Identidades notables

¿Es cierta la siguiente identidad? Esto es, ¿esta igualdad algebraica es válida para cualquier valor de $a$ y de $b$? $$a^5+b^5 = (a + b) (a^4 - a^3\, b + a^2\, b^2 - a\, b^3 + b^4)$$

Veámoslo multiplicando los dos factores del segundo miembro; si es cierta, el resultado ha de ser igual a la expresión del primer miembro:
  $(a + b) (a^4 - a^3\, b + a^2 \,b^2 - a \,b^3 + b^4)=$
    $a \cdot (a^4 - a^3 \,b + a^2 \, b^2 - a\, b^3 + b^4) + b\cdot (a^4 - a^3 \,b + a^2 \,b^2 - a\, b^3 + b^4)=$
      $a^5 - a^4 b + a^3 \,b^2 - a^2 \, b^3 + a\,b^4 + a^4\,b - a^3\, b^2 + a^2\, b^3 - a\, b^4 + b^5=$
        $a^5 + (a^4 b - a^4\,b) + (a^3\, b^2 - a^3\, b^2) + (a^2\, b^3-a^2\, b^3) + (a\,b^4 - a\,b^4) + b^5=$
          $a^5 + 0+0+0+0 + b^5=$
            $a^5 + b^5$
La identidad propuesta es, por tanto, cierta.

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Nota: Es fácil probar (de manera parecida) que la siguiente identidad también es cierta: $$a^5 - b^5 = (a - b) (a^4 + a^3\, b + a^2\, b^2 + a\, b^3 + b^4)$$

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Importante: Os aconsejo que recordéis estas otras identidades, muy sencillas, y muy útiles a la hora de resolver determinadas ecuaciones (realizando transformaciones convenientes), efectuar simplificaciones, y, también, para facilitar algunos cálculos numéricos, lo cual conviene a veces tenerlas en cuenta para realizarlos de manera eficiente:
Siendo $a,b\in \mathbb{R}$, se tiene:

1. $(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2$
2. $(a - b)^2=a^2 - 2ab+b^2$
3. $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
4. $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2\,(a\,b+b\,c+a\,c)$
   
5. $(a+b)^3=a^3+ 3a^{2}b + 3ab^2+b^3$
6. $(a-b)^3=a^3- 3a^{2}b + 3ab^2-b^3$
7. $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
   
8. $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
   

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