Otra ecuación interesante en cuanto a la técnica idónea para resolverla

Una ecuación del tipo $x^x=x^2$, donde $x$ es una variable real, aunque quizás asuste un poco, no ofrece ninguna dificultad para encontrar la solución por tanteo; a poco que ensayemos, vemos que $3$ y $1$ satisfacen la igualdad: $1^1=1^3=1$ y lo mismo ocurre con $x=3$, pues tanto el primer miembro como el segundo dan como resultado $3^3=27$.

Bien, ¿pero habrá más valores que no podamos encontrar con tanta facilidad, digamos que 'a ojo de buen cubero'? Podríamos responder a esta pregunta con un 'no', pues si atendemos al trazo de las gráficas de las funciones de ambos miembros $y=x^x$ e $y=x^2$, la intersección de las mismas no se da en más de dos puntos, tal como se muestra en la siguiente figura. Ni $0$ ni ningún valor negativo corresponden a abscisas de puntos de intersección de los trazos.

Además, alternativamaente, si no se quiere recurrir al recurso de las gráficas, puede comprobarse que para valores negativos de $x$ el primer miembro es negativo, mientras que el segundo es positivo; y, para el valor $0$ de $x$, a pesar de que para el primer miembro se obtiene una indeterminación $0^0$, ésta se resuelve al tener en cuenta que $x^x$ es una función continua y $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,x^x=1$ (puede comprobarse elaborando una tabla numérica con una hoja de cálculo), con lo cual, $(x^x)_{x=0}=1$, mientras que el valor del segundo miembro toma un valor distinto: $(x^2)_{x=0}=0^2=0\neq 1$.

No obstante, voy a resolver la ecuación empleando las técnicas del álgebra, pues me parece, que, para el caso que nos ocupa, es bastante interesante tomarnos la molestia de comprobar los valores de la solución de los que hemos hablado, y para otros casos en los que no sea tan fácil ver la solución tan 'alegremente', es evidente que no podremos prescindir de ello.

Recordemos que estamos buscando valores positivos de $x$. Para ello, una buena idea para empezar es extraer logaritmos en cada miembro de la igualdad:
  $x^x=x^2$
    $\ln(x^x)=\ln(x^2)$
      $x\,\ln(x)=2\,\ln(x)$
        $x\,\ln(x)-2\,\ln(x)=0$
          $(x-2)\cdot \ln(x)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-2=0 \\ \ln(x)=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}2 \\ 1 \end{matrix}\right.$

En conclusión: la solución de la ecuación pedida $x^x=x^2$ consta de los siguientes valores: $\{1,2\}$

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