Acerca de la función $\,^{n}x:=x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{x}}}}}};n\in\mathbb{N}$ y de las ecuaciones con exponenciaciones sucesivas

La función $\,^{n}x$ se define de la forma $$\,^{n}x:=x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{x}}}}}};n\in\mathbb{N}$$ vamos a resolver la siguiente ecuación, para $x$, números reales no negativos, $$\,^{3}x=\,^{2}x$$

Comencemos con los pasos algebraicos:
  $\,^{3}x=\,^{2}x$
    $x^{x{^x}}=x^x$
      $\ln(x^{x{^x}})=\ln(x^x)$
        $x^x\,\ln(x)=x\,\ln(x)$
          $x^x\,\ln(x)-x\,\ln(x)=0$
            $\ln(x)\cdot\left(x^x-x\right)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\ln(x)=0\Rightarrow x=1 & (1)\\ x^x-x=0 & (2)\end{matrix}\right.$

De $(1)$ ya tenemos un valor de la solución. Veámos ahora qué ocurre con $(2)$:
  $x^x-x=0$
    $x^x=x$
      $\ln(x^x)=\ln(x)$
        $x\,\ln(x)=\ln(x)$
          $x\,\ln(x)-ln(x)=0$
            $(x-1)\,\ln(x)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-1=0\Rightarrow x=1 \\ \ln(x)=0 \Rightarrow x=1\end{matrix}\right.$, resultado que ya se ha obtenido en $(1)$
Entonces, la solución de la ecuación propuesta consta de un sólo valor, que es $x=1$

La siguiente gráfica de las representaciones de las funciones de sendos miembros de la ecuación original ilustran esta solución (punto de intersección):

$\diamond$