Resolución de una ecuación típica de las que aparecen en la Olimpiada Matemática

Calculemos las solución reales y complejas de la ecuación $$x^3+x=30$$

Según el teorema fundamental del álgebra, al ser el grado de la ecuación pedida $3$, deberemos encontrar, considerando las multiplicidades, $3$ raíces complejas (incluidas, aquellas en las que su parte imaginaria es cero, esto es, las raíces reales):
  $x^3+x=30$
    $x^3+x-30=0$
      $x^3+x-27-3=0$ (paso clave)
        $x^3-27+x-3=0$
          $x^3-3^3+x-3=0$
            $(x^3-3^3)+(x-3)=0$
              $(x-3)(x^2+3x+3^2)+(x-3)=0$, por la identidad $a^3-b^3=(a-b)(a^2+a\,b+b^2)$
                $(x-3)\,( (x^2+3x+3^2)+ 1)=0$
                  $(x-3)\,( x^2+3x+9+ 1)=0$
                    $(x-3)\,( x^2+3x+10)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-3= 0 \Rightarrow x_1=3 \in \mathbb{R}\\ x^2+3x+10=0 \Rightarrow x_{2,3}=\dfrac{-3\pm i\,\sqrt{31}}{2} \in \mathbb{C}\end{matrix}\right.$
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Una ecuación en la que interviene una progresión aritmética

Se pide que resolvamos la siguiente ecuación $$1+3+5+7+9+\ldots+k=121$$ donde $k$ es un número entero positivo.

El primer miembro de la igualdad corresponde a la suma de un cierto número de términos de una progresión aritmética de diferencia $d=2$, y primer término igual a $1$, por lo tanto sabemos que dicha suma viene dada por $\dfrac{a_1+k}{2}\cdot n$, siendo $n$ el número de términos de la suma, y $a_1$ el valor del primer término de la suma, que es igual a $1$, luego podemos escribir la ecuación pedida de la forma $$\dfrac{1+k}{2}\cdot n =121 \quad (1)$$.

Para calcular el número de términos, $n$, de la progresión, recurrimos a la expresión del $n-ésimo$ término, cuyo valor es igual a $k$: $$k=a_1+(n-1)\cdot d$$ esto es $k=1+(n-1)\cdot 2$ y, por tanto, $n=\dfrac{k-1}{2}+1 \quad (2)$

Entonces, sustituyendo $(2)$ en $(1)$:
  $\dfrac{1+k}{2}\cdot \left( \dfrac{k-1}{2}+1\right)=121$
    $\dfrac{1+k}{2}\cdot \left( \dfrac{1+k}{2}\right)=121$
      $\dfrac{(1+k)^2}{2^2}=121$
        $(1+k)^2=121\cdot 2^2$
          $(1+k)^2=121\cdot 4$
            $(1+k)^2=484$
              $1+k = \sqrt{484}$
                $1+k = 22$
                  $k = 22-1$
                    $k = 21$
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Una ecuación en la que aparece la suma de una progresión geométrica

Consideremos la siguiente ecuación $$1+5+5^2+5^3+\ldots+5^k=3096$$ donde $k$ es un número entero positivo, cuyo valor se pide que calculemos:

El primer miembro de la igualdad corresponde a la suma de $k+1$ términos de una progresión geométrica de razón $r=5$ y cuyo primer término es $a_1=1$, por lo tanto sabemos que dicha suma viene dada por $a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$, siendo $n$ el número de términos de la suma, que, en nuestro caso es igual a $k+1$, luego la ecuación pedida puede escribirse de la forma $$1\cdot \dfrac{5^{k+1}-1}{5-1}=3\,096$$

Simplificándola nos queda:
  $5^{k+1}=3\,096 \cdot 4 +1$
    $5^{k+1}=3\,096 \cdot 4 +1$
      $5^{k+1}=15\,625$
Para despejar la incógnita, $k$, extraigamos logaritmos en cada miembro:
  $\ln\left(5^{k+1}\right)=\ln(15\,625)$
    $(k+1)\,\ln(5)=\ln(15\,625)$
      $k+1=\dfrac{\ln(15\,625)}{\ln(5)}$
        $k=\dfrac{\ln(15\,625)}{\ln(5)}-1$
          $k=5$
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Ejemplo de una ecuación que no tiene solución en el conjunto de los números reales, pero que sí la tiene en el de los números complejos

Estudiemos la siguiente ecuación $$\sqrt{x}+\sqrt{-x}=2$$

Esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales, pues en el caso de que $x\gt 0$, el segundo término del primer miembro no está definido en $\mathbb{R}$ pues el argumento de la raíz cuadrada, $-x$ es negativo. Por otra parte, si $x\lt 0$, ocurre que no está definido en $\mathbb{R}$ el primer término, ya que el argumento de la ráiz cuadrada es negativo. Y, es evidente que $x$ no puede tomar el valor $0$ pues, en tal caso obtendríamos una contradicción $\sqrt{0}+\sqrt{0} = 0 \neq 2$.

No obstante, sí tiene solución en el conjunto de los números complejos $\mathbb{C}$. Veámoslo:
$\sqrt{x}+\sqrt{-x}=2$
  $\sqrt{x}=2-\sqrt{-x}$
    $(\sqrt{x})^2=(2-\sqrt{-x})^2$
      $x=4 - 4\,\sqrt{-x}+(\sqrt{-x})^2$
        $x=4 - 4\,\sqrt{-x}+(-x)$
          $2x=4\,(1 - \sqrt{-x})$
            $x=2\,(1 - \sqrt{-x})$
              $x=2 - 2\,\sqrt{-x}$
                $x-2=-2\,\sqrt{-x}$
                  $(x-2)^2=(-2\,\sqrt{-x})^2$
                    $(x-2)^2=(-2)^2\,(\sqrt{-x})^2$
                      $x^2-4x+4=4\cdot (-x)$
                        $x^2-4x+4=-4x$
                          $x^2-4x+4x+4=0$
                            $x^2+4=0$
                              $x^2=-4$
                                $\sqrt{x^2}=\pm\,\sqrt{-4}$
                                  $x=\pm\,\sqrt{(-1)\cdot 4}$
                                    $x=\pm\,\sqrt{(-1)}\cdot \sqrt{4}$
                                      $x=\pm\,i\cdot 2$
                                        $x=\pm\,2i$
La solución a la ecuación pedida consta pues de dos números complejos: $2i$ y $-2i$. $\diamond$

Un ejemplo de resolución de ecuaciones cuyos términos son fracciones algebraicas

Ecuaciones trascendentes de tipo trigonométrico

Ecuaciones con términos exponenciales

Ejemplo de resolución de ecuaciones con ayuda del programa MAXIMA. ( artículo escrito en catalán )

[nota del autor]