Cálculo de raíces de un polinomio, empleando (si se tercia) identidades para factorizarlo

A modo de ejemplo, voy a calcular las ráices reales y complejas del polinomio $P(x)=x^3+27$

Para encontrar las raíces de un polinomio debemos imponer la definición de ráiz de un polinomio: $P(x)=0$. Entonces,
  $x^3+27=0$
    $x^3+3^3=0$
A continuación, para factorizar el primer miembro, utilizaré la identidad $$a^3\pm b^3=(a\pm b)\,(a^2\mp a\,b+b^2)$$
con lo cual, el último paso puede expresarse de la forma
    $(x+3)\cdot (x^2-3x+3^2)=0$
      $(x+3)(x^2-3x+9)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+3=0 \\ x^2-3x+9 =0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}-3 \\ \\ \\ \dfrac{-(3) \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1\cdot 9}}{2\cdot 1}= \newline\quad \quad \quad =\dfrac{3\pm 3 \,\sqrt{3}\,i}{2} = \dfrac{3}{2} \pm \dfrac{3\,\sqrt{3}}{2}\,i \end{matrix}\right.$

El conjunto de ráices de $P(x)$ es pues $$\{ -3\in \mathbb{R}\,,\, \left(\dfrac{3}{2} - \dfrac{3\,\sqrt{3}}{2}\,i\right) \in \mathbb{C} \,,\, \left(\dfrac{3}{2} + \dfrac{3\,\sqrt{3}}{2}\,i\right) \in \mathbb{C}\}$$

$\diamond$

Ejemplo de un polinomio que no tiene raíces

¿Cómo se puede justificar la afirmación de que el polinomio $P(x)=x^2+x+1$ no tiene raíces y que por tanto es un polinomio primo, sin recurrir a dibujar la gráfica del mismo?

Veamos que signo toma el polinomio sea cuál sea el valor de la variable independiente. Si $x\gt 0$, es evidente que $P(x)>0$; en el caso de que $x=0$, $P(0)=0+1\gt 0$; y, si $x\lt 0$, es claro que $x^2+x\gt 0$, pues de ser $|x|\gt 1$, $x^2\gt |x|$, con lo cual $x^2+x\gt 0$ y por tanto $x^2+x+1\gt 0$, y si $|x|\lt 1$, $x^2\lt |x|$ y por tanto $-1\lt x^2+x \lt 0$, luego $x^2+x+1\gt 0$. En consecuecia, el valor del polinomio es positivo para todo valor de $x$, luego no existe ningún valor de $x$ para el que el polinomio se anule, es decir, no tiene raíces, luego es un polinomio primo. $\diamond$

Un ejemplo de factorización de polinomios.

Polinomios. Raíces de un polinomio. ( Artículo escrito en catalán ).

Exemple       Considerem el polinomi A(x) = 2x⁶-5x⁴+4x²-1, esbrineu si -1 és una arrel del polinomi.

Primer de tot, cal recordar que una arrel (o zero) d'un polinomi (de variable x) és tot valor de la variable que anul·la el polinomi, és a dir, quan substituïm en l'expressió del polinomi el símbol "x" pel valor considerat, el resultat és igual a zero. Ara, però, us demano que esbrineu si el nombre proposat és una arrel, sense fer, però, el que és més natural (la substitució) sinó que ho feu fent ús del teorema del residu. [Comentari. No penseu pas que això és un caprici, ben al contrari, quan es tracta de cercar arrels dins d'un conjunt de possibles nombres racionals, el que ara veureu és força eficaç, perquè quan trobem una arrel, també determinarem els coeficients del polinomi quocient, el qual, a la vegada, es pot intentar factoritzar, i així, successivament, fins arribar a un polinomi primer ]. Per això, caldrà fer la divisió, la qual es pot fer fent ús de l'algorisme general de la divisió o bé fent servir l'algorisme de Ruffini, que és vàlid per aquest tipus de divisions (el divisor és un polinomi de grau u del tipus "x-a"). Vegeu el resultat de la divisió a sota:     | 2 0 -5 0 4 0 -1 -1 | -2 2 3 -3 -1 1 -------------------------------------     | 2 -2 -3 3 1 -1 0 Observem que el reste de la divisió és igual a zero, per tant, aquest és el valor del polinomi A(x=-1) i, doncs, x=-1 és una arrel de A(x). Comentari. Per altra banda, i posant en pràctica el que s'ha dit en el primer comentari, com que ja s'ha fet la divisió, coneixem també els coeficients del polinomi quocient, per tant, podem aprofitar per fer un primer pas de factorització del polinomi donat:             2x6-5x4+4x2-1 =(2x5-2x4-3x3+3x2+x-1)(x-(-1))