Un ejercicio en el que deduciremos la fórmula de la suma de un número arbitrario de los primeros términos consecutivos de una sucesión que no es ni aritmética, ni geométrica ... ni cuadrática

Nos preguntamos cuánto vale la suma de los $100\,000$ primeros términos de la sucesión cuyo término general es $a_n=\dfrac{1}{n\,(n+1)}$, ¿y la suma de los infinitos términos?

Veamos qué términos se van formando a partir del término general, para $n=1,2,3,\ldots$. Sustituyendo en la expresión del mismo se obtienen:

$$\dfrac{1}{1\cdot 2}\,,\, \dfrac{1}{2\cdot 3}\,,\, \dfrac{1}{3\cdot 4}\,,\,\,\ldots$$

Veamos ahora el valor de las sumas sucesivas (o sumas parciales):
  $S_1=\dfrac{1}{1\cdot 2}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{1+1}$
    $S_2=\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{2+1}$
      $S_3=\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 4}=\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{3+1}$
        $S_4=\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 4}+\dfrac{1}{4\cdot 5}=\dfrac{4}{5}=\dfrac{4}{4+1}$
          $\ldots$ Luego, para la $i$-ésima suma podemos inducir (hipótesis de inducción):

$$S_i=\dfrac{i}{i+1}\,,\quad i=1,2,3,\ldots \quad (1)$$

-oOo- Demostrémoslo, mediante el método de inducción, que, como ya sabéis, consta de los siguientes tres pasos:

1. Para $i=1$ es claro que se cumple ya que $S_1=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{1\cdot 2}=a_1$
   
2. Formulamos la hipótesis de inducción: la fórmula $(1)$ es válida para $i=k$, luego $S_k=\dfrac{k}{k+1}$ donde $k$ es un entero positivo
   
3. Finalmente (y habremos terminado), demostremos que la fórmula inducida también es válida para $k+1$. En efecto,
       $S_{k+1}=S_{k}+\dfrac{k+1}{(k+1)\,((k+1)+1)}=\dfrac{k}{k+1}+\dfrac{k+1}{k+2}=\dfrac{(k+1)^2}{(k+1)\,(k+2)}=\dfrac{k+1}{k+2}=\dfrac{k+1}{(k+1)+1}$   $\square$

-oOo-

Así pues la suma pedida de los $300$ primeros términos tiene el siguiente valor:

$$S_{100\,000}\overset{(1)}{=}\dfrac{100\,000}{100\,000+1}=\dfrac{100\,000}{100\,001}\approx 0,9999900001$$

Comentario: Démonos cuenta de que los valores de las sumas consecutivas (parciales) van decreciendo monótonamente, aproximándose (aunque lentamente) a $1$; es más, puede afirmarse que dicha sucesión (de sumas sucesivas) converge a $1$, como puede comprobarse de manera inmediata calculando el límite: $\displaystyle \lim_{m\rightarrow \infty}\,\dfrac{k}{k+1}=\lim_{k\rightarrow \infty}\,\dfrac{\frac{k}{k}}{\frac{k}{k}+\frac{1}{k}}=\lim_{k\rightarrow \infty}\,\dfrac{1}{1+\frac{1}{k}}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\infty}}=\dfrac{1}{1+0}=1$. Dicho de otra manera, la suma infinita $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\,S_k$ es igual a $1$, esto es,

$$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\,\dfrac{k}{k+1}=1$$

-oOo-

Observación importante: Si reflexionamos un poco, vemos que, para que, en general, la sucesión de las sumas parciales sea convergente, es necesario que los términos de la sucesión $a_n$ converja a $0$. Podemos comprobarlo para la sucesión que nos ocupa, calculando el límite $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\, a_n$; y así es, en efecto: $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\,\dfrac{1}{n\,(n+1)}=\lim_{n\rightarrow \infty}\,\dfrac{1}{n^2+n}=0$ ya que el polinomio del denominador, $n^2+n$, es de grado superior al del numerador. Sin embargo, tal condición no es suficiente para que la sucesión de las sumas parciales converja, ya que bien pudiera ser (en otras sucesiones) que, a pesar de tender a $0$ los términos de la sucesión, no convergiese la sucesión de las sumas parciales, como es el caso de la sucesión $b_n=\dfrac{1}{n}$: si bien es claro que $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\,\dfrac{1}{n}=0$, la suma de sus términos $\displaystyle \sum_{k\rightarrow \infty}\,\dfrac{1}{k}$, llamada serie armónica, y aunque probarlo de manera rigurosa no es sencillo, que sepáis que diverge. Si os entretenéis a calcular las sumas parciales sucesivas (os sugiero que utilizéis la hoja de cálculo), os daréis cuenta rápidamente de que esta sucesión (de las sumas parciales) no deja de crecer, aunque muy lentamente para los términos avanzados; sus términos van tomando valores cada vez más grandes: $1$, $1+1/2=1,5$, $1+1/2+1/3 = 11/6 \approx 1,83$, $\ldots$.

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