Un ejemplo de cálculo de funciones derivadas. Derivada de la función $f(x)=x^x$, definida en $0 \lt x \lt +\infty$

A efectos prácticos, escribamos la función de la forma: $y=x^x$, entendiendo bien que $y\equiv f(x)$. Tengamos claro que el dominio de definición de la función en el que trabajaremos es la semirrecta de los números reales $(0,+\infty)$. Sacando logaritmos neperianos en cada miembro:
  $\ln\,y =\ln\,x^x$, esto es, $\ln\,y=x\,\ln\,x$, y derivando en cada miembro con respecto de $x$ (la variable independiente de la función) se tiene que:
    $(\ln\,y)' =(x\,\ln\,x)'$
      $\dfrac{1}{y}\,y' =(x)'\,\ln\,x+x\,(\ln\,x)'$
        $\dfrac{1}{y}\,y' =1\cdot \ln\,x+x\,\dfrac{1}{x}$
          $\dfrac{1}{y}\,y' =\ln\,x+1$
            $y' =(\ln\,x+1)\,y$
              $y' =(\ln\,x+1)\,x^x$
que también podemos expresar de la siguiente forma (notación):
                $f'(x) =(\ln\,x+1)\,x^x$

Cuestión:
¿Para qué valor (o valores) de $x$ se anula la función derivada? ¿Qué comportamiento tiene la función $f(x)=x^x$ a la izquierda de dicho valor (crece o decrece)? ¿Y a la derecha del mismo?

Impongamos que $f'(x)=0$. Entonces,
  $(\ln\,x+1)\,x^x=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^x=0\,\text{no tiene solución, puesto que}\, \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}x^x=1\gt 0\,,\, \text{y}\, x^x\gt 0 \,\forall x\neq 0\\ \text{o bien} \\ 1+\ln\,x=0 \Rightarrow \ln\,x=-1 \Rightarrow x=e^{-1}=\dfrac{1}{e} \end{matrix}\right.$
Puede comprobarse que $f'(x)\lt 0$ para $x\lt \dfrac{1}{e}\approx 0,36$ y $f'(x)\gt 0$ para $x\gt \dfrac{1}{e}$, luego la función es monótonamente decreciente a la izquierda de dicho punto y monótonamente creciente a la derecha del mismo, lo cual puede comprobarse gráficamente en la siguiente imagen:

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