Una aproximación al modelo binomial de variable aleatoria

En una población se sabe que el $1\,\%$ de los individuos tienen los ojos verdes. De $10$ individuos (elegidos al azar), ¿cuál es la probabilidad de que exactamente tres de ellos tengan los ojos verdes?

Este problema es muy similar al lanzamiento repetido de una moneda (no equilibrada). Para un cierto individuo (elegido al azar), podemos asimilar el que salga cara a que tenga los ojos verdes; según la información del enunciado, la probabilidad de que tenga los ojos verdes, $p$, es $0,01$, y la probabilidad de que no tenga los ojos verdes (suceso contrario), $q$, será, por tanto, $1-p=1-0,01=0,99$. Entonces, podemos imaginar que lanzamos la moneda $20$ veces (los lanzamientos son independientes unos de otros), con lo cual, hay $\binom{10}{3}$ posibilidades a la hora de seleccionar los tres individuos (sobre un total de $10$) a los que se refiere la pregunta del enunciado. Por consiguiente, como los resultados de los 'lanzamientos' son independientes, la probabilidad pedida es $\binom{10}{3}\cdot 0,01^3 \cdot 0,99^{10-3}\approx 1,118\cdot 10^{-4}$.

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Comentario (generalización y notación): Denominemos $X$ a la variable aleatoria que representa cuántos individuos tienen los ojos verdes (dado el conjunto de individuos por el que nos estamos preguntando, que, en general pongamos que sea $n$); así, los posibles valores que puede tomar dicha variable aleatoria son los del conjunto $X=\{0,1,2,\ldots,n\}$. En las condiciones expuestas (independencia de sucesos y estricta dualidad en los resultados: tener cierta característica o bien no tenerla), nos referiremos formalmente a la probabilidad pedida como modelo de probabilidad binomial de varable aleatoria; así, la probabilidad de que $m$ de los $n$ individuos, con $m \le n$, tengan la característica por la que nos preguntamos, tener los ojos verdes (lo contrario es no tener los ojos verdes, y no hay más posibilidades) con la siguiente notación (que es la que utilizaremos para todos los problemas que se ajusten a ese modelo de probabilidad): $$\displaystyle P(\{X=m\})=\binom{n}{m}\cdot p^{m}\cdot (1-p)^{n-m}$$

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