Una ecuación con términos irracionales (con raíces)

Queremos encontrar la solución en $\mathbb{R}$ de la siguiente ecuación: $$x-x\,\sqrt{x}=-4$$

Antes de empezar con los pasos algebraicos, debemos darnos cuenta de que, para que $\sqrt{x}$ esté definida en el conjunto de los números reales, es necesario que $x\ge 0$; así pues, en la solución no caben números negativos, y, por otra parte, el cero, está claro que tampoco forma parte de la solución, pues si sustituimos $x$ por $0$ en la ecuación pedida obtenemos que $0-0=0\neq-4$. En definitiva, la solución que encontremos tiene que estar entre los números positivos. Dicho ésto, empecemos ahora con el álgebra:
  $x-x\,\sqrt{x}=-4$
    $x-x\,\sqrt{x}+4=0$, y denotando: $u=\sqrt{x}$, $u^2=x$, con lo cual:
      $u^2-u^2\,u+4=0$
        $u^2-u^3+4=0$
          $-u^3+u^2+4=0$
            $u^3-u^2-4=0$
              $u^3-u^2-8+4=0$ (paso clave)
                $(u^3-8)-(u^2-4)=0$
                  $(u^3-2^3)-(u^2-2^2)=0$, y empleando estas dos identidades: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ y $a^3-b^3=(a-b)(a^2+a\,b+b^2)$, podremos escribir lo anterior de la siguiente manera,
                    $(u-2)\,(u^2+2\,u+2^2)-(u-2)\,(u+2)=0$
                      $(u-2)\,\left(u^2+2\,u+2^2-(u+2)\right)=0$
                        $(u-2)\,\left(u^2+2\,u+4-u-2\right)=0$
                          $(u-2)\,\left(u^2+u+2\right)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u-2=0 \Rightarrow u=2 \overset{x=u^2}{\Rightarrow} x=2^2=4 \\ u^2+u+2=0\Rightarrow u=\dfrac{-1\pm \sqrt{-3}}{2} \notin \mathbb{R}\end{matrix}\right.$
Encontramos un sólo valor en la solución: $x=4$

Comprobación: Sustituyendo $x$ por $4$ en la ecuación pedida,
  $4-4\,\sqrt{4}\overset{?}{=}-4$. En efecto, el valor del primer miembro, $4-4\,\sqrt{4}=4-4\cdot 2=4-8=-4$ conincide con el valor del segundo miembro.

$\diamond$

Ejemplo de resolución de una ecuación trascendente sencillita

En este artículo voy a resolver la ecuación trascendente para $x\in \mathbb{R}$ $$x^x=1$$

Extrayendo logaritmos en cada miembro:
  $\ln(x^x)=\ln\,1$
    $x\,\ln(x)=\ln\,1$
      $x\,\ln(x)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 \\ \ln\,x=0 \Leftrightarrow x=1\end{matrix}\right.$

Ahora debemos verificar estas dos posibles soluciones, sustituyéndolas en la misma para ver si se cumple que la cantidad del primer miembro sea igual a la del segundo:

Para $x=0$ vemos que el primer miembro es $0^0$, que es una ideterminación, y por tanto no podemos garantizar que sea igual al valor del segundo miembro, luego descartamos este valor, $0$, como solución.

Para $x=1$ se tiene que $1^1=1$, que es igual al valor $1$ del segundo miembro, luego este valor, $1$, sí es solución de la ecuación original.

-oOo-

Observación:

Si el segundo miembro de la ecuación hubiese sido distinto de $1$, no podríamos haber encontrado una solución exacta, teniendo en tal caso que recurrir a métodos numéricos aproximados.

$\diamond$

Ecuaciones trascendentes de tipo trigonométrico

Ecuaciones con términos exponenciales

Ecuaciones algebraicas y ecuaciones trascendentes

Definición ( ecuación algebraica ). Decimos que una ecuación $f(x)=0$ es algebraica si $f(x)$ es una función polinómica, esto es, $f(x)$ es del tipo $a_n\,x^n+a_{n-1}\,x^{n-1}+\ldots+a_1\,x+a_0$, donde $n$ es un entero no negativo y los coeficientes $a_n,a_{n-1},\ldots,a_1,a_0$ son números reales o complejos.

Ejemplos de ecuaciones algebraicas: $x^2-x+1=0$, $\dfrac{3}{2}\,x^3+x^2-\dfrac{5}{4}=0$, $\sqrt{2}\,x^3+5=0$, $(4+i)\,x^2+1=0$, etcétera

Observación. Decimos que un número es algebraico si se obtiene como solución de alguna ecuación algebraica. Ejemplos: $2$, $-\dfrac{1}{3}$, $\sqrt{2}$, $\Phi$ ( el número áurico, $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ ), etcétera.

Proposición ( teorema fundamental del álgebra ). Sea una ecuación algebraica $a_n\,x^n+a_{n-1}\,x^{n-1}+\ldots+a_1\,x+a_0=0$, con $a_n,a_{n-1},\ldots,a_1,a_0$ complejos ( en particular, reales ), y $n\succ 0$, entonces existen exactamente $n$ soluciones complejas de la misma.
[No daremos aquí la demostración.]

Dicho de otro modo: toda función polinómica $f(x)=a_n\,x^n+a_{n-1}\,x^{n-1}+\ldots+a_1\,x+a_0$, con coeficientes complejos, y de grado mayor que cero, tiene exactamente $n$ raíces complejas.

Definición ( ecuación trascendente ). Decimos que una ecuación $f(x)=0$ es trascendente si $f(x)$ contiene almenos un término no polinómico ( y por tanto, trascendente ), del tipo $k^x$, $\log_{b}\,x$, $\sin\,x$, etcétera.

Ejemplos de ecuaciones trascendentes: $3^x-x=0$, $\sin\,x+x^2=0$, etcétera.

Observación. Decimos que un número es trascendente si no se obtiene como solución de alguna ecuación algebraica. Ejemplos: $\pi$, $e$, ...

Resolver la siguientes ecuaciones con logaritmos y exponenciales ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Resoleu:

    a)
        $2^{x^2-2}=4$

    b)
        $\log_{x}\,3=2$

    c)

        $\left.\begin{matrix} \log\,x-\log\,y=1 \\ \log\,x+\log\,y=1 \\ \end{matrix}\right\}$

Resolució:
    a)
        $2^{x^2-2}=4$
Observem que podem expressar el segon membre com una potència de base $2$ (la mateixa que la de la potència del primer membre), per tant
        $2^{x^2-2}=2^2$
les bases de les potències d'ambdós membres són iguals, per tant els exponents han de ser iguals
        $x^2-2=2$
que podem escriure de forma ordenada i simplificada, agrupant els termes no nuls en el primer membre
        $x^2-4=0$
equació algèbrica (polinòmica) que resolem fàcilment
        $x=\pm 2$
$\square$

    b)
        $\log_{x}\,3=2 \Leftrightarrow x^2=3$
per tant
        $x=\left| \sqrt{3}\right|$
    [Recordem que la base d'un logaritme (en aquest cas, $x$ ) cal que sigui un nombre positiu ]
$\square$

    c)

        $\left.\begin{matrix} \log\,x-\log\,y=1 \\ \log\,x+\log\,y=1 \\ \end{matrix}\right\}$

Sumant (membre a membre) ambdues equacions, trobem l'equació equivalent que només depèn de la variable $x$
        $2\,\log\,x=2$
és a dir
        $\log\,x=1$
i, per tant
        $x=10$

Per altra banda, restant la primera de la segona, arribem a una altra equació equivalent que només depèn de la variable $y$
        $2\,\log\,y=0$
llavors, és evident que
        $y=0$
$\diamond$

    [Observació: Recordem que l'omissió de la base dels logaritmes (a l'enunciat) indica, de fet, que els hem de prendre (per conveni) en base $10$ ]