Comparación de la media geométrica con la media aritmética en unas condiciones concretas

Se consideran dos números reales positivos, $a$ y $b$, tales que $a+b=1$, se pide que demostremos que la media geométrica de dichos números es menor que su media aritmética.

Recordemos las definiciones de media geométrica de $n$ números, $\displaystyle \text{MG}(\{x_1,\ldots,x_n\}):=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \ldots \cdot x_n}$, y de media aritmética, $\text{MA}(\{x_1,\ldots,x_n\}):=\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}$

En el caso que nos ocupa: $\text{MG}(\{a,b\}):=\sqrt[2]{a\cdot b}$ y teniendo en cuenta que $a+b=1$, $b=a-1$, con lo cual $\text{MG}(\{a,b\})=\sqrt{a-a^2}$, cantidad que, teniendo en cuenta que $0\lt a \lt 1$, alcanza un máximo absoluto (cuyo valor es $\dfrac{1}{2}$) para $a=\dfrac{1}{2}$, valor que, por otra parte es igual al de la media aritmética, pues $\text{MA}(\{a,b\}):=\dfrac{a+b}{2}\overset{a+b=1}{=}\dfrac{1}{2}$. Por consiguiente,

$$\text{MG}(\{a,b\})\lt \dfrac{1}{2}=\text{MA}(\{a,b\}) \therefore \text{MG}(\{a,b\})\lt \text{MA}(\{a,b\})$$

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Comentario:
Esta relación de desigualdad se extiende a un número arbitrario de números reales distintos de cero (positivos y negativos) cuya suma no necesariamente sea igual a $1$. La demostración es un poco más elaborada.

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