Relaciones de desigualdad entre las medias: armónica, geométrica, aritmética y cuadrática

En los últimos artículos anteriores a éste hemos demostrado que, en un caso concreto (para la pareja de números positivos $a$ y $b$, tales que $a+b=1$), la media armónica es menor que la media geométrica y ésta es menor que la m. aritmética, que, a su vez es menor que la media cuadrática. También hemos ido anunciado que estas desigualdades, en realidad, se generalizan a un conjunto arbitrario de $n$ números reales distintos de cero, sin ninguna restricción en la suma de los mismos. La demostración de esta proposición es, desde luego, un poquito más elaborada que con la restricción de suma igual a uno y con sólo dos números. En un futuro artículo haremos esta demostración general. De momento, avancemos pues esta importante cadena de desigualdades entre las medias citadas, y recordemos que una media, $M$, referida a un conjunto de datos es un parámetro estadístico tal que $\text{mínimo}(\{x_1,\ldots,x_n\}) \le M \le \text{máximo}(\{x_1,\ldots,x_n\})$:

$$\displaystyle \text{MH}(\{x_1,\ldots,x_n\}) \le \displaystyle \text{MG}(\{x_1,\ldots,x_n\}) \le \displaystyle \text{MA}(\{x_1,\ldots,x_n\}) \le \displaystyle \text{MQ}(\{x_1,\ldots,x_n\})$$