Un ejemplo sencillo de manejo de errores con las medidas de ángulos

Consideremos un triángulo rectángulo $\triangle ABC$ donde $\angle (CBA)=90^\circ$, $a=2,1 \pm 0,05$ m i $c=3,4 \pm 0,5$ m. Nos planteamos la siguiente cuestión: con qué precisión podemos calcular el valor del ángulo $\angle (BAC)$ (que, por comodidad, denotaremos por $\alpha$) ?

El valor calculado del ángulo $\alpha$ deberá pertenecer al intervalo de incertidumbre que tiene por extremos superior $\arctan{\Big(\dfrac{2,1+0,05}{3,4-0,05}\Big)} \approx 32,69^\circ$ y por extremo inferior $\arctan{\Big(\dfrac{2,1-0,05}{3,4+0,05}\Big)} \approx 30,72^\circ$ esto es, en el intervalo centrado de radio $\dfrac{30,72º-32,69º}{2} =0,985 \lt 1^{\circ}$ y centro $\dfrac{30,72^\circ+32,69^\circ}{2}\approx 32^\circ$

Y, para terminar, a partir del valor del radio de dicho entorno, podemos encontrar la cota de error absoluto del resultado $\Delta_{\alpha} = 1^\circ$ Por lo tanto, podemos concluir que el valor del ángulo calculado tendrá el siguiente margen de error, $\alpha = 32^\circ \pm 1^\circ$ $\diamond$

De desea construir un depósito esférico cuya capacidad sea de $1000 \pm 40 \, \text{l}$. ....

ENUNCIADO:
De desea construir un depósito esférico cuya capacidad sea de $1000 \pm 40 \, \text{l}$. ¿ Cuál debe ser su radio interior ? Calcúlese también una cota de su error absoluto.

SOLUCIÓN:
Como el volumen es igual a $1000 \pm 40 \, \text{dm}^3$ ( 1 litro equivale a 1 decímetro cúbico ), y en una esfera se calcula de la forma $V=\dfrac{4}{3}\,\pi\,r^3$, sabemos que la relación entre las cotas de error relativo es $\varepsilon_V=\varepsilon_r+\varepsilon_r+\varepsilon_r \quad \quad (1)$, por ser las operaciones productos de una misma magnitud, $r$, afectada de error: $r^3=r\cdot \cdot \cdot$ ( los demás factores son exactos ). Entonces, de $$1000=\dfrac{4}{3}\,\pi\,r^3$$ despejando $r$, encontramos el valor aproximado del radio ( que será el centro del intervalo de error ) $$r=\sqrt[3]{\dfrac{3 \cdot 1000}{4 \cdot \pi}} \approx 0,12$$ Por otra parte, de (1), y teniendo en cuenta que $\varepsilon_V=\dfrac{\Delta_V}{V}$, podemos escribir $$\dfrac{40}{1000}=3\,\varepsilon_r$$ luego, despejando la cota de error relativo del radio, obtenemos $$\varepsilon_r = \dfrac{40}{3000} \approx 0,02$$ Y, como $$\varepsilon_r=\dfrac{\Delta_r}{r}$$ obtenemos $$\Delta_r=\varepsilon_r \cdot r \approx 0,2$$ De ahí podemos decir que $r = 6,2 \pm 0,2 \, \text{dm}$ o lo que es lo mismo $r = 62 \pm 2 \, \text{cm}$, es decir, el intervalo de error ( o incertidumbre ) del radio ( expresado en centímetros ) es $I=(62\,,\,64) $
$\square$

Si realizamos una serie de $n$ medidas de ...

Si realitzem una sèrie de $n$ mesures d'una mateixa magnitud trobarem valors diferents
  $\{x_1 \,,\,x_2 \,,\,x_3 \, \ldots \, x_n \}$
la qual cosa demostra l'existència d'errors de tipus aleatori (o accidental) en la mesura

Malgrat no sigui possible predir aquests valors, sí que es demostra (no farem aquí la demostració) que segueixen una distribució de probabilitats normal $N(\mu, \sigma)$:


  On la mitjana $\mu$ és igual a la mitjana mostral

    $\displaystyle \mu = \bar{x}$
    i, per tant, $\mu=\dfrac{{\sum_{i=1}^{n}}\,x_i}{n}$

  I la desviació estàndard $\sigma$ es calcula fent

    $\displaystyle \sigma = \dfrac{s}{\sqrt{n}}$
      on $s$ representa la desviació estàndard de la mostra (de la sèrie de mesures)

      $\displaystyle s=\sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}\,\big(x_{i}-\bar{x}\big)^2}{n-1}}$

Resumint: prendrem el valor $\mu$ de la distribució normal, $\bar{x}$, com a valor estimat $\langle x \rangle$ de la magnitud $X$ mesurada (a partir de la sèrie de mesures efectuades), amb fita d'error accidental igual a $\Delta \, x_{a}$ igual a $\sigma$


Per acabar, també haurem de considerar l'error degut a la precisió de l'instrument de mesura (error instrumental) $\Delta \, x_{ins}$ (donat per la unitat més petita que figura al dispositiu de lectura), per tant, calcularem la fita d'error global fent
$\Delta \, x = \Delta \, x_{ins} + \Delta \, x_{acc}$
obtenint l'interval d'incertesa de la mesura efectuada
$x= \pm \Delta \, d$


Exercici proposat:
Hem fet una sèrie de $6$ mesures del diàmetre d'un cilindre i hem obtingut els següents resultats:
  $\{4,1\;,\;4,2\;,\;3,9\;,\;3,8\;,\;4,3\;,\;4,0\}$
Calculeu el valor estimat del diàmetre del cilindre i la fita d'error absolut lligada a aquest resultat aproximat $\bar{x} \pm \Delta\,x$. Nota: suposarem que l'error instrumental es nul.

[nota del autor]

Cotas de error en las operaciones aritméticas básicas

Donada una suma $a+b$ o bé $a-b$, la fita d'error absolut del resultat $\Delta$ és igual a la suma de les fites d'error dels sumands $\Delta_{a}+\Delta_{b}$ Donat un producte $a \cdot b$ o bé un quocient $a / b$ , la fita d'error re del relatiu del resultat $\Delta$ és igual a la suma de les fites d'error relatiu dels sumands $\delta_{a}+\delta_{b}$ ( cal recordar que $\delta_{x} = \dfrac{\Delta_{x}}{x}$ ). Cal tenir en compte que els errors (absolut i relatiu) són quantitats positives, per tant, les seves fites també. Exemple: Considerem, per exemple, dues quantitats afectades d'error: $a=3,4 \pm 0,1$, amb dues xifres significatives (x.s.) i una xifra decimal significativa (1 x.d.s.), i $b=71,2 \pm 0,3$, amb 3 x.s. i 1 x.d.s. Ens proposem calcular el valor de la suma i del producte, juntament amb les fites d'error absolut dels resultats. Suma: La suma $a+b$ d'ambdues quantitats és igual a $\mathbf{74,6} \pm 0,4$ ja que $\Delta_{a}=0,1$ i $\Delta_{b}=0,3$. És a dir, podem descriure la incertesa del resultat mitjançant l'interval $74,2 < a+b < 75,0$ Una manera senzilla de comprovar que aquesta fitació és correcta consisteix a calcular el valor de la suma prenent els valors dels sumands per defecte ($(71,2-0,3) + (3,4-0,1) \approx \mathbf{74,2} $) i per excés ($(71,2+0,3) \cdot (3,4+0,1) \approx \mathbf{75,0} $). Producte: Pel que fa al producte $a \cdot b = 3,4 \cdot 71,2 \approx \mathbf{24}0 $ (cal aproximar a dues xifres significatives, perquè la data menys precisa, $3,4$ en té dues), li correspon una fita d'error absolut que calcularem tot seguit. Tractant-se d'una operació producte, tal i com hem dit a dalt, es compleix que la seva fita d'error relatiu ha de ser igual a la suma de les fites d'error relatiu dels factors: $\dfrac{0,1}{3,4} < 0,03$ i $\dfrac{0,3}{71,2} < 0,01$, per tant $\delta_{a}=0,03$ i $\delta_{b}=0,01$. Llavors; $\delta_{a \cdot b} = 0,03+0,01 = 0,04$ i, d'aquí, $\Delta_{a \cdot b} = 0,04 \cdot \mathbf{24}0 < 10$ Finalment, podem escriure el resultat del producte de la forma $a \cdot b = \mathbf{24}0 \pm 10$ Tal com hem fet adés amb el resultat de la suma, una manera elemental de comprovar la correcció d'aquest resultat consisteix a calcular el valor del producte prenent els valors dels factors per defecte ($(71,2-0,3) \cdot (3,4-0,1) \approx \mathbf{23}0 $) i per excés ($(71,2+0,3) \cdot (3,4+0,1) \approx \mathbf{25}0 $). I, efectivament, trobem $\mathbf{23}0 < a \cdot b < \mathbf{25}0$, tal i com esperàvem.

Acerca del número de cifras significativas en una cantidad afectada de incertidumbre

Considerem, per exemple, la quantitat $3,141$, amb quatre xifres, valor aproximat del nombre $\pi=3,14159 \ldots$ que hem obtingut fent un truncament per defecte d'aquest nombre. La qüestió que podem plantejar-nos és: són totes les xifres significatives correctes o bé són dubtoses algua o algunes (dels ordres inferiors) ? En general, per decidir si una determinada xifra és correcta (significativa) o bé dubtosa, en bona lògica, direm que és correcta si la fita d'error absolut $\Delta$ és més petita o bé igual que mitja unitat de l'ordre (posició) de la xifra corresponent. Afinant una mica més, direm que una xifra de la part entera és una xifra significativa correcta si es compleix la desigualtat $\Delta \le 0,5 \, \cdot \, 10^{n-1}$ on (n=1, si la xifra considerada correspon a les unitats; n=2, si correspon a les desenes, etcètera). I, per altra banda, cas que la xifra considerada sigui de la part decimal, direm que aquesta xifra significativa és correcta si es compleix la desigualtat $\Delta \le 0,5 \, \cdot \, 10^{-n}$ on (n=1, si la xifra considerada correspon a les dècimes; n=2, si correspon a les centèssimes, etcètera) Esbrinarem tot seguit si la xifra de les mil·lèsimes és dubtosa. Com que, en l'aproximació que hem fet, l'error absolut és igual a $|\pi - 3,141|=0,00059\ldots < 0,0006$ i, per tant, una fita d'error absolut és $\Delta = 0,0006$, tenint en compte que $n=3$, trobem que $\Delta > 0,5 \cdot 10^{-3}$, de la qual cosa es desprén que la xifra de l'ordre de les milèssimes és dubtosa. Pel que fa a la xifra de l'odre de les centèssimes de l'aproximació $\pi \approx 3,141$ (és a dir, el '4'), podem comprovar que és correcta. Vegem-ho. Donat que $\Delta = 0,0006$, i tenint en compte que, ara, $n=2$, trobem que $\Delta < 0,5 \cdot 10^{-2}$ i, per tant, es demostra que la xifra de l'ordre de les centèssimes és correcta. Les xifres d'ordre superior a la de les centèssimes (la de les dècimes i la de les unitats) també han de ser, lògicament, correctes. Resumint: en l'aproximació $\pi \approx 3,141$ tan sols hi ha tres xifres significatives correctes; l'última no l'és.