Relaciones de desigualdad entre las medias: armónica, geométrica, aritmética y cuadrática

En los últimos artículos anteriores a éste hemos demostrado que, en un caso concreto (para la pareja de números positivos $a$ y $b$, tales que $a+b=1$), la media armónica es menor que la media geométrica y ésta es menor que la m. aritmética, que, a su vez es menor que la media cuadrática. También hemos ido anunciado que estas desigualdades, en realidad, se generalizan a un conjunto arbitrario de $n$ números reales distintos de cero, sin ninguna restricción en la suma de los mismos. La demostración de esta proposición es, desde luego, un poquito más elaborada que con la restricción de suma igual a uno y con sólo dos números. En un futuro artículo haremos esta demostración general. De momento, avancemos pues esta importante cadena de desigualdades entre las medias citadas, y recordemos que una media, $M$, referida a un conjunto de datos es un parámetro estadístico tal que $\text{mínimo}(\{x_1,\ldots,x_n\}) \le M \le \text{máximo}(\{x_1,\ldots,x_n\})$: $$\displaystyle \text{MH}(\{x_1,\ldots,x_n\}) \le \displaystyle \text{MG}(\{x_1,\ldots,x_n\}) \le \displaystyle \text{MA}(\{x_1,\ldots,x_n\}) \le \displaystyle \text{MQ}(\{x_1,\ldots,x_n\})$$

Comparación de la media cuadrática con la media aritmética en unas condiciones concretas

Se consideran dos números reales positivos, $a$ y $b$, tales que $a+b=1$, se pide que demostremos que la media geométrica de dichos números es menor que su media aritmética.

Recordemos las definiciones de media cuadrática de $n$ números, $\displaystyle \text{MQ}(\{x_1,\ldots,x_n\}):=\sqrt{ \dfrac{1}{n} \left(x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}+ \ldots + x_{n}^{2}\right)}$, y de media aritmética, $\text{MA}(\{x_1,\ldots,x_n\}):=\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}$

En el caso que nos ocupa: $\text{MQ}(\{a,b\}):=\sqrt{\dfrac{1}{2}\,(a^2+b^2)}$ y teniendo en cuenta que $a+b=1$, $b=a-1$, con lo cual $\text{MQ}(\{a,b\})=\sqrt{\dfrac{1}{2}\,(a^2+(1-a^2)}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\gt \dfrac{1}{2}$, valor que es igual al de la media aritmética, pues $\text{MA}(\{a,b\}):=\dfrac{a+b}{2}\overset{a+b=1}{=}\dfrac{1}{2}$. Por consiguiente, $$\text{MQ}(\{a,b\})\gt \text{MA}(\{a,b\}) \therefore \text{MA}(\{a,b\})\lt \text{MQ}(\{a,b\})$$

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Comentario:
Esta relación de desigualdad se extiende a un número arbitrario de números reales distintos de cero (positivos y negativos) cuya suma no necesariamente sea igual a $1$. La demostración es un poco más elaborada.

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Comparación de la media geométrica con la media aritmética en unas condiciones concretas

Se consideran dos números reales positivos, $a$ y $b$, tales que $a+b=1$, se pide que demostremos que la media geométrica de dichos números es menor que su media aritmética.

Recordemos las definiciones de media geométrica de $n$ números, $\displaystyle \text{MG}(\{x_1,\ldots,x_n\}):=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \ldots \cdot x_n}$, y de media aritmética, $\text{MA}(\{x_1,\ldots,x_n\}):=\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}$

En el caso que nos ocupa: $\text{MG}(\{a,b\}):=\sqrt[2]{a\cdot b}$ y teniendo en cuenta que $a+b=1$, $b=a-1$, con lo cual $\text{MG}(\{a,b\})=\sqrt{a-a^2}$, cantidad que, teniendo en cuenta que $0\lt a \lt 1$, alcanza un máximo absoluto (cuyo valor es $\dfrac{1}{2}$) para $a=\dfrac{1}{2}$, valor que, por otra parte es igual al de la media aritmética, pues $\text{MA}(\{a,b\}):=\dfrac{a+b}{2}\overset{a+b=1}{=}\dfrac{1}{2}$. Por consiguiente, $$\text{MG}(\{a,b\})\lt \dfrac{1}{2}=\text{MA}(\{a,b\}) \therefore \text{MG}(\{a,b\})\lt \text{MA}(\{a,b\})$$

-oOo-

Comentario:
Esta relación de desigualdad se extiende a un número arbitrario de números reales distintos de cero (positivos y negativos) cuya suma no necesariamente sea igual a $1$. La demostración es un poco más elaborada.

$\diamond$

Comparación de la media armónica con la media aritmética en unas condiciones concretas

Se consideran dos números reales positivos, $a$ y $b$, tales que $a+b=1$, se pide que demostremos que la media armónica de dichos números es menor que su media aritmética.

Recordemos las definiciones de media armónica de $n$ números, $\text{MH}(\{x_1,\ldots,x_n\}):=\dfrac{n}{\dfrac{1}{x_1}+\ldots+\dfrac{1}{x_n}}$, y de media aritmética, $\text{MA}(\{x_1,\ldots,x_n\}):=\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}$

En el caso que nos ocupa: $\text{MH}(\{a,b\}):=\dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}=\dfrac{2\,ab}{a+b}\overset{a+b=1}{=}2\,ab \quad (1)$

Por otra parte, en el artículo precedente a éste en este mismo blog, y en las condiciones del eneunciado, hemos demostrado que $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\gt 2$, es decir,
  $\dfrac{a+b}{2\,ab} \gt 2$
    $a+b \gt 2\,ab$
      $\dfrac{a+b}{2} \gt ab \Rightarrow ab \lt \dfrac{a+b}{2}=:\text{MA}(\{a,b\}) \quad (2)$

Entonces, recordemos que, de $(1)$, se tiene que:
  $\text{MH}(\{a,b\})=2\,ab \lt ab$
y teniendo en cuenta $(2)$,
  $\text{MH}(\{a,b\})=2\,ab \lt ab \lt \text{MA}(\{a,b\}) \therefore \text{MH}(\{a,b\}) \lt \text{MA}(\{a,b\}) $

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Comentario:
Esta relación de desigualdad se generaliza para un número arbitrario de números reales distintos de cero (positivos y negativos) cuya suma no necesariamente sea igual a $1$. La demostración es un poco más elaborada.

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Medias ( armónica, geométrica, aritmética y cuadrática )

Consideremos dos números reales, ambos positivos o bien ambos negativos. Entonces,
$$\dfrac{2}{1/x_1+1/x_2} \le \sqrt{x_1 \cdot x_2 } \le \dfrac{x_1+x_2}{2} \le \sqrt{\dfrac{x_{1}^2+x_{2}^2}{2}}$$