Derívese la función $y=x^{x^{x}}$
$y=x^{x^{x}}$
$\ln(y)=\ln\left(x^{x^{x}}\right)$
$\ln(y)=x^x\,\ln(x)$
$(\ln(y))'_x=(x^x\,\ln(x))'$
$(\ln(y))'_y\cdot y'=(x^x\,\ln(x))'$
$\dfrac{1}{y}\,y'=(x^x\,\ln(x))'$
$\dfrac{1}{y}\,y'=(x^x)'\,\ln(x)+x^x\,(\ln(x))'$
En esta otra entrada del blog he calculado la derivada de $x^x$, que es igual a $(x^x)'=x^x\,(1+\ln(x))$; por otra parte, $(\ln(x))'=\dfrac{1}{x}$, con lo cual, la línea anterior queda:
$\dfrac{1}{y}\,y'=x^x\,(1+\ln(x))\cdot\ln(x)+x^x\cdot \dfrac{1}{x}$
$\dfrac{1}{y}\,y'=x^x\,\left((1+\ln(x))\cdot\ln(x)+\dfrac{1}{x}\right)$
$y'=x^{x^{x}}\cdot x^x\cdot \left((1+\ln(x))\cdot\ln(x)+\dfrac{1}{x}\right)$
$\displaystyle y'=x^{x^x+x}\cdot \dfrac{1}{x}\cdot \left(x\cdot \left(1+\ln(x)\right)\cdot\ln(x)+1\right)$
$\displaystyle y'=x^{x^x+x}\cdot x^{-1}\cdot \left(x\,\left(1+\ln(x)\right)\cdot\ln(x)+1\right)$
$\displaystyle y'=x^{x^x+x-1}\cdot \left(x\,\ln(x)+x\,\ln(x)\cdot \ln(x)+1\right)$
$\displaystyle y'=x^{x^x+x-1}\cdot \left(\ln(x^x)+\ln(x)\cdot \ln(x^x)+1\right)$
$\diamond$
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