0,+\infty)$. Sacando logaritmos neperianos en cada miembro:
  $\ln\,y =\ln\,x^x$, esto es, $\ln\,y=x\,\ln\,x$, y derivando en cada miembro con respecto de $x$ (la variable independiente de la función) se tiene que:
    $(\ln\,y)' =(x\,\ln\,x)'$
      $\dfrac{1}{y}\,y' =(x)'\,\ln\,x+x\,(\ln\,x)'$
        $\dfrac{1}{y}\,y' =1\cdot \ln\,x+x\,\dfrac{1}{x}$
          $\dfrac{1}{y}\,y' =\ln\,x+1$
            $y' =(\ln\,x+1)\,y$
              $y' =(\ln\,x+1)\,x^x$
que también podemos expresar de la siguiente forma (notación):
                $f'(x) =(\ln\,x+1)\,x^x$

Cuestión:
¿Para qué valor (o valores) de $x$ se anula la función derivada? ¿Qué comportamiento tiene la función $f(x)=x^x$ a la izquierda de dicho valor (crece o decrece)? ¿Y a la derecha del mismo?

Impongamos que $f'(x)=0$. Entonces,
  $(\ln\,x+1)\,x^x=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^x=0\,\text{no tiene solución, puesto que}\, \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}x^x=1\gt 0\,,\, \text{y}\, x^x\gt 0 \,\forall x\neq 0\\ \text{o bien} \\ 1+\ln\,x=0 \Rightarrow \ln\,x=-1 \Rightarrow x=e^{-1}=\dfrac{1}{e} \end{matrix}\right.$
Puede comprobarse que $f'(x)\lt 0$ para $x\lt \dfrac{1}{e}\approx 0,36$ y $f'(x)\gt 0$ para $x\gt \dfrac{1}{e}$, luego la función es monótonamente decreciente a la izquierda de dicho punto y monótonamente creciente a la derecha del mismo, lo cual puede comprobarse gráficamente en la siguiente imagen:

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Otro ejemplo de resolución de una ecuación no polinómica: $x^x=x$

En este artículo voy a hablar de la ecuación $x^x=x$ por lo que se refiere a su solución en el conjunto de los números reales positivos

Veremos a continuación que hay sólo valor real en la solución, que, en particular, es un número entero:
  $x^x=x$
    $x^x\,x^{-1}=1$
      $x^{x-1}=1$
        $x^{x-1}=x^0 \Leftrightarrow x=1\,,\text{siendo}\,x\gt 0$

En la figura se muestra gráficamente la solución: la abscisa del (único) punto de intersección (en color rojo) entre la función $f(x)=x^x$ (miembro izquierdo de la ecuación, en color azul) y la función $g(x)=x$ (miembro derecho, en color naranja):

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Observación:
Notemos que, de interesarnos, además de por la soluciones positivas, también por las soluciones negativas, $-1$ satisface la ecuación; en efecto el valor numérico para el primer miembro de la ecuación es $(-1)^{-1}=\dfrac{1}{(-1)^1}=\dfrac{1}{-1}=-1$, que es igual al valor del segundo miembro.

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Otro ejemplo en el que se determinan los valores enteros de una ecuación con términos exponenciales

Para profundizar un poco en lo que trataba en el ejercicio de la entrada precedente, con la resolución de este ejercicio, me propongo mostrar cómo calcular los valores enteros que forman parte de la soloución de la ecuación $$2^x=x^2$$

Procedo de la misma manera que en el ejercicio anterior:
  $2^x=x^2$
    $\ln\,2^x=\ln\,x^2$
      $x\,\ln\,2=2\,\ln\,x$
        $\dfrac{x\,\ln\,2}{(\ln\,x)\,(\ln\,2)}=\dfrac{2\,\ln\,x}{(\ln\,x)\,(\ln\,2)}$
          $\dfrac{x}{\ln\,x}=\dfrac{2}{\ln\,2}$
Es clar que de ahí se sigue que un valor entero de la solución es $x_1=2$; pero, ojo, porqué no es el único: en efecto, démonos cuenta de que $\dfrac{2}{\ln\,2}=\dfrac{2\cdot 2}{2\,\ln\,2}=\dfrac{2^2}{\ln\,2^2}=\dfrac{4}{4}$, luego el primer miembro de la última línea en el desarrollo de la ecuación, $\dfrac{x}{\ln\,x}$, también es igual a $\dfrac{4}{\ln\,4}$, en consecuencia, otro valor entero de la solución es $x_2=4$. Fácilmente se puede comprobar que no hay más números enteros que cumplan esta condición; desde luego, no pueden ser números negativos ni cero, puesto que el logaritmo no está definido para ellos; y, por otro lado, para otros enteros positivos ya se ve que $\dfrac{x}{\ln\,x}\neq \dfrac{n}{\ln\,n}\, \forall\, n\gt 4$. Así pues, los valores enteros de la solución de la ecuación pedida son $2$ y $4$.

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Observación:
Como puede verse en la siguiente figura

las gráficas de las funciones de ambos miembros de la igualdad, $f(x)=2^x$ (en color azul) y $g(x)=x^2$ (en color naranja), muestran que hay tres valores, y no sólo dos (en el conjunto de los números reales) que constituyen la solución al completo de la ecuación (las gráficas se intersecan en tres puntos); dos de ellos, las abscisas de los puntos de intersección que son números enteros, los he encontrado fácilmente, sin embargo, el tercero, que es algo mayor que $-1$, es un número no entero, el cual no pretendo ahora determinarlo, por su mayor complicación.

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Investigando la solución de una ecuación con términos exponenciales. Cálculo de una parte de la solución (la más sencilla)

En este ejercicio me propongo investigar la ecuación $$3^x=x^3$$

Para visualizar la solución, dibujaré las gráficas de las funciones de los dos miembros de la igualdad: la función exponencial $f(x):=3^x$ (en color azul) y la función polinómica $g(x)=x^3$ (en color naranja); así, podré saber en cuántos puntos se intersecan sus trazos: las abcisas de los puntos de intersección son los valores solución de la ecuación (por supuesto, en el conjunto de los números reales). Para realizar las gráficas he utilizado la utilidad WolframAlpha.

Me doy cuenta de que las gráficas de las dos funciones se intersecan en dos puntos, luego la solución de la ecuación consta de dos valores reales: uno de ellos es un número entero, y el otro es un número no entero.

Como váis a ver enseguida es sencillo encontrar el valor entero, que es $3$, según lo que se vé en las gráficas (la abscisa del punto rojo de la derecha); sin embargo, el valor no entero (la abscisa del punto rojo de la izquierda), ya no será tan fácil calcularlo, si bien, de manera automática, el asistente que he utilizado indica en el diagrama su valor aproximado.

Omitiré en este artículo el cálculo del valor de la izquierda (que no corresponde a un número entero), y me centraré en el valor entero de la solución:
$3^x=x^3$
  $\ln\,3^x=\ln\,x^3$
    $x\,\ln\,3=3\,\ln\,x$
      $\dfrac{x\,\ln\,3}{(\ln\,x)\,(\ln\,3)}=\dfrac{3\,\ln\,x}{(\ln\,x)\,(\ln\,3)}$
        $\dfrac{x}{\ln\,x}=\dfrac{3}{\ln\,3} \Rightarrow x=3$
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Ecuaciones con términos exponenciales con una incógnita. Uso de los logaritmos para despejar la incógnita

Para resolver esta otra ecuación (con términos exponenciales) $$2^x=5\,(3^x)$$ que es muy parecida a la de la entra precedente de este blog, ya necesitaremos algo más que en aquella:

Veámoslo:
$2^x=5\,(3^x)$
  $\dfrac{2^x}{3^x}=5\,\left(\dfrac{3^x}{3^x}\right)$
    $\dfrac{2^x}{3^x}=5$
      $\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=5$
        $\ln\,\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=\ln\,5$
          $x\,\ln\,\left(\dfrac{2}{3}\right)=\ln\,5$
            $x\,\ln\,\left(\dfrac{2}{3}\right)=\ln\,5$
              $x=\dfrac{\ln\,5}{\ln\,\left(\dfrac{2}{3}\right)}$
                $x=\ln_{\frac{2}{3}}\,5$

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Una ecuación con términos exponenciales muy sencilla

Voy a mostrar en esta breve entrada del blog cómo resolver la ecuación (con términos exponenciales) $$2^x=3^x$$

Comencemos:
$2^x=3^x$
  $\dfrac{2^x}{3^x}=\dfrac{3^x}{3^x}$
    $\dfrac{2^x}{3^x}=1$
      $\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=1$
        $\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=\left(\dfrac{2}{3}\right)^0 \Leftrightarrow x=0$

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Un cálculo sin calculadora

En este ejercicio de cálculo: $2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^{18}$, se pide que se calcule el resultado sin ayuda de la calculadora científica. Daros cuenta de que, en otras palabras, se pide el resultado de la suma de los $18$ primeros términos de una sucesión geométrica de razón igual a $2$ y primer término igual a $1$. Como bien sabréis, la suma de los $n$ primeros términos consecutivos de una sucesión geométrica de razón $r$ y primer término igual a $a_1$ es, $S_n=a_1\,\dfrac{r^n\,-1}{r-1}$, y, en nuestro caso, $a_1=1$, $r=2$ y $n=18$; dicha suma es pues igual $\dfrac{2^{18}-1}{2-1}=2^{18}-1$. La propuesta de calcular esta cantidad sin la ayuda de la calculadora apareció en una Olimpiada Matemática. Como veréis, con paciencia, y poco a poco, escribiendo los pasos, podemos llegar al resultado final, sin necesidad de la ayuda de la calculadora. ¿Te animas a probar a hacer cálculos similares?

$2^{18}-1=$
  $=(2^9)^2-1^2$
    $=\left(2^9-1\right)(2^9+1)$
      $=\left(512-1\right)(512+1)$
        $=511\cdot 513$
          $=(500+11)\cdot (500+13)$
            $=500^2+500\,(11+13)+11\cdot 13$
              $=250\,000+500\cdot 24+(10+1)(10+3)$
                $=250\,000+500\cdot (20+4)+(10+1)(10+3)$
                  $=250\,000+500\cdot 20+500\cdot 4+10^2+10(1+3)+1\cdot 3$
                    $=250\,000+10\,000+2\,000+100+40+3$
                      $=262\,143$
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Raíces reales y complejas de un polinomio

En el siguiente ejercicio voy a calcular todas las raíces (ya sean reales o complejas) del polinomio $P(x):=x^6-(x-1)^6$, siendo $x \in \mathbb{R}$. Observemos que, al imponer la condición necesaria de existencia de raíces de un polinomio, nos encontramos con la siguiente ecuación: $x^6-(x-1)^6=0$, siendo en realidad una ecuación polinómica de grado igual a $5$, pues vemos que, al esbozar el desarrollo de la potencia del binomio, los términos de grado $6$ se anulan; por lo que, de acuerdo con el teorema fundamental del álgebra, deberemos encontrar exactamente cinco soluciones (contando las multiplicidades de cada una de ellas), ya sean éstas reales o complejas. En otros ejercicios de esta índole se suele proceder a buscar las raíces racionales (si las hubiese) de la manera que ya se ya estudiado con anterioridad, y a medida que se encuentren, se va aplicando paso a paso el teorema del factor; sin embargo, algunos ejercicios como éste se prestan a utilizar algunas identidades notables para reescribir el primer miembro como producto de factores sin tener que calcular las raíces del polinomio, que por otra parte, se pueden calcular finalmente, éstas son la solución de la ecuación.

En este caso, las identidades que nos serán de utilidad son $a^2-b^2=(a+b)(a-b) \quad (1)$, $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2 \mp ab+b^2)\quad (2)$.

Vayamos jugando un poco con el álgebra:
  $x^6-(x-1)^6=0$
    $(x^3)^2-\left((x-1)^3\right)^2=0$
      $\left(x^3-(x-1)^3\right)\left(x^3+(x-1)^3\right)\overset{(1)}{=}0$
        $(x-(x-1)) (x^2+x(x-1)+(x-1)^2) (x+(x-1)) (x^2-x(x-1)+(x-1)^2)\overset{(2)}{=}0$
          $1\cdot (3x^2-3x+1)(2x-1)(x^2-x+1)=0 \Leftrightarrow$
            $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3x^2-3x+1=0 \Leftrightarrow x= \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 3\cdot 1}}{2\cdot 3}=\dfrac{3\pm i\sqrt{3}}{6} \in \mathbb{C}\\ 2x-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2} \in \mathbb{R} \\ x^2-x+1=0 \Leftrightarrow x= \dfrac{-(-1) \pm i\,\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1\pm i\sqrt{3}}{2} \in \mathbb{C} \end{matrix} \right.$
Éstas son pues las cinco raíces del polinomio pedido: $$\{\dfrac{1}{2}, \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1 - i\sqrt{3}}{2}, \dfrac{3 + i\sqrt{3}}{6}, \dfrac{3 - i\sqrt{3}}{6} \}$$ $\diamond$

Hablemos de cinemática

En cinemática, se define la rapidez (o celeridad) media en un intervalo de tiempo $[t_1,t_2]$, como el cociente $\dfrac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1}$ (llamado también cociente incremental), siendo $s(t)$ la distancia a un origen del sistema referencia predeterminado (elegido). En este ejemplo, voy a calcular la rapidez media de un móvil cuya distancia a un reflector de radar (origen del sistema de referencia) se sabe que viene dada por la función $s(t)=4\,\sqrt{t^3}$, entre los instantes de tiempo $t_1=10\,\text{s}$ y $t_2=15\,\text{s}$

De acuerdo con la definición, la rapidez entre dichos instantes de tiempo es igual a $=\dfrac{4\,\sqrt{15^3}-4\,\sqrt{10^3}}{15-10} \approx 21\, \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Para hacernos una idea más «automovilística» serían aproximadamente $76\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$

Observación:
Si el incremento de tiempo del cociente lo hiciésemos cada vez más pequeño, hasta hacerlo tender a cero, a la vez que el incremento $\Delta\,s$ se hace también más pequeño, llegaríamos (en el límite) al concepto de celeridad instantánea, que en el caso de un movimiento rectilíneo no sería más que la velocidad instantánea (la velocidad en un instante $t$); y, en el caso de un movimiento no rectilíneo, deberíamos extender esa idea teniendo en cuenta el caracter vectorial de $\vec{s}$. De esta forma, podríamos hablar ya de velocidad media en el intervalo $[t_1,t_2]$: $\vec{v}_m:=\dfrac{\vec{s}(t_2)-\vec{s}(t_1)}{t_2-t_1}$ y de velocidad instantánea (en un instante $t$, donde $t_1 \le t \le t_2$): $\displaystyle \vec{v}(t):=\dfrac{\vec{s}(t)-\vec{s}(t_1)}{t-t_1}$

Otro ejercicio de resolución de ecuaciones polinómicas

$x^4=(x-1)^4$
  $x^4-(x-1)^4=0$
    $(x^2)^2-\left((x-1)^2\right)^2=0$, y como la suma por la diferencia de dos términos es igual a la diferencia de los cuadrados de los mismos (identidad):
      $\left(x^2-(x-1)^2\right)\,\left(x^2+(x-1)^2\right)=0$
        $(x^2-x^2+2x-1)\,(x^2+x^2-2x+1)=0$
          $2x-1)\,(2\,x^2-2x+1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\\ x^2-2x+1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}=\dfrac{2\pm i\sqrt{2}}{2}=1\pm i\end{matrix}\right.$
La solución consta pues de un valor real, $\dfrac{1}{2}$, y de dos valores complejos: $1-i$ y $1+i$.

-oOo- Nota:
  Las soluciones de la ecuación polinómica son, por supuesto, las raíces del polinomio $P(x):=x^4-(x-1)^4$. El hecho de que sólo aparezcan tres raíces es debido a que el polinomio $P(x)$ no es de grado cuatro, como podríamos pensar en un primer vistazo, sino de grado tres, pues si lo desarrollásemos en todos sus términos veríamos que los de grado cuatro se anulan, siendo tres el término de mayor grado, de ahí que aparezcan exactamente tres raíces (teorema fundamental del álgebra TFD: Todo polinomio no nulo, de una sola variable, de grado $n$ con coeficientes complejos (en particular, desde luego, pueden ser reales) tiene exactamente $n$ raíces complejas, contabilizando las multiplicidades de cada una de ellas). $\diamond$

Ejemplo de un polinomio que no tiene raíces

¿Cómo se puede justificar la afirmación de que el polinomio $P(x)=x^2+x+1$ no tiene raíces y que por tanto es un polinomio primo, sin recurrir a dibujar la gráfica del mismo?

Veamos que signo toma el polinomio sea cuál sea el valor de la variable independiente. Si $x\gt 0$, es evidente que $P(x)>0$; en el caso de que $x=0$, $P(0)=0+1\gt 0$; y, si $x\lt 0$, es claro que $x^2+x\gt 0$, pues de ser $|x|\gt 1$, $x^2\gt |x|$, con lo cual $x^2+x\gt 0$ y por tanto $x^2+x+1\gt 0$, y si $|x|\lt 1$, $x^2\lt |x|$ y por tanto $-1\lt x^2+x \lt 0$, luego $x^2+x+1\gt 0$. En consecuecia, el valor del polinomio es positivo para todo valor de $x$, luego no existe ningún valor de $x$ para el que el polinomio se anule, es decir, no tiene raíces, luego es un polinomio primo. $\diamond$

Un ejercicio con logaritmos

Como ejercicio de manejo algebraico con las propiedades de las potencias, los logaritmos, y las bases de los mismos, en este artículo voy a demostrar que la única solución real de la ecuación $25^{2x}=50$ es $\dfrac{1}{2}+\log_{25}\,\sqrt{2}$; y, finalmente, a partir de esta expresión exacta de la solución, calcularé una aproximación decimal de la misma, redondeando a la cuarta cifra decimal.

$25^{2x}=50$
  $\log_{25}\,25^{2x}=\log_{25}\,50$
    $\log_{25}\,25^{2x}=\log_{25}\,(25\cdot 2)$
      $2x\,\log_{25}\,25=\log_{25}\,25+\log_{25}\,2$
        $(2x)\cdot 1=1+\log_{25}\,2$
          $2x=1+\log_{25}\,2$
            $x=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \log_{25}\,2$
              $x=\dfrac{1}{2}+\log_{25}\,(2)^{\frac{1}{2}}$
                $x=\dfrac{1}{2}+\log_{25}\,\sqrt{2}$
Llegados a este punto (la primera parte ya está resuelta), conviene expresar el logaritmo de base $25$ en función de un logaritmo cuya base esté en nuestra calculadora científica básica (se supone que solamente tenemos a nuestra disposición el logaritmo neperiano y el logaritmo decimal); por ejemplo, el logaritmo neperiano; para ello, démonos cuenta de que (cambio de base logarítmica) $\log_{25}\,\sqrt{2}=\dfrac{\ln\,\sqrt{2}}{\ln\,25}$, por consiguiente:
$$x=\dfrac{1}{2}+\log_{25}\,\sqrt{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\ln\,\sqrt{2}}{\ln\,25}\overset{\text{calculadora científica}}{\approx} 0,6077$$ $\diamond$

Un ejercicio de aplicación sobre rectas en el plano: deducción de las fórmulas para convertir una temperatura expresada en grados Celsius a la correpondiente temperatura expresada en grados Fahrenheit

En este artículo, y a modo de ejercicio de aplicación sobre (rectas en el plano), voy a ver qué relación hay entre estas dos escalas de temperatura. Para ello, y teniendo en cuenta que la relación entre las dos es de proporcionalidad, basta con tener en cuenta dos puntos, el de congelación y el de ebullición del agua (en condiciones normales de presión atmosférica): la temperatura de congelación del agua es de $0^\circ\,\text{C}$, que corresponde a $32^\circ\,\text{F}$, y el de ebullición es de $100^\circ\,\text{C}$, que corresponde a $212^\circ\,\text{F}$.

He representado gráficamente estos dos puntos, $A(0,21)$ y $B(100,212)$, y he dibujado la recta que pasa por sendos puntos (existe proporcionalidad entre una escala y otra) en la gráfica de la Fig. 1

Hecho ésto, bastará ahora determinar la ecuación de dicha recta. Para ello, designaré la variable independiente cuyos valores se representan en el eje de abscisas por $x$ (temperaturas expresadas en grados Celsius), y la variable dependiente por $y$ (temperaturas expresadas en grados Fahrenheit), cuyos valores se representan en el eje de ordenadas. Escribiré directamente la ecuación de la recta en forma continua, y, a partir de ésta, se podrá despejar una u otra variable, según convenga. Siendo $P(x,y)$ un punto genérico de la recta, podemos pues escribir: $$\dfrac{x-0}{100-0}=\dfrac{y-32}{212-32}$$ que, simplificando, es lo mismo que $$\dfrac{x}{5}=\dfrac{y-32}{9}$$

Así que, despejando $y$, se llega a $$y=\dfrac{9}{5}\,x+32$$ ecuación que podemos emplear para, a partir de la temperatura expresada en grados Celsius, calcular dicha temperatura expresada en grados Fahrenheit, que, para que sea más fácil de manejar, suele emplearse $F$ en lugar de $y$ y $C$ en lugar de $x$: $$F=\dfrac{9}{5}\,C+32 $$

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Observación 1:
De la relación anterior, notemos que para que en la escala Fahrenheit aparezcan valores negativos deberá cumplirse que $\dfrac{9}{5}\,C+32 \lt 0$, esto es, si $C \lt -\dfrac{5}{9}\cdot 32 \approx -18^\circ\,\text{C}$

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Por otra parte, despejando $x$, se llega a $$x=\dfrac{5}{9}\,(y-32)$$ ecuación que podemos emplear para, a partir de la temperatura expresada en grados Fahrenheit, calcular dicha temperatura expresada en grados Celsius, que, para mayor claridad, reescribimos de la forma: $$C=\dfrac{5}{9}\,(F-32) $$

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Observación 2:
De la relación anterior, notemos que para que en la escala Celsius aparezcan valores negativos deberá cumplirse que $\dfrac{5}{9}\,(F-32) \lt 0$, esto es, y como cabe esperar echando un vistazo a la gráfica, si $C \lt 32^\circ\,\text{F}$

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$\diamond$

Ecuaciones que no tienen solución en el conjunto de los números reales, pero que sí la tienen en el conjunto de los números complejos

En el artículo anterior había comentado que la ecuación $1^x=2$ no tiene solución en el conjunto de los números reales. Sin embargo, sí que la tiene en el conjunto de los números complejos, tal y como voy a mostrar a continuación.

Notemos que, de acuerdo con la fórmula de Euler, $1=e^{2k\pi\,i} \, \forall\, k\in \mathbb{Z}$. Entonces, la ecuación planteada la podemos escribir de la forma $(e^{2k\pi\,i})^x=2$, esto es, $e^{2k\pi\,x\,i}=2$; así que, extrayendo logaritmos neperianos en ambos miembros, llegamos a $\ln\,\left( e^{2k\pi\,i\,x} \right)=\ln\,2$, de donde $2k\pi\,\,i\,x=\ln\,2$. Y, despejando $x$, se llega a $x=\dfrac{\ln\,2}{2k\pi\,i}=-\dfrac{i\,\ln\,2}{2k\pi}\,\forall,0\neq k\in \mathbb{Z}$; es decir, existe un número infinito de números complejos, con esa estructura, que forman la solución de la ecuación planteada. $\diamond$

Ecuaciones incompatibles en el conjunto de los números reales. Un ejemplo

Preguntémonos si existe algún número real, $x$, para el cual se cumpla la igualdad $1^x=2$. Es decir, nos planteamos resolver dicha ecuación en el conjunto de los números reales. Como vamos a ver enseguida, esta ecuación no tiene solución (es incompatible). Veámoslo:

Observemos que en el primer miembre se tiene que $1^x=1\,\forall\,x\in \mathbb{R}$, pero $1\neq 2$ (segundo miembro de la ecuación), luego la ecuación es incompatible en el conjunto de los números reales. $\diamond$

Una ecuación con términos exponenciales

En este artículo voy a resolver este ejercicio, que consiste en demostrar que la solución de la ecuación $5^x+5^x+5^x=6$ es $x=\log_{5}\,2$

Si bien, bastaría con hacer una comprobación de la supuesta solución (que también voy a hacer al final), voy a resolver la ecuación paso a paso, para ver si llego a esa cantidad, pues creo que, aunque bastaría con dicha comprobación, no desmerece para nada resolver la ecuación. Empecemos:
  $5^x+5^x+5^x=6$
    $5^x\,(1+1+1)=6$
      $3\cdot 5^x=6$
        $3\cdot 5^x=3\cdot 2$
          $5^x=2$
            $\ln\,(5^x)=\ln\,2$
              $x\,\ln\,5=\ln\,2$
                $x=\dfrac{\ln\,2}{\ln\,5}$
                  $x=\log_{5}\,2$

-oOo-

Comprobación:
$5^{\log_{5}\,2}+5^{\log_{5}\,2}+5^{\log_{5}\,2}\overset{?}{=}6$
Veámoslo sustituyendo la solución encontrada en lugar de $x$ en el primer miembro de la ecuación original, para ver si su valor numérico es igual a $6$. En efecto,
  $5^{\log_{5}\,2}\,(1+1+1)=3\cdot 5^{\log_5\,2}=3\cdot 2=6$. $\diamond$

Un ejercicio sobre ecuaciones no polinómico un tanto laborioso, pero muy interesante

En la misma línea que el artículo precedente, vamos a resolver (en el conjunto de los números reales) la siguiente ecuación con términos irracionales: $$x+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}=4$$

En primer lugar, teniendo en cuenta que intervienen raíces cuadradas en los términos algebraicos, tendremos en cuenta el dominio de definición de las mismas: del segundo término del primer miembro vemos que el valor de $x-1$ ha de ser mayor no negativo, esto es, $x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1$; en cuanto al segundo término, $x+1$ también ha de tomar valores no negativos, luego $x\ge -1$; y, por lo que se refiere al tercer término, es claro que sólo podremos aceptar los valores no negativos de la función $x^2-1$, es decir, los que sean menores o iguales que $-1$ y los que sean mayores o iguales que $1$. De todo ello, compatibilizando todos estos requerimientos, deducimos que $x\ge 1$, y por tanto en la solución estará compuesta por valores mayores o iguales que $1$.

Procedamos ahora a realizar las operaciones algebraicas que nos llevarán, poco a poco, a encontrar dicha solución. Sumando $-1$ en cada miembro:
  $x-1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}=4-1$
    $x-1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}=3$
      $x-1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{(x-1)(x+1)}=3$
        $x-1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\,\sqrt{x+1}=3 \quad (1)$
Sumando $1$ en cada miembro:
  $x+1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}=4+1$
    $x+1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}=5$
      $x+1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{(x-1)\,(x+1)}=5$
        $x+1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\,\sqrt{x+1}=5 \quad (2)$
Denotemos, por comodidad de manipulación algebraica: $u:=\sqrt{x-1}$ y $v:=\sqrt{x+1}$, con lo cual, $(1)$ y $(2)$ pueden escribirse de la forma:
      $u^2+u+v+u\,v=3 \quad (1')$
      $v^2+u+v+u\,v=5 \quad (2')$
Restando $(1')$ de $(2')$, miembro a miembro, obtenemos:
      $v^2-u^2=5-3$, esto es,
        $(v-u)\,(v+u)=2 \quad (3)$
Sumando $(1')$ y $(2')$, miembro a miembro, se llega a:
      $v^2-u^2=5-3$, esto es,
        $u^2+v^2+2u+2v+2u\,v=8$
lo que es lo mismo que
        $(u+v)^2-2u\,v+2u+2v+2u\,v=8$
y simplificando,
        $(u+v)^2+2(u+v)-8=0$
Resolviendo esta ecuación cuadrática en la variable $u+v$, con el propósito de hallar las raíces del polinomio del primer miembro y, a partir de las mismas factorizarlo, vemos que
        $u+v=\dfrac{-2\pm \sqrt{4\cdot 1 \cdot (-8)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-2\pm 6}{2}=\left\{\begin{matrix}2\\ -4\end{matrix}\right.$
con lo cual $(u+v)^2+2(u+v)-8=0$ puede escribirse de la forma $(a+b-2)(a+b-(-4))=0 \quad (4)$ y, por tanto, deducimos que $a+b=2 \quad (4')$ ó (no necesariamente exlusivamente) $a+b=-4 \quad (4'')$
Sustituyendo $(4')$ en $(3)$, nos encontramos con que $2\,(v-u)=2$, es decir, $v-u=1$; y teniendo en cuenta qué es lo que denotan $v$ y $u$, podemos escribir:
  $\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=1$
    $\sqrt{x+1}=1+\sqrt{x-1}$
      $(\sqrt{x+1})^2=(1+\sqrt{x-1})^2$
        $x+1=1^2+2\cdot 1 \cdot \sqrt{x-1}+(\sqrt{x-1})^2$
          $x+1=1+2\,\sqrt{x-1}+x-1$
            $1=2\,\sqrt{x-1}$
              $\dfrac{1}{2}=\sqrt{x-1}$
                $(\dfrac{1}{2})^2=(\sqrt{x-1})^2$
                  $\dfrac{1}{4}=x-1$
                    $\dfrac{1}{4}+1=x$
                      $x=\dfrac{5}{4}$, que, como puede verse, es mayor que $1$, tal como debe ser; ya tenemos pues un valor de la solución, $x=\dfrac{5}{4}$, pero podría haber más. Veámoslo:
Sustituyendo $(4'')$ en $(3)$, nos encontramos con que $-4\,(v-u)=2$, luego $v-u=-\dfrac{1}{2}$; y, como hemos hecho antes, teniendo en cuenta qué es lo que denotan $v$ y $u$:
  $\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=-\dfrac{1}{2}$
    $\sqrt{x+1}=\sqrt{x-1}-\dfrac{1}{2}$
      $(\sqrt{x+1})^2=(\sqrt{x-1}-\dfrac{1}{2})^2$
        $x+1=(\sqrt{x-1})^2-2\cdot \dfrac{1}{2}\,\sqrt{x-1}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$
          $x+1=x-1-\sqrt{x-1}+\dfrac{1}{4}$
            $2-\dfrac{1}{4}=-\sqrt{x-1}$
              $\dfrac{7}{4}=-\sqrt{x-1}$, con lo cual $0 \le \sqrt{x-1}=-\dfrac{7}{4} \le 0$, luego ésto, que es lo que quedaba por hacer, vemos que no conduce a ningún otro valor de la solución.
---

En conclusión: la solución de la ecuación original consta de un único valor: $\dfrac{5}{4}$. $\diamond$

Sobre la necesidad de comprobar los valores obtenidos en la resolución de una ecuación con términos no polinómicos

En las ecuaciones con términos no polinómicos, como la del ejemplo que nos ocupa en este artículo, deberemos hacer las transformaciones algebraicas necesarias para llegar a una ecuación polinómica, que, en principio, supondremos que sabemos resolver; sin embargo, bien pudiera ser que no todos los valores solución de dicha ecuación a la que hemos ido a parar sean también valores solución de la ecuación original. Por tal motivo, siempre deberemos comprobar los valores solución de la ecuación polinómica que resolvamos, sustituyéndolos en la ecuación original para ver si se cumple la igualdad numérica correspondiente. Lo siguiente es un claro ejemplo:

$x+\sqrt{x-1}=1$
  $x-1+\sqrt{x-1}=1-1$
    $x-1+\sqrt{x-1}=0$
      Denotemos $a:=\sqrt{x-1}$, con lo cual $x-1=a^2$. Entonces,
        $a^2+a=0$
          $a\,(a+1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=0 \Rightarrow \sqrt{x-1}=0 \Leftrightarrow x_1=1 \\ a=-1 \Rightarrow \sqrt{x-1}=-1 \Leftrightarrow \left(\sqrt{x-1}\right)^2=(-1)^2 \Leftrightarrow x-1=1 \Leftrightarrow x_2=2 \end{matrix}\right.$
Vemos pues que la ecuación polinómica que hemos obtenido al hacer las transformaciones algebraicas consta de dos valores en su solución: $x_1=1$ y $x_2=2$. Veamos ahora &madash;paso importantísimo— si también son solución de la ecuación original:

Probemos con $x_1=1$:
  $1+\sqrt{1-1}\overset{?}{=}1$
    $1+\sqrt{0}\overset{?}{=}1$
      $1+0\overset{?}{=}1$
Como el valor del primer miembro es $1$, que coincide con el del segundo miembro, podemos afirmar que $1$ forma parte de la solución de la ecuación original $x+\sqrt{x-1}=1$.

Probemos ahora con $x_1=2$:
  $1+\sqrt{2-1}\overset{?}{=}1$
    $1+\sqrt{1}\overset{?}{=}1$
      $1+1\neq 1$
Cláramente, el valor del primer miembro, que es $2$, no coincide con eel valor del segundo miembro, que es $1$; por consiguiente, podemos afirmar que $2$ no forma parte de la solución de la ecuación original $x+\sqrt{x-1}=1$.

En conclusión: la solución de la ecuación original consta de un único valor: $1$. $\diamond$

Soluciones reales y complejas de ciertas ecuaciones polinómicas. Raíces reales y complejas de un polinomio

En este ejercicio, similar al anterior, nos proponemos encontrar todos los valores, reales o complejos, que componen la solución: $$(x-1)^3=-1$$

Recordemos que nuestro objetivo es escribir la ecuación original de manera que en un miembro tengamos un polinomio factorizado y en el otro miembro cero; de esta manera, pretendemos encontrar las raíces de dicho polinomio de una manera secilla. Dichas raíces son las soluciones de la ecuación planteada. Para facilitar la factorización, también en este ejercicio utilizaremos identidades notables; en concreto, $a^3+b^3=(a+b)\,(a^2-ab+b^2) \quad (1)$, que, como veremos, se adecúa al tipo de situación con la que nos encontraremos.

$(x-1)^3=-1$
  $(x-1)^3+1=0$
    $(x-1)^3+1^3=0$
    Empleando la identidad $(1)$, con $a:=x-1$ y $b:=1$, podemos escribir:
      $\left((x-1)+1\right)\,\left((x-1)^2-1\cdot (x-1)+1^2 \right)=0$
        $x\,(x^2-3x+3)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x=0 \\ x^2-3x+3=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2\cdot 1}=\dfrac{3\pm i\,\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right.$
Así pues, la solución se compone de un valor real y dos valores complejos: $$\{0, \dfrac{3- i\,\sqrt{3}}{2}, \dfrac{3 + i\,\sqrt{3}}{2}\}$$ $\diamond$

Una ecuación polinómica de grado $3$

Veamos cómo resolver la siguiente ecuación polinómica de tercer grado, sin recurrir a encontrar préviamente las raíces del polinomio del primer miebro (para luego factorizar): intentaremos factorizar directamente, valíendonos de algunas identidades notables. La ecuación es la siguiente: $$x^3-x^2+12=0$$

En concreto, las identidades que, como veremos enseguida, se adecúan bien a nuestro objetivo son: $a^3+b^3=(a+b)\,(a^2-ab+b^2) \quad (1)$ y $a^2-b^2=(a-b)\,(a+b) \quad (2)$. Procedamos:

$x^3-x^2+12=0$
  $x^3-x^2+2^3+2^2=0$
    $(x^3+2^3)-(x^2-2^2)=0$
      $\left((x+2)\,(x^2-2x+2^2)\right)-\left((x-2)\,(x+2)\right)=0$ (teniendo en cuenta $(1)$ en el primer término del primer miembro y $(2)$ en el segundo término)
        $(x+2)\,\left( (x^2-2x+2^2)-x+2 \right)=0$
          $(x+2)\,(x^2-3x+6)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+2=0 \Leftrightarrow x=-2 \\ x^2-3x+6=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 6 \cdot 1}}{2\cdot 1}=\dfrac{3\pm i\,\sqrt{15}}{2}\end{matrix}\right.$
Luego la solución se compone de un valor real y dos valores complejos: $$\{-2, \dfrac{3- i\,\sqrt{15}}{2}, \dfrac{3 + i\,\sqrt{15}}{2}\}$$ $\diamond$