Identidades notables

¿Es cierta la siguiente identidad? Esto es, ¿esta igualdad algebraica es válida para cualquier valor de $a$ y de $b$? $$a^5+b^5 = (a + b) (a^4 - a^3\, b + a^2\, b^2 - a\, b^3 + b^4)$$

Veámoslo multiplicando los dos factores del segundo miembro; si es cierta, el resultado ha de ser igual a la expresión del primer miembro:
  $(a + b) (a^4 - a^3\, b + a^2 \,b^2 - a \,b^3 + b^4)=$
    $a \cdot (a^4 - a^3 \,b + a^2 \, b^2 - a\, b^3 + b^4) + b\cdot (a^4 - a^3 \,b + a^2 \,b^2 - a\, b^3 + b^4)=$
      $a^5 - a^4 b + a^3 \,b^2 - a^2 \, b^3 + a\,b^4 + a^4\,b - a^3\, b^2 + a^2\, b^3 - a\, b^4 + b^5=$
        $a^5 + (a^4 b - a^4\,b) + (a^3\, b^2 - a^3\, b^2) + (a^2\, b^3-a^2\, b^3) + (a\,b^4 - a\,b^4) + b^5=$
          $a^5 + 0+0+0+0 + b^5=$
            $a^5 + b^5$
La identidad propuesta es, por tanto, cierta.

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Nota: Es fácil probar (de manera parecida) que la siguiente identidad también es cierta: $$a^5 - b^5 = (a - b) (a^4 + a^3\, b + a^2\, b^2 + a\, b^3 + b^4)$$

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Importante: Os aconsejo que recordéis estas otras identidades, muy sencillas, y muy útiles a la hora de resolver determinadas ecuaciones (realizando transformaciones convenientes), efectuar simplificaciones, y, también, para facilitar algunos cálculos numéricos, lo cual conviene a veces tenerlas en cuenta para realizarlos de manera eficiente:
Siendo $a,b\in \mathbb{R}$, se tiene:

1. $(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2$
2. $(a - b)^2=a^2 - 2ab+b^2$
3. $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
4. $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2\,(a\,b+b\,c+a\,c)$
   
5. $(a+b)^3=a^3+ 3a^{2}b + 3ab^2+b^3$
6. $(a-b)^3=a^3- 3a^{2}b + 3ab^2-b^3$
7. $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
   
8. $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
   

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Algunas identidades notables, muy útiles tanto para realizar cálculos numéricos como para facilitar cálculos algebraicos:

Algunas identidades muy útiles a la hora de resolver determinadas ecuaciones (realizando transformaciones convenientes) y, también, para facilitar algunos cálculos numéricos, y que es interesante tener en cuenta por la eficiencia en las tareas, son las siguientes: Siendo $a,b\in \mathbb{R}$, se tiene:

1. $(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2$
2. $(a - b)^2=a^2 - 2ab+b^2$
3. $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
4. $(a + b+c)^2=a^2 + b^2 + c^2 + 2\,(ab+bc+ac)$
5. $(a+b)^3=a^3+ 3a^{2}b + 3ab^2+b^3$
6. $(a-b)^3=a^3- 3a^{2}b + 3ab^2-b^3$
7. $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
   
8. $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
   

Como decía, gracias al uso de las identidades algebraicas, algunas ecuaciones que imponen un poco por su aspecto, se resuelven con relativa facilidad; a modo de ejemplo, voy a utilizar la identidad [6] de la lista para resolver la siguiente ecuación polinómica: $$x^6+x^4+x^3+x=0$$ que, como vamos a ver, su solución contiene números complejos.

Comencemos:
  $x^6+x^4+x^3+x=0$
    $x\,(x^5+x^3+x^2+1=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 \quad (1)\\ x^5+x^3+x^2+1=0 \quad (2)\end{matrix}\right.$
De $(1)$ ya obtenemos un primer valor para la solución. Ahora, voy a intentar resolver la ecuación que nos ha quedado en $(2)$ para encontrar los otros valores de la solución:
  $x^5+x^3+x^2+1=0$
    $x^3\cdot x^2+x^3+x^2+1=0$
      $x^3\,(x^2+1)+(x^2+1)=0$
        $(x^2+1)\,(x^3+1)=0$
          $(x^2+1)\,(x^3+1^3)=0$
            $(x^2+1)\,(x+1)\,(x^2-1\cdot x^2+1^2)=0 \quad (3)$     (utilizando la identidad [6] para desarrollar el factor $x^2+1^3$)
La igualdad $(3)$ se cumple si y sólo si:
  $\left\{\begin{matrix}x^2+1=0 \Leftrightarrow x^2=-1 \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{-1}=\left\{\begin{matrix}i \quad (4)\\ -i \quad (5)\end{matrix}\right.\\x+1=0 \Leftrightarrow x=-1 \quad (6)\\x^2-x+1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}=\dfrac{1\pm \sqrt{-3}}{2}=\dfrac{1\pm \sqrt{(-1)\cdot 3}}{2}=\dfrac{1\pm i\,\sqrt{3}}{2} \quad (7)\,\text{y}\,(8) \end{matrix}\right.$

Reuniendo los seis valores obtenidos $(1),(4),(5),(6),(7)\,\text{y}\,(8)$ —recordemos que, según el teorema fundamental del álgebra, un polinomio de grado $n$ con coeficientes reales ha de tener $n$ raíces reales complejas (incluyéndose en éstas las reales, esto es, las que su parte imaginaria es cero)—, podemos escribir la solución de la ecuación de sexto grado planteada: $$\displaystyle \left\{0,-1,i,-i,\dfrac{i+i\,\sqrt{3}}{2},\dfrac{i-i\,\sqrt{3}}{2}\right\}$$

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Ejercicio de aplicación de identidades notables para resolver una ecuación polinómica

En el siguiente ejercicio voy a resolver la ecuación polinómica $$x^6=(x+1)^6$$ Observemos que esta ecuación es equivalente a $x^6-(x+1)^6=0$, siendo el primer miembro de la igualdad un polinomio de grado igual a $5$, pues vemos que, al esbozar el desarrollo de la potencia del binomio, los términos de grado $6$ se anulan; por lo que, de acuerdo con el teorema fundamental del álgebra, deberemos encontrar exactamente cinco soluciones (contando las multiplicidades), ya sean éstas reales o complejas. En otros ejercicios de esta índole se suele proceder a buscar las raíces racionales (si las hubiese), y a medida que se encuentren, se va aplicando paso a paso el teorema del factor; sin embargo, algunos ejercicios como éste se prestan a utilizar algunas identidades notables para reescribir el primer miembro como producto de factores sin tener que calcular las raíces del polinomio, que por otra parte, se pueden calcular finalmente, éstas son la solución de la ecuación.

En este caso, las identidades que nos serán de utilidad son $a^2-b^2=(a+b)(a-b) \quad (1)$, $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2 \mp ab+b^2)\quad (2)$.

Vayamos jugando un poco con el álgebra:
  $x^6-(x+1)^6=0$
    $(x^3)^2-\left((x+1)^3\right)^2=0$
      $\left(x^3-(x+1)^3\right)\left(x^3+(x+1)^3\right)\overset{(1)}{=}0$
        $(x-(x+1)) (x^2+x(x+1)+(x+1)^2) (x+(x+1)) (x^2-x(x+1)+(x+1)^2)\overset{(2)}{=}0$
          $-(3x^2+3x+1)(2x+1)(x^2+x+1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3x^2+3x+1=0 \Leftrightarrow x= \dfrac{-3 \pm i\,\sqrt{3}}{6} \in \mathbb{C}\\ 2x+1=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2} \in \mathbb{R} \\ x^2+x+1=0 \Leftrightarrow x= \dfrac{-1 \pm i\,\sqrt{3}}{2} \in \mathbb{C} \end{matrix} \right.$
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