Se pide que, sin la ayuda de la calculadora científica, calculemos $\log_{3}\,(1000)$, sabiendo que (dato) $\log_{10}\,(3)\approx 0,4771$
Denotemos $t=\log_{3}\,(1000)$, entonces $1000=3^t$. Sacando logaritmos en base $10$ en cada miembro de esa igualdad nos queda $\log_{10}\,(1000)=t\,\log_{10}\,(3)$, esto es, $\log_{10}\,(10^3)=3=t\,\log_{10}\,(3)$, con lo cual $t=\dfrac{3}{\log_{10}\,(3)}\overset{\text{dato}}{=}\dfrac{3}{0,4771}=\dfrac{30\,000}{4771}\approx 6,2820$
$\diamond$
Se pide que calculemos el valor de $x$ que cumple la siguiente igualdad, prescindiendo del uso de la calculadora $$\dfrac{\ln(x)}{\ln(3)}=4$$
$\dfrac{\ln(x)}{\ln(3)}=4$
$\log_{3}(x)=4 \therefore x=3^4=81$
$\diamond$
Para resolver esta otra ecuación (con términos exponenciales) $$2^x=5\,(3^x)$$ que es muy parecida a la de la entra precedente de este blog, ya necesitaremos algo más que en aquella:
Veámoslo:
$2^x=5\,(3^x)$
$\dfrac{2^x}{3^x}=5\,\left(\dfrac{3^x}{3^x}\right)$
$\dfrac{2^x}{3^x}=5$
$\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=5$
$\ln\,\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=\ln\,5$
$x\,\ln\,\left(\dfrac{2}{3}\right)=\ln\,5$
$x\,\ln\,\left(\dfrac{2}{3}\right)=\ln\,5$
$x=\dfrac{\ln\,5}{\ln\,\left(\dfrac{2}{3}\right)}$
$x=\ln_{\frac{2}{3}}\,5$
$\diamond$
En este artículo voy a mostraros cómo podemos expresar el logaritmo neperiano (en base el número trascendente $e=2,71828\ldots$) de $x$ (recordemos que $x$ ha de ser un número real mayor que $0$) con logaritmos de base $2$.
Ya hemos hablado de este asunto del cambio de base logarítmica en otras ocasiones; en este ejercicio me ha parecido sin embargo muy útil en tanto y cuanto nos podemos encontrar con alguno parecido cuando se tratan problemas sobre la cantidad de información en bits, en los que los logaritmos deben tener base $2$.
Designemos $t:=\ln\,x$, donde $\ln(.)$ denota el logaritmo en base $e$. Bien, entonces, por la propiedad fundamental de los logaritmos, sabemos que $x=e^t$; y, extrayendo logaritmos en base $2$ en cada miembro, llegamos a $\log_2\,x=\log_2\,e^t$, es decir, $t\,\log_2\,e=\log_{2}\,x \Rightarrow t=\dfrac{\log_2\,x}{\log_2\,e}$. En consecuencia, $$\ln\,x=\dfrac{\log_2\,x}{\log_2\,e}$$ $\diamond$
A menudo, nos pueden nos pueden surgir cuestiones del siguiente estilo:
Sean dos valores positivos de una misma magnitud: $x_1$ y $x_2$, con $x_1 \gt x_2$. Sabiendo que $\log_{10}\,\dfrac{x_1}{x_2}=k$, donde $k\gt 1$, por ser el numerador mayor que el denominador. Entonces, ¿en cuántos órdenes de magnitud es mayor $x_1$ que $x_2$?
De $\log_{10}\,\dfrac{x_1}{x_2}=k$ se deduce que $\dfrac{x_1}{x_2}=10^k$, esto es, $x_1= 10^k\,x_2$; es decir, $x_1$ es $10^k$ veces $x_1$, o dicho de otra forma: $x_1$ es $k$ ordenes de magnitud mayor que $x_2$. $\diamond$
Sin utilizar la calculadora científica ni hacer ningún tipo de cálculo numérico, vamos a averiguar qué número es mayor, $\pi^e$ o $e^\pi$
Es claro que ambos números son mayores que $1$, y no son iguales. Para averiguar cuál es la respuesta a la pregunta, partamos del cociente $\dfrac{\pi^e}{e^{\pi}}$, que vamos a examinar en datalle a continuación.
Si $\pi^e \gt e^\pi$, dicho cociente tendrá que ser mayor que $1$; y, en caso contrario, dicho cociente debería ser menor que $1$. Veamos si se trata de una cosa u otra.
Para ello, tengamos en cuenta que todo número real positivo $a$ puede expresarse como $a=e^{\ln\,a}$, por lo que asignando $a:=\pi$, podemos escribir el cociente de la forma $$\dfrac{\pi^e}{e^{\pi}}=\dfrac{\left( \ln\, e^\pi\right)^e}{e^\pi}=\dfrac{e\,\ln\,e^\pi}{{e^\pi}}$$
Por otra parte, tengamos en cuenta que los puntos de la gráfica de la función $y=\ln\,x$ están todos por debajo de la gráfica de la función $y=x$ (las ordenadas de la primera son menores que las de la segunda); en efecto, las funciones $y=e^x$ e $y=\ln\,x$ son recíprocas una de la otra, esto es, la gráfica $y=\ln\,x$ es el reflejo de $e^x$ con respecto a la bisectriz del primer (y del tercer) cuadrante $y=x$, y viceversa. Entonces, podremos acotar el cociente; y, a partir de ahí, llegar fácilmente a la respuesta a la pregunta planteada: $$\dfrac{\pi^e}{e^{\pi}}=\dfrac{\left( \ln\, e^\pi\right)^e}{e^\pi}=\dfrac{e\,\ln\,e^\pi}{{e^\pi}} \le \dfrac{e\cdot e^\pi}{e^\pi}=e \gt 1 \Rightarrow \pi^e \gt e^\pi$$ $\diamond$
Veamos un ejemplo de cómo calcular la concentración de iones hidronio (protones), conociendo el valor del $\text{pH}$ de la disolución. Pongamos que éste sea $\text{pH}=4,2$. Entonces, como $4,2=-\log_{10}\,[H_3\,O]^+$ (esto es, $-4,2=\log_{10}\,[H_3\,O]^+$) se tiene que $[H_3\,O]^+=-10^{4,2}\approx 6.026\times 10^{-5}\,\dfrac{\text{mol}}{\text{L}}$. $\diamond$
Consideremos las dependencias funcionales tales que los valores que manejamos de las mismas sean tales que al menos los de una de las variables no varíe de manera más o menos regular. En tales casos, un recurso importante es el de hacer uso de los logaritmos en las representaciones, como es el caso de la escala (logarítmica) de Richter (sismología), o la escala (logarítmica) del pH (química), la descripción de atenuación/ganancia de una señal en decibelios (electrónica), la descripción de la variación de la sensibilidad auditiva, etcétera.
Pongamos un ejemplo sencillo, como es el de las magnitudes cuya relación funcional es exponencial, $y(x)=a^x \quad (1)$, donde $a\in \mathbb{R}$, pueden presentar algunos inconvenientes de índole práctica a la hora de realizar su representación gráfica; sin embargo, si graduamos los ejes según una escala logarítmica (un eje o ambos, según las necesidades; en este caso, sólo es necesario que lo hagamos con el de ordenadas, lo que denominamos escala semilogarítmica) tales inconvenientes se resuelven.
Este recurso también es muy útil a la hora de realizar regresiones estadísticas a partir de los puntos experimentales, pues algunos tipos, como el de ésta, se reducen a una regresión de tipo lineal.
En este ejemplo, esto equivale a tomar logaritmos (de la base, $b\in \mathbb{R}$, que mejor nos convenga) en cada miembro de (1): $\log_b\,y=x\,\log_b\,a$; entonces, denotando $t:=\log_b\,y$, podemos reescribir la dependencia (1) de la forma $t(x)=(\log_b\,a)\cdot x$, que es lineal. Notemos que $\log_b\,a$ es la constante que asociamos a la pendiente de la recta que, en el caso que comentamos, pasa por el origen de coordenadas. A la hora de realizar informes de laboratorio, este truquillo (para representar variaciones no regulares entre dos variables) es todavía más práctico si realizamos la gráfica de los puntos experimentales sobre papel logarítmico (en base decimal), que podemos adquirir fácilmente en una papelería. $\diamond$
Créditos de los enlaces que aparecen como hiperenlaces en esta entrada de mi blog: Wikipedia
¿Cuál es el valor de $\log_{0,1}\,0,01$ ? ¿y el de $\log_{0,1}\,100$? ¿y el de $\log_{\frac{1}{2}}\,2$?
$\log_{0,1}\,0,01=\log_{10^{-1}}\,10^{-2}=\log_{10^{-1}}\,(10^{-1})^2=2\,\log_{10^{-1}}\,10^{-1}=2\cdot 1=2$.
$\log_{0,1}\,100=\log_{10^{-1}}\,10^2=\log_{10^{-1}}\,(10^{-1})^{-2}=-2\,\log_{10^{-1}}\,10^{-1}=-2\cdot 1=-2$. $\diamond$
$\log_{\frac{1}{2}}\,2=\log_{\frac{1}{2}}\,\dfrac{1}{\frac{1}{2}}=\log_{\frac{1}{2}}\,1-\log_{\frac{1}{2}}\,\dfrac{1}{2}=\log_{\frac{1}{2}}\,\left( \dfrac{1}{2} \right)^0-\log_{\frac{1}{2}}\,\dfrac{1}{2}=0-1=-1$. $\diamond$
Otra interesante propiedad sobre el cambio de base logarítmica es la siguiente: $$\log_b\,x=\dfrac{\log_a\,x}{\log_a\,b}$$ siendo $a$, $x$ y $b$ números reales positivos.
Por la propiedad fundamental de los logaritmos, $u:=\log_b\,x \Leftrightarrow x=b^u$, y extrayendo logaritmos en base $a$ en ambos miembros, podemos escribir: $\log_a\,x=\log_a\,b^u$, esto es, $\log_a\,x=u\,\log_a\,b$, con lo cual, $u=\dfrac{\log_a\,x}{\log_a\,b}$, es decir $\log_b\,x=\dfrac{\log_a\,x}{\log_a\,b}$, tal como se pedía. En muchos cálculos, esta propiedad puede resultar muy práctica, por ejemplo: $\ln\,x=\dfrac{\log\,x}{\log\,e}$ (recordemos que $\log(.)$ indica el logaritmo decimal (en base $10$) y que $\ln(.)$ denota el logaritmo neperiano (en base $e$). $\diamond$
En este breve artículo del blog voy a demostrar la siguiente propiedad: $$\log_a\,b=\dfrac{1}{\log_b\,a}$$ siendo $a$ y $b$ números reales positivos.
Por la propiedad fundamental de los logaritmos, $u:=\log_a\,b \Leftrightarrow b=a^u$. Extrayendo logaritmos en base $b$ en ambos miembros, podemos escribir: $\log_b\,b=\log_b\,a^u$, esto es, $1=\log_b\,a^u=u\,\log_b\,a$, con lo cual, $u=\dfrac{1}{\log_b\,a}$, es decir $\log_a\,b=\dfrac{1}{\log_b\,a}$, tal como se pedía. $\diamond$
En muchas ocasiones interesa expresar la medida de magnitud (potencia, tensión, intensidad eléctrica, intensidad sonora, etcétera) en relación a un nivel de referencia de la misma, pudiendo manejar así una cantidad adimensional. Ello tiene sus ventajas, por diversas razones; una de las más importantes es el poder expresar dicha medida relativa en una escala numérica manejable, con números que no sean ni muy grandes ni muy pequeños si, por contra, estos aparecieran directamente en la medida de la magnitud. Una forma de conseguirlo es utilizar el logaritmo de la razón de la medida abasoluta y la medida de referencia; a lo que resulta se le denomina bel, en honor a Alexander Graham Bell (1847-1922). De esta manera, podemos expresar la ganancia o la atenuación en una cierta magnitud a la salida de un cierto sistema (medio o dispositivo) con respecto al nivel de la misma en la entrada.
Se define entonces el belio (B) como la unidad adimensional de medida de una magnitud $\mathcal{X}$, que, en un momento dado, tome un cierto valor $x_1$, y ello con respecto a un valor convenido de la misma, $x_0$, utilizando el logaritmo decimal de la razón $\dfrac{x_0}{x_1}$, al que denominaremos $L_B$. Así, $$L_B:=\log_{10}\,\dfrac{x_1}{x_0}$$ con lo cual $x_1=x_0\,10^{L_B}$; en particular si $x_1=x_0$, entonces la ganancia/atenuación, es de $L_B=0$ B, ya que $1=10^0$, o lo que es lo mismo $L_B=0=\log_{10}\,1$. Notemos además que si se da un incremento (positivo), $x_1\gt x_0$, entonces $L_B>0$; y, en el caso de darse un decremento, si $x_1\lt x_0$, entonces $L_B\lt 0$.
Comunmente, a efectos prácticos, se utiliza del decibel (dB) en lugar del bel (B) con el mismo propósito que acabo de exponer (tener una expresión de una medida relativa a un nivel de referencia de la misma magnitud): $1\,\text{B}=10\,\text{dB}$, con lo cual podemos escribir que la medida relativa en decibelios de $x_1$ con respecto a $x_0$ es $$L_{dB}:=10\cdot \log_{10}\,\dfrac{x_1}{x_0}$$ y por tanto $$x_1=x_0 \cdot 10^{L_{dB}/10}=x_0\,10^{L_{B}}$$
Se sabe que la intensidad acústica —véase el siguiente artículo en este mismo blog: Algunas cosas básicas sobre los fenómenos ondulatorios— que el oído humano es capaz de percibir se encuentra en el intervalo $\left(10^{-12}, 1\right)\, \dfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$ ($W$ indica vatio, la unidad de potencia del Sistema Internacional). Por debajo del extremo inferior, $I_0=10^{-12}\,\dfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$, no se percibe ninguna sensación acústica; y, por encima, del extremo superior, $1\,\dfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$ se producen daños en el aparato auditivo.
Al objeto de cuantificar la sensación auditiva se define la magnitud adimensional sonoridad, que se relaciona con la intensidad acústica de las ondas incidentes en el oído según la ley de Weber-Fechner: $S=10\,\log_{10}\,\dfrac{I}{I_0}$ (recordemos que $I_0$ es la intensidad umbral de sensación auditiva) —nótese que esta magnitud adimensional, la sonoridad, viene dada en decibelios al estar definida mediante el logaritmo de la razón de dos magnitudes, que en este caso son las intensidades—. Puede entenderse de dicha dependencia entre la sonoridad y la intensidad acústica que la primerqa varía de manera lineal, si se hace variar la intensidad acústica de forma exponencial.
Se sabe que la sonoridad depende de la frecuencia del sonido: la máxima sensibilidad en el aparato auditivo humano corresponde a una frecuencia de unos $3000\,\text{Hz}$. La sensibilidad acústica del oído humano disminuye por debajo y por encima de dicha frecuencia; por debajo de $20\,\text{Hz}$ ya no se percibe ningún sonido, y tampoco por encima de $20\,000\,\text{Hz}$.
Una persona percibe un sonido con una sonoridad de $10\,\text{dB}$. Nos preguntamos cuál es el valor de la intensidad acústica que recibe.
Denotemos por $I$ a la intensidad acústica pedida. Entonces, según los datos, podemos escribir que $20=10\,\log_{10}\,\dfrac{I}{10^{-12}}$, luego $\dfrac{I}{10^{-12}}=10^{20/10}$, esto es, $I_A=10^{-12}\cdot 10^2=10^{-10}\,\dfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$.$\diamond$
[1] vv.aa., Decibel, Wikipedia [https://ca.wikipedia.org/wiki/Decibel], 2022.
Durant el segle disset, la navegació oceànica portava als pilots dels vaixells a fer complicats càlculs astronòmics (navegació astronòmica) de trigonometria esfèrica. En un temps en què, per descomptat, no hi havia calculadores ni ordinadors, calia que algú inventés alguna manera de fer-los més eficaços. Aquesta notable (fascinant) millora vingué de la mà de John Napier (entre altres) en exposar el seu mètode de càlcul en l'obra Mirifici Logaritmorum Canonis Descriptio (1614).
Napier va fer servir com a referència per al seus càlculs una quantitat basada en el nombre $e$ per raons d'eficàcia. Actualment, entenem com a logaritmes neperians (o naturals) al càlcul amb logaritmes quan aquests es refereixen a la base (logarítmica) igual a $e$ (el nombre transcendent que apareix al treball de Napier).
El 1616, poc després de l'aparició del treball de Napier, aparegué una altra proposta de càlcul logarítmic de la mà de Henry Briggs el qual, basant-se en el treball de John Napier, proposà el nombre $10$ com a base logarítmica, donant a la vegada, consistència al concepte de base logarítmica. Briggs publicà taules logarítmiques que permetien efectuar càlculs astronòmics i de navegació de manera viable i eficaç.
Donat un nombre real positiu $a$ es defineix el seu logaritme en base $b$ (un nombre real positiu) com el nombre real $l$ que compleix la següent propietat:
$\log_{b}(a)=l \Leftrightarrow l^b =a$
Mitjançant aquesta operació (logarítmica) és possible resoldre una equació exponencial del tipus $m^x=n$ ja que, d'acord amb la definició i havent escollit una base logarítmica $b$ apropiada per la quan disposem de taules compilades o bé – millor, per comoditat - d'una calculadora científica (totes porten programades rutines de càlcul apropiades, és a dir, $b=e$ o bé $b=10$), podrem escriure
$x= \dfrac{\log_{b}{n}}{\log_{b}{m}}$
i, per tant, determinar-ne la solució. $\square$
[autoría]
En ciències experimentals, podem fer servir els logaritmes per descriure el comportament d'un sistema, valorant el guany de potència (o d'una altra magnitud física) d'un senyal sortint $M_{s}$, donat el valor del senyal entrant corresponent $M_{e}$ (que es pren com a referència), valorant-lo com el quocient (o raó aritmètica) d'ambdós valors. Pot succeir, però, que al senyal sortint li correspongui una quantitat molt més gran que al senyal entrant o de referència; en aquests casos, en lloc d'emprar una escala lineal, se sol emprar una escala logarítmica (en base $10$, habitualment) per fer-ne la descripció de la resposta o guany: $G=\log{\Big(\dfrac{M_{s}}{M_{e}}\Big)}$. El guany és, per tant, una magnitud adimensional i s'anoma Bel (abreviat, B) a la unitat d'aquesta escala. Així, per exemple, si a un amplificador li entra un senyal de potència igual a $3$ W i en dóna una sortida de $3\cdot 10^{2}$ W, direm que el guany és de 2 B; sovint es fa servir el submútiple decibel (1 Bel = 10 dB), amb la qual cosa direm que el guany és de $20$ dB .
Un exemple remarcable és la mesura del nivell de pressió sonora o nivell sonor (SPL), que es defineix de la forma $L_{p}= 10 \,\log{\big(\dfrac{p}{p_{0}}\big)^2}$ on $p$ és la pressió que provoca l'ona sonara (en el medi en què es propaga) i $p_0$ és la presssió de referència, que en l'aire, és pren com a $20 \, \mu Pa$ i correspon al límit inferior (o llindar) de percepció en l'oïda humana. A una conversa amb veu molt baixa li correspon un nivell sonor de $40$ dB i a la remor de la pluja, $70$ dB i a una botzina de cotxe, per exemple, $100$ dB .
A la Química, un altre exemple d'ús d'escales logarítmiques el tenim en l'expressió de la mesura del grau d'acidesa. Una dissolució és tan més àcida com més gran sigui la concentració de cations $[H^+]$ o bé de cations hidroni $H_{3}O^{+}$, però com que als valors d'aquestes concentracions (en $l \, \text{mol}^{-1}$) els corresponen nombres molt petits
(ordres de magnitud $\sim 10^{-10}$), hom ho descriu mitjançant una escala logarítmica
$pH = -\log_{10}{[H^+]}$, on $pH$ és un nombre natural tal que $1 \le pH \le 14$. Si la dissolució és neutra $pH=7$; si és àcida, $pH < 7$; i si és bàsica, $pH > 7$. També podem donar el grau complementari $pOH$ (concentració d'anions hidròxid $[OH^{-}])$ de la forma $pOH=14-pH$ , atenent que $[H^{+}]\cdot[OH^{-}]=k_{w}$ on $k_w = 10^{-14}$ és la constant d'ionització de l'aigua.
L'escala de Richter per descriure els sismes també és logarítmica. I, en astronomia i astrofísica, també és logarítmica l'escala amb què es mesura la lluminositat aparent d'un astre (astronomia): l'escala de magnituds aparents.
$\square$
[autoría]
Calcularem, per exemple, el valor del logaritme de $5$ en base (logarítmica) igual a $2$, és a dir $\log_{2}{5}$
que és igual a
$\dfrac{\log_{e}{5}}{\log_{e}{2}}$
o en notació equivalent
$\dfrac{\ln{5}}{\ln{2}}$
Per tant, a la finestra de comandes de MAXIMA, teclejarem:
(%i1) log(5)/log(2),numer;
i obtindrem la següent resposta de MAXIMA
(%o1) 2.321928094887362
valor aproximat amb 16 x.s.
Pel que fa a la precisió del resultat, si tenim la curiositat de visualitzar un bon nombre de xifres significatives correctes (dues-centes, per exemple) d'aquest resultat que, com a nombre transcendent i, doncs, com a nombre irracional, en té infinites podem teclejar les següents instruccions amb MAXIMA:
(%i2) fpprec:200
bfloat(log(5)/log(2));
set_display('ascii);
i obtindrem
(%o2) 2.3219280948873623478703194294893901758648313930245806120547563958159347766086252158501397433593701550996573717102502518268240969842635268882753027729986553938519513526575055686430176091900248916669414b0
on la "b" del final indica que es mostra en notació de coma flotant d'alta precisió, és a dir, el resultat és
2.3219280948873623478703194294893901758648313930245806120547563958159347766086252158501397433593701550996573717102502518268240969842635268882753027729986553938519513526575055686430176091900248916669414 $\cdot 10^0$
o el que és el mateix
2.3219280948873623478703194294893901758648313930245806120547563958159347766086252158501397433593701550996573717102502518268240969842635268882753027729986553938519513526575055686430176091900248916669414
ja que $\cdot 10^0 = 1$
Si volem visualitzar més xifres significatives (per exemple 500), caldrà augmentem la precisió i tornem a repetir les comandes:
(%i3) fpprec:500
bfloat(log(5)/log(2));
set_display('ascii);
i podrem donar el resultat aproximat de $\log_{2}{5}$ amb 500 xifres significatives correctes !
(%o3 2.3219280948873623478703194294893901758648313930245806120547563958159347766086252158501397433593701550996573717102502518268240969842635268882753027729986553938519513526575055686430176091900248916669414333740119031241873751097158664675401791896558067358307796884327258832749925224489023835599764173941379280097727566863554779014867450578458847802710422545609722346579569554153701915764117177924716513500239211271473393614407233972115748510070949878916588808313221948067932982323259311950671399507837003
$\square$
[autoría]