Comparación de la media armónica con la media aritmética en unas condiciones concretas

Se consideran dos números reales positivos, $a$ y $b$, tales que $a+b=1$, se pide que demostremos que la media armónica de dichos números es menor que su media aritmética.

Recordemos las definiciones de media armónica de $n$ números, $\text{MH}(\{x_1,\ldots,x_n\}):=\dfrac{n}{\dfrac{1}{x_1}+\ldots+\dfrac{1}{x_n}}$, y de media aritmética, $\text{MA}(\{x_1,\ldots,x_n\}):=\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}$

En el caso que nos ocupa: $\text{MH}(\{a,b\}):=\dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}=\dfrac{2\,ab}{a+b}\overset{a+b=1}{=}2\,ab \quad (1)$

Por otra parte, en el artículo precedente a éste en este mismo blog, y en las condiciones del eneunciado, hemos demostrado que $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\gt 2$, es decir,
  $\dfrac{a+b}{2\,ab} \gt 2$
    $a+b \gt 2\,ab$
      $\dfrac{a+b}{2} \gt ab \Rightarrow ab \lt \dfrac{a+b}{2}=:\text{MA}(\{a,b\}) \quad (2)$

Entonces, recordemos que, de $(1)$, se tiene que:
  $\text{MH}(\{a,b\})=2\,ab \lt ab$
y teniendo en cuenta $(2)$,
  $\text{MH}(\{a,b\})=2\,ab \lt ab \lt \text{MA}(\{a,b\}) \therefore \text{MH}(\{a,b\}) \lt \text{MA}(\{a,b\})$

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Comentario:
Esta relación de desigualdad se generaliza para un número arbitrario de números reales distintos de cero (positivos y negativos) cuya suma no necesariamente sea igual a $1$. La demostración es un poco más elaborada.

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