Una ecuación que os causará sorpresas

Encaremos el siguiente reto (propio de Olimpiada Matemática), que consiste en intentar resolver la ecuación en el conjunto de los números complejos: $$1^x=2$$

Veamos, primero, que no es posible encontrar soluciones en el conjunto de los números reales. En efecto, podemos interpretar el miembro de la izquierda como la función real de una variable real: $f(x):=1^x=1 \,\forall, x\in \mathbb{R}$; es decir, es la función constante, con todas las ordenadas igual a $1$. Por otra parte, el segundo miembro, $g(x):=2$ es también una función constante, pero con todas las ordenadas igual a $2$. Es claro que las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$ no van a intersecarse, puesto que $1\neq 2$, luego la ecuación no tiene solución en $\mathbb{R}$.

Sin embargo, como enseguida vamos a ver, la ecuación planteada sí tiene solución en el conjunto de los números complejos. Para ello, vamos a recordar la fórmula de Euler: $$e^{i\,\theta}=\cos\,\theta+i\,\sin\,\theta$$ siendo $\theta$ un ángulo en el plano complejo.

Entonces, démonos cuenta de que el $1$ de la base de la potencia $1^x$ del primer miembro puede escribirse de la forma $1=e^{i\,2k\pi}, \text{con}\;k\in \mathbb{Z}$. En consecuencia, la ecuación planteada, $1^x=2$, puede escribirse de la forma $$\displaystyle \left(e^{i\,2k\pi}\right)^x=2\;\,\forall k\in \mathbb{Z}$$ que podemos escribir de la forma $$\displaystyle e^{i\,2k\,\pi\,x}=2\;\,\forall k\in \mathbb{Z}$$ Operando con el logaritmo neperiano en cada miembro, $$\displaystyle \ln\,e^{i\,2k\,\pi\,x}=\ln\,2\;\,\forall k\in \mathbb{Z}$$ y por tanto, $$\displaystyle i\,2k\,\pi\,x \cdot \underset{1}{\underbrace{\ln\,e}}=\ln\,2\;\,\forall k\in \mathbb{Z}$$ en consecuencia, la solución consta de infinitos números complejos, con la siguiente estructura:
$$x=\dfrac{\ln\,2}{2k\,\pi\,i}=\dfrac{i\,\ln\,2}{2k\,\pi\,i^2}=-\dfrac{i\,\ln\,2}{2k\,\pi};\text{donde}\; \mathbb{Z} \ni k \neq 0$$ esto es, $$\displaystyle x\in \left\{ \pm\,\dfrac{i\,\ln\,2}{2\,\pi}, \pm\,\dfrac{i\,\ln\,2}{4\,\pi}, \pm\,\dfrac{i\,\ln\,2}{6\,\pi}, \ldots \right\}$$

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Algunas identidades notables, muy útiles tanto para realizar cálculos numéricos como para facilitar cálculos algebraicos:

Algunas identidades muy útiles a la hora de resolver determinadas ecuaciones (realizando transformaciones convenientes) y, también, para facilitar algunos cálculos numéricos, y que es interesante tener en cuenta por la eficiencia en las tareas, son las siguientes: Siendo $a,b\in \mathbb{R}$, se tiene:

1. $(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2$
2. $(a - b)^2=a^2 - 2ab+b^2$
3. $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
4. $(a+b)^3=a^3+ 3a^{2}b + 3ab^2+b^3$
5. $(a-b)^3=a^3- 3a^{2}b + 3ab^2-b^3$
6. $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
   
7. $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
   

Como decía, gracias al uso de las identidades algebraicas, algunas ecuaciones que imponen un poco por su aspecto, se resuelven con relativa facilidad; a modo de ejemplo, voy a utilizar la identidad [6] de la lista para resolver la siguiente ecuación polinómica: $$x^6+x^4+x^3+x=0$$ que, como vamos a ver, su solución contiene números complejos.

Comencemos:
  $x^6+x^4+x^3+x=0$
    $x\,(x^5+x^3+x^2+1=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 \quad (1)\\ x^5+x^3+x^2+1=0 \quad (2)\end{matrix}\right.$
De $(1)$ ya obtenemos un primer valor para la solución. Ahora, voy a intentar resolver la ecuación que nos ha quedado en $(2)$ para encontrar los otros valores de la solución:
  $x^5+x^3+x^2+1=0$
    $x^3\cdot x^2+x^3+x^2+1=0$
      $x^3\,(x^2+1)+(x^2+1)=0$
        $(x^2+1)\,(x^3+1)=0$
          $(x^2+1)\,(x^3+1^3)=0$
            $(x^2+1)\,(x+1)\,(x^2-1\cdot x^2+1^2)=0 \quad (3)$     (utilizando la identidad [6] para desarrollar el factor $x^2+1^3$)
La igualdad $(3)$ se cumple si y sólo si:
  $\left\{\begin{matrix}x^2+1=0 \Leftrightarrow x^2=-1 \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{-1}=\left\{\begin{matrix}i \quad (4)\\ -i \quad (5)\end{matrix}\right.\\x+1=0 \Leftrightarrow x=-1 \quad (6)\\x^2-x+1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}=\dfrac{1\pm \sqrt{-3}}{2}=\dfrac{1\pm \sqrt{(-1)\cdot 3}}{2}=\dfrac{1\pm i\,\sqrt{3}}{2} \quad (7)\,\text{y}\,(8) \end{matrix}\right.$

Reuniendo los seis valores obtenidos $(1),(4),(5),(6),(7)\,\text{y}\,(8)$ —recordemos que, según el teorema fundamental del álgebra, un polinomio de grado $n$ con coeficientes reales ha de tener $n$ raíces reales complejas (incluyéndose en éstas las reales, esto es, las que su parte imaginaria es cero)—, podemos escribir la solución de la ecuación de sexto grado planteada: $$\displaystyle \left\{0,-1,i,-i,\dfrac{i+i\,\sqrt{3}}{2},\dfrac{i-i\,\sqrt{3}}{2}\right\}$$

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Desigualdades básicas entre los módulos de los números complejos que aparecen al sumarlos o restarlos

No se puede establecer una relación de orden en los números complejos y por tanto no tiene sentido plantearnos si uno es mayor o menor que otro; sin embargo, sí podemos comparar los módulos (se indica el módulo de un número complejo $z$ mediante la notación $|z|$) de los mismos, ya que el módulo de un número complejo es un número real.

Podéis comprobar que, para cualesquiera $z,w\in \mathbb{C}$, las siguientes relaciones son válidas:

1. $|z+w|\le |z|+|w|$ (esta desigualdad se conoce como desigualdad triangular, y es la análoga a la que ya conocéis para la suma de vectores)
2. $|z-w|\le |z|+|w|$
   En estas dos que siguen, el primer y último símbolo $|$ corresponde al valor absoluto del número real (véase (1)) que se obtiene al realizar la diferencia de los módulos de $w$ y $z$, $|z|-|w|\in \mathbb{R}$:
   
3. $|z+w|\ge ||z|-|w||$
4. $|z-w|\ge ||z|-|w||$

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Observación/comentario:

Estas mismas relaciones también son válidas en la recta de los números reales (en la que sí hay definida una relación de orden, y, por tanto puede establecerse la diferencia entre dos números reales cualesquiera $a,b\in \mathbb{R}$). En la versión de estas propiedades para los números reales, hay que tener en cuenta que, ahora, la notación $|.|$ indica siempre la operación valor absoluto: $$|x|:=\left\{\begin{matrix}x & \text{si} & x\ge 0 \\ -x & \text{si} & x\lt 0 \end{matrix}\right.\quad (1)$$

1. $|a+b|\le |a|+|b|$
2. $|a-b|\le |a|+|b|$
3. $|a+b|\ge ||a|-|b||$
4. $|a-b|\ge ||a|-|b||$

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Ecuaciones con soluciones complejas

Me he encontrado con esta ecuación trascendente $$\sqrt{x}+\sqrt{-x}=1$$ Voy a resolverla. Antes de empezar, observemos que $x$ ha de ser distinto de $0$, pues es evidente que de ser ésta $0$ se tendría que $\sqrt{0}+\sqrt{0}=0\neq 1$, que es una contradicción. Por otra parte, si $x\gt 0$, es claro que $\sqrt{x}\in \mathbb{R}$; pero, entonces $-x\lt 0$ y por tanto $\sqrt{-x}\in \mathbb{C}$, luego deberemos buscar la solución en el conjunto de los números complejos, $\mathbb{C}$. Dicho esto, comencemos con los pasos algebraicos necesarios para el despeje de la incógnita $x$.

  $\sqrt{x}=1-\sqrt{-x}$
    $(\sqrt{x})^2=(1-\sqrt{-x})^2$
      $x=1-2\,\sqrt{-x}+(\sqrt{-x})^2$
        $x=1-2\,\sqrt{-x}+(-x)$
          $x-(-x)=1-2\,\sqrt{-x}$
            $2x=1-2\,\sqrt{-x}$
              $2x-1=-2\,\sqrt{-x}$
                $(2x-1)^2=(-2\,\sqrt{-x})^2$
                  $4x^2-2\cdot 2x+1=(-2)^2\,(\sqrt{-x})^2$
                    $4x^2-4x+1=4\,(-x)$
                      $4x^2-4x+1=-4x$
                        $4x^2-4x+4x+1=0$
                          $4x^2=-1$
                            $(2x)^2=-1$
                              $\sqrt{(2x)^2}=\pm\sqrt{-1}$
                                $2x=\pm i$
                                  $x=\pm \dfrac{1}{2}\,i$
Hemos encontrado pues dos valores: $x_1=\dfrac{1}{2}\,i$ y $x_2=-\dfrac{1}{2}\,i$, que, como candidatos a formar parte de la solución, debemos comprobar a continuación.

Comprobación:

El primer valor encontrado, $x_1=\dfrac{1}{2}\,i$, verifica la igualdad pedida. En efecto,
$\sqrt{\dfrac{i}{2}}+\sqrt{-\dfrac{i}{2}}\overset{?}{=}1$
  $\sqrt{\dfrac{e^{i\,\dfrac{\pi}{2}}}{2}}+\sqrt{\dfrac{e^{-i\,\dfrac{\pi}{2}}}{2}}=$
    $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\sqrt{e^{i\,\dfrac{\pi}{2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\sqrt{e^{-i\,\dfrac{\pi}{2}}}$
      $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\left( \left( e^{i\,\dfrac{\pi}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}+\left( e^{-i\,\dfrac{\pi}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} \right)$
        $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\left( e^{i\,\dfrac{\pi}{4}}+e^{-i\,\dfrac{\pi}{4}} \right)$
          $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\left( \left( \cos\,\dfrac{\pi}{4}+i\,\sin\,\dfrac{\pi}{4} \right)+\left( \cos\,\dfrac{-\pi}{4}+i\,\sin\,\dfrac{-\pi}{4} \right) \right)$
            $=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot (2\,\cos\,\dfrac{\pi}{4})$
              $=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot (2\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
                $=1$

Por otra parte, para el segundo valor encontrado, $x_2=-\dfrac{1}{2}\,i$, nos preguntamos si $\sqrt{-\dfrac{i}{2}}+\sqrt{-(-\dfrac{i}{2})}\overset{?}{=}1$. Veamos que así es; en efecto, $\sqrt{-\dfrac{i}{2}}+\sqrt{-(-\dfrac{i}{2})}=\sqrt{-\dfrac{i}{2}}+\sqrt{\dfrac{i}{2}}=\sqrt{\dfrac{i}{2}}+\sqrt{-\dfrac{i}{2}}=1$, tal como acabamos de comprobar para $x_1$.

Por consiguiente, ambos valores encontrados satisfacen la igualdad algebraica planteada (la ecuación), luego los dos forman parte de la solución. $\diamond$