Cálculo del ángulo entre dos números complejos en el diagrama de Argand (plano complejo)

Consideremos los números complejos $w=-1+2i$ y $z=1+3i$, ¿qué ángulo forman entre sí?

Observemos que el afijo de $w$ está en el segundo cuadrante del plano de Argand, pues $\mathcal{Re}(w)\lt 0$ y $\mathcal{Im}(w)\gt 0$; y, el afijo de $z$ está en el primer cuadrante, ya que $\mathcal{Re}(z)\gt 0$ y $\mathcal{Im}(z)\gt 0$. Así pues $90^{\circ}\lt \text{Arg}(w) \lt 180^{\circ}$, mientras que $0^{\circ}\lt \text{Arg}(z) \lt 90^{\circ}$. Nota: En este ejercicio, por comodidad, he decidido expresar los ángulos en grados sexagesimales.

Calculo ahora los argumentos principales, aproximando a la cifra de las unidades: $\text{Arg}(z)=\text{arctan}\left( \dfrac{\mathcal{Im}(z)}{\mathcal{Re}(z)} \right)=\text{arctan}\,(\dfrac{3}{1})=\text{arctan}(3)\approx 72^{\circ}$ y $\text{Arg}(w)=\text{arctan}\left( \dfrac{\mathcal{Im}(w)}{\mathcal{Re}(w)} \right)=\text{arctan}\,(\dfrac{2}{-1})=\text{arctan}(-2)\approx 117^{\circ}$

El ángulo que forman los dos números complejos en el plano de Argand será por tanto igual a la diferencia (en valor absoluto) de los argumentos principales:

$$\measuredangle(w,z)=|\text{Arg}(w)-\text{Arg}(z)|=117^{\circ}-72^{\circ}=45^{\circ}$$ $\diamond$