Propagación a través de los cálculos de los errores en los datos. Un ejemplo sencillo

Se han medido las longitudes de una parecela retangular: $a=21,64\,\text{m}$ y $b=17,3\,\text{m}$. Vamos a calcular el intervalo de incertidumbre del área de dicho rectángulo, reflexionando acerca de las cifras que son significativas en el valor del área que presentaremos a partir del sencillo cálculo de la misma.

Tengamos en cuenta, para empezar, el número de cifras significativas de las medidas, es decir, la precisión con la que se han realizado. La medida del lado $a$ viene dada con $4$ cifras significativas, siendo la última (así como la penúltima) de la parte decimal (la de las centésimas de metro), con lo que, razonablemente, atendiendo a esta última, podemos atribuirle un margen de error (cota de error absoluto) de media unidad del orden de magnitud correspondiente a la última cifra significativa: $0,005\,\text{m}$. Y, por otra parte, en la medida del lado $b$ hay $3$ cifras significativas, la última de las cuales es de la parte decimal (la de las décimas de metro), con lo cual su margen de error, siguiendo el criterio explicado, es de $0,05 \,\text{m}$. Resumiendo, tomamos como cotas de error absoluto de esas medidas las siguientes: $\Delta_a=0,005\, \text{m}$ y $\Delta_b=0,05\, \text{m}$

Calculemos ahora el valor del área (producto de los dos lados), adecuando (aproximando por redondeo) el resultado de la operación de manera que el número de cifras significativas sea el del menor número de cifras significativas de los dos factores, que es $3$, pues, habiendo en la operación productos (o, también, cocientes si los hubiese) como operaciones aritméticas básicas, tal es el criterio razonable cuando operamos con datos que de por sí ya vienen afectados de cierta imprecisión. Así, tenemos que $$A=a\cdot b=\overset{\text{4 c.s.}}{21,64}\cdot \overset{\text{3 c.s.}}{17,3}\overset{\text{3 c.s.}}{\approx} 374\,\text{m}^2$$

A continuación, atendiendo al margen de error de los datos, vamos a calcular los extremos superior e inferior del área, $A_s$ y $A_i$, aproximando los resultados al mismo número de cifras significativas que el resultado anterior del área ($3$ c.s.), por truncamiento con $3$ cifras significativas, por exceso y por defecto, respectivamente. En buena lógica, $$A_s=(a+\Delta_a)\cdot (b+\Delta_b)=(21,64+0,005)\cdot (17,3+0,05)\overset{\text{t. por exceso}}{\approx} 376\,\text{m}^2$$ y $$A_i=(a-\Delta_a)\cdot (b-\Delta_b)=(21,64-0,005)\cdot (17,3-0,05)\overset{\text{t. por defecto}}{\approx} 373\,\text{m}^2$$

Podemos pues afirmar que el valor verdadero del área de dicho rectángulo (expresada en metros cuadrados) se encuentra en intervalo de incertidumbre: $$A \in (373\;,\;376)\subset \mathbb{R} \quad (1)$$.

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Ahondando un poco más, y a modo de conclusión: Es de notar que, como todo cálculo amplifica los errores en los datos del mismo, al propagarse dichos errores a través del mismo, es posible que se pierdan cifras significativas en el resultado que obtengamos, aún habiendo limitado el número de significativas en la presentación del resultado al del menor número de cifras significativas de entre los datos (que son tres). Así, como vamos a ver a continuación, no todas las cifras del resultado presentado, $374\,\text{m}^2$, son significativas.

En concreto, la cifra de las unidades se ha perdido como cifra significativa; en efecto, démonos cuenta de que el punto punto medio del intervalo de incertidumbre que hemos calculado es $374,5$ y la semiamplitud del mismo $\Delta_A=\dfrac{376-373}{2}=1,5$. Comprobamos que, efectivamente, el valor calculado, $374\,\text{m}^2$, está en dicho intervalo, pero, para que la cifra de menor peso, la de las unidades, fuese una cifra significativa, el margen de error del resultado que hemos dado debería ser igual o inferior a $0,5$ (media unidad del orden de magnitud de la última cifra, la de las unidades), sin embargo la semiamplitud del intervalo calculado, $1,5$, es mayor que $0,5$, por lo que se deduce de ello que la cifra de las unidades no es una cifra significativa.

En consecuencia, en el resultado del cálculo que hemos presentado, $374\,\text{m}^2$, sólo son cifras significativas la de las decenas y la de las centenas; la de las unidades no lo es, por lo que, podemos afirmar que el valor del área obtenido es $$A \approx \mathbb{37}\underset{?}{4}\,\text{m}^2$$ en el cual, de acuerdo con lo que acabamos de razonar, hay que anotar que tiene 2 cifras significativas, las de mayor peso, la de las centenas y la de las decenas, siendo sin embargo dudosa la de las unidades.

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Nota importante: De manera alternativa y mucho más correcta, también puede resolverse este ejercicio, recurriendo al cálculo de la cota de error relativo del resultado a partir de las cotas de error relativo de los factores, teniendo en cuenta su relación con la cota de error absoluto, de manera parecida a tal como he hecho, por ejemplo, para resolver este otro problema: [1 (muy recomendable)]

Procedamos a hacerlo de esta manera y veremos que los resultados que obtendremos son más correctos que los obtenidos anteriormente de manera un tanto estimativa. Para ello, es necesario recordar que como en el cálculo del área interviene una operación de producto, $A=a\cdot b$, la cota de error relativo del área es igual a la suma de las cotas de error relativo de los datos: $\varepsilon_A=\varepsilon_a+\varepsilon_b$. Una vez hayamos calculador la cota de error relativo de $A$, tan solo tendremos que hacer uso de la relación entre la cota de error absoluto y la de error relativo: $\Delta_A = A\cdot \varepsilon_A$

Calculemos, primero, las cotas relativos de los factores: $\varepsilon_a:=\dfrac{\Delta_a}{a}=\dfrac{0,005}{21,64}$ y $\varepsilon_a:=\dfrac{\Delta_b}{b}=\dfrac{0,05}{17,3}$. Entonces $\varepsilon_A=\dfrac{0,005}{21,64}+\dfrac{0,05}{17,3}\approx 3,121\times 10^{-3}$, con lo cual $\Delta_A=374 \cdot 3,121\times 10^{-3} \overset{3 c.s.}{\approx}1,17\,\text{m}^2$.

Así, tenemos que el intervalo de incertidumbre que contienen al valor verdadero del área es $[374-1,17\;,\;3,74+1,17]\overset{3 c.s.}{=}[373\;,\;375]\,\text{m}^2$. Este resultado es un poco más preciso que el obtenido estimativamente en $(1)$, si bien llegamos a la misma conclusión en lo que se refiere a que la cifra de las unidades en el valor obtenido del cálculo del área es dudosa.

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