CdMb1_ct: mayo 2015

viernes, 29 de mayo de 2015

operaciones simbólicas con MAXIMA ... ( Artículo escrito en catalán )

Una bona manera d'engrescar els alumnes de 3r d'ESO a perdre la por a la manipulació simbòlica és fer ús d'un programa CAS. Vegeu a continuació un senzill exemple.

[nota del autor]

Hay infinitos números primos ...

[nota del autor]

Distancia al horizonte ...

Una persona passeja per la platja, s'atura i contempla la mar (la seva altura és de 1,65 m). És l'hora foscant. No veu cap embarcació a la llunyania, només el blau del mar i la fina línia de l'horitzó a la llum de l'ocàs; però, tot d'una, es comença a veure un dels llums de navegació de l'extrem del pal d'un veler (suposem que l'altura del pal és de 10 m). Quina distància hi ha entre el veler i el passejant de la platja ?

Distància a l'horitzó:
Primer de tot, cal saber calcular la distància a l'horitzó d'un observador. Per això podem imaginar una petita boia amb un llum (la seva altura és negligible), siutuada just en el punt més enllà del qual (a més distància de la platja) ja no es pot veure (des de la platja) degut a la curvatura de la Terra.

Posem que a és l'altura d'un observador. Com es pot veure a la figura (la circumferència representa la circumferència meridiana, E el punt de l'horitzó de l'observador E), per fer un càlcul aproximat de la distància a l'horitzó s és possible fer ús del teorema de Pitàgores, en el benentès que l'altura a la qual observem sigui moderada (no pensem en un observador que viatja en un avió a gran altitud, sinó en un observador situat a prop la superfície de la Terra), en el sentit que la distància a l'horitzó s pugui ser aproximada per la longitud DE del quadrat de color verd.

Observeu la configuració del teorema de Pitàgores: els quadrats (de colors marró, verd, i rosa) damunt dels respectius costats del triangle rectangle AED. Naturalment es compleix que l'àrea del quadrat sobre la hipotenusa R+a cal que sigui igual a la suma de les àrees dels altres dos quadrats, bastits damunt els respectius catets; per tant, l'àrea del quadrat de color verd és igual a

que és igual a

Llavors, la longitud del costat d'aquest quadrat pren el valor i és igual, aproximadament a la distància a l'horitzó s

$s \approx \sqrt{2Ra}$

Prenent el radi de la Terra igual, aproximadament, a 3670 km, podem escriure la següent expressió aproximada (fàcil de recordar) per poder fer càlculs aproximats, quan fem observacions "de camp":

$s \approx \sqrt{13 \; a}$

Entrant a en metres, obtenim la distància a l'horitzó en quilòmetres. I, de gran interès per als navegants: si es vol donar en milles nàutiques (NM), cal recordar que

$1 \; NM \approx 1852 \; m \approx 1,852 \; km$

Ara que ja sabem calcular la distància a l'horitzó d'un observador, podrem calcular la distància entre dos observadors; seguint l'exemple, un d'ells és el passejant de la platja (situada a la platja, dreta) i el segon observador el situarem a l'extrem del pal del veler (mirant vers la posició del passejant de la platja). Fem-ho:

Distància entre el veler i el passejant de la platja:
En el cas concret que hem plantejat, cal sumar la distància a l'horitzó del passejant de la platja i la distància a l'horitzó d'un observador que estigués situat a l'extrem del pal (observant en direcció a la platja, on es troba el passejant):

Sumant les distàncies a l'hortizó respectives

trobem que la distància aproximada entre el veler i la la platja és igual a

$s \approx (\sqrt{13\cdot 10} + \sqrt{13\cdot 1,65})/1,852$

i aproximant a una xifra decimal:

$s \approx 8,7 \; \text{NM}$

Referències:

ROJO, A. La física en la vida cotidiana. RBA Libros, 2010
JOUETTE, A. El secreto de los números. Robinbook, 2000

[nota del autor]

Una sencilla prueba de programación modular con WIRIS ... ( Articulo escrito en catalán )

Vaig fer una sencilla prova de programació modular fent servir les llibreries i provant un simple càlcul aritmètic. Sembla que funciona i ho podeu comprovar clicant damunt la imatge

[nota del autor]

jueves, 21 de mayo de 2015

Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto ...

Determineu l'equació de la recta que passa pel punt P(1,5) i que és perpendicular a la recta $r:\,x-y+1=0$

Com que els coeficients de la recta $r$, expressada en en forma general ( $ax+by+c=0$ ), prenen (en aquest problema) els següents valors

$a=1$ i $b=-1$

podem assegurar que un vector $\vec{n}$ perpendicular a la recta $r$ (i, doncs, un vector director de $r_\perp$ ) té per primer component el valor de $a$ i per segon component el valor de $b$, és a dir

$\vec{n}=(1,-1)$

llavors, el pendent de la recta $r_\perp$ (de qualsevol recta perpendicular a $r$) és igual a -1, per la qual cosa

$r_{\perp}:\, y = (-1)\,x+k$

Per determinar el valor de l'ordenada a l'origen de $r_\perp$ cal tenir en compte que $P(1,5) \in r_\perp$, per tant cal que el valor de les seves coordenades sastisfaci l'equació anterior

$5 = -1 + k$

d'on traiem que

$k=6$

Fet això, ja podem escriure l'equació demanada (en forma explícita)

$r_{\perp}:\, y=-x+6$

$\square$

[nota del autor]

Operaciones con números complejos. Ejercicios ...

1. Calculeu l'arrel quadrada de
$-\dfrac{9}{16}$

$\sqrt{\big(-\dfrac{9}{16}\big)}=\sqrt{\big(\dfrac{9}{16} \cdot (-1) \big)}=\sqrt{\big(\dfrac{9}{16}\big)} \cdot \sqrt{-1} = \pm \dfrac{3}{4} \cdot i$
$\square$

2. Donat el nombre $z=-3+\dfrac{5}{9}\,i$, indiqueu el valor de la seves parts, real i imaginària.

$Re(z)=-3$

$Im(z)=\dfrac{5}{9}$

$\square$

3. Calculeu el valor de $m$ per tal que
$z=2m-3+\big(\dfrac{2}{5}+m \big) \, i$
sigui un nombre real.

Perquè sigui un nombre real, la seva part imaginària ha de ser igual a $0$

Com que

$Im(z)=\dfrac{2}{5}+m$

imposant al condició, s'obté

$\dfrac{2}{5}+m=0$

I d'aquí

$m=-\dfrac{2}{5}$

$\square$

4. Calculeu els valors de $x$ i $y$ per tal que
es compleixi la igualtat $7x+(2-y)\, i = (2x-5)-4y\,i$

Igualant les parts reals de tots dos membres
$7x=2x-5$
i resolent aquesta equació, trobem
$x=-1$

Igualant les parts imaginàries de tots dos membres
$2-y=-4y$
per tant
$y=-\dfrac{2}{3}$
$\square$

5. Escriviu l'oposat del nombre complex
$\sqrt{5}-3\, i$

Per trobar l'oposat d'un nombre complex $z=a+i\,b$, canviem el signe de la
part real i també el de la part imaginària.

Llavors,

$(\text{Op}\big(\sqrt{5}-3\, i \big) = -\sqrt{5}+3\, i$

$\square$

6. Escriviu el conjugat del nombre complex
$\sqrt{5}-3\, i$

Per trobar el nombre complex conjugat $\overline{z}$ d'un nombre $z=a+i\,b$, canviem el signe de la de la part imaginària: $\overline{z}=a-i\,b$.

Així, doncs, en el cas concret de l'enunciat fem

$\overline{z} = \sqrt{5}+3\, i$

$\square$

7. Considereu els nombres complexos:
$z_1=-2+i$
$z_1=-3-5i$
Calculeu:
a) $z_1+z_2$
b) $z_1-z_2$
c) el mòdul $r_{z_1}$ de $z_1$
d) el mòdul $r_{z_2}$ de $z_2$
e) el mòdul $r_{z_1+z_2}$ de $z_1+z_2$
f) el mòdul $r_{z_1-z_2}$ de $z_1-z_2$
g) l'angle polar $\theta_{z_1}$ de $z_1$
h) l'angle polar $\theta_{z_2}$ de $z_2$
i) l'angle polar $\theta_{z_1+z_2}$ de $z_1+z_2$
j) l'angle polar $\theta_{z_1-z_2}$ de $z_1-z_2$
k) el nombre complex que resulta del producte $z_{1} \cdot z_{2}$
l) el nombre complex que resulta del quocient
$\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$
m) $\big(z_1\big)^5$
n) $\sqrt{z_1}$

a) $z_1+z_2=-5-4\,i$

b) $z_1-z_2=1+6\,i$

c) $r_{z_1}=\left|\sqrt{\overline{z_{1}}\cdot z_{1}}\right|=\ldots=|\sqrt{5}|$

d) $r_{z_2}=\left|\sqrt{\overline{z_{2}}\cdot z_{2}}\right|=\ldots=|\sqrt{34}|$

e) $r_{z_1+z_2}=\left|\sqrt{\overline{(z_{1}+z_{2})}\cdot (z_{1}+z_{2}}\right|=\ldots=|\sqrt{41}|$

f) $r_{z_1-z_2}=\left|\sqrt{\overline{(z_{1}-z_{2})}\cdot (z_{1}-z_{2}}\right|=\ldots=|\sqrt{37}|$

g) Com que
$Re(z_1)=-2$
$Im(z_1)=1$
l'afix de $z_1$ es troba al 2n quadrant, per tant $\theta_{z_1} = 180º - \arctan{\Big(\dfrac{1}{-2}\Big)} \approx 153º\,23'\,6''$

h)
$Re(z_1)=-3$
$Im(z_1)=-5$
llavors, trobem l'afix de $z_2$ al 3r quadrant, per tant $\theta_{z_2} = 180º + \arctan{\Big(\dfrac{-5}{-3}\Big)} \approx 239º\,2'\,11''$

i)
$Re(z_1+z_2)=-5$
$Im(z_1+z_2)=-4$
llavors, l'afix de $z_1+z_2$ es situa també en el 3r quadrant, per tant $\theta_{z_1+z_2} = 180º + \arctan{\Big(\dfrac{-4}{-5}\Big)} \approx 218º\,39'\,35''$

j)
$Re(z_1-z_2)=1$
$Im(z_1-z_2)=6$
llavors, l'afix de $z_1-z_2$ es troba en el 1r quadrant, per tant $\theta_{z_1-z_2} = \arctan{6} \approx 80º\,32'\,16''$

k) $z_{1} \cdot z_{2} = (-2+i)\cdot (-3-5\,i) =\ldots = 11+7\,i$

l)
$\dfrac{z_{1}}{z_{2}} = \dfrac{-2+i}{-3-5\,i} = \dfrac{-2+i}{-3-5\,i} \cdot \dfrac{-3+5\,i}{-3+5\,i} = \ldots = \dfrac{1}{34}-\dfrac{13}{34}\,i$

m)
$\big(z_1\big)^5=(-2+i)^5$

desenvolupant per la fórmula del binomi de Newton, trobem:

$(-2+i)^5=\ldots=38+41\,i$

n)
Per calcular l'arrel quadrada de $z_1$
$\sqrt{(-2+i)}$ partim del fet que hi han dues solucions (teorema) i que han de ser
nombres complexos $x+i\,y$

Elevem al quadrat tots dos membres de la igualtat
$\sqrt{(-2+i)}=x+i\,y$
i obtenim el sistema d'equacions

$\left.\begin{matrix} x^2-y^2 = -2\\ \\ 2xy = 1\\ \end{matrix}\right\}$

Resolent el sistema d'equacions trobem el següent parell de valors com a resultat de
l'arrel quadrada de $z_1=-2+i$

$r_1=\left|\sqrt{\dfrac{|\sqrt{5}|-2}{2}}\right|+\left|\sqrt{\dfrac{|\sqrt{5}|+2}{2}}\right|\,i$

i

$r_2=-\left|\sqrt{\dfrac{|\sqrt{5}|-2}{2}}\right|-\left|\sqrt{\dfrac{|\sqrt{5}|+2}{2}}\right|\,i$

$\square$

8. Donat el nombre $z=1+i$, calculeu el seu invers.

$\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{1+i}=\dfrac{1}{1+i} \cdot \dfrac{1-i}{1-i} = \ldots = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} \,i$
$\square$

9. Resoleu l'equació $x^2+x+2=0$

Fent ús de la fórmula per trobar les arrels d'una equació polinòmica de 2n grau, trobem
$x=\dfrac{-1 \pm \left|\sqrt{1-8}\right|}{2} \in \mathbb{C}$

d'on surten dues arrels complexes:

$r_1=\dfrac{-1+\sqrt{7}\,i}{2}$

i

$r_2=\dfrac{-1-\sqrt{7}\,i}{2}$

$\square$

10. Resoleu l'equació $x^4+x^2+1=0$

Fent el canvi $x^2=t$, l'equació biquadrada es transforma en una equació polinòmica de 2n grau

$t^2+t+1=0$

que té com a solucions (complexes):

$t_1=\dfrac{-1-\sqrt{3}\,i}{2}$

i

$t_2=\dfrac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}$

Ara, però, cal desfer el canvi de variable: $x=\sqrt{t}$

De $t_1$ trobem dos valor per a la variable $x$: $x_1$ i $x_2$; i de $t_2$, dos més: $x_3$ i $x_4$

Calculem les dues primers a partir de l'arrel quadrada:

$\sqrt{\dfrac{-1-\sqrt{3}\,i}{2}}$

i que és igual a dos nombres complexos del tipus $u+v \,i$; per això, cal plantejar el sistema d'equacions corresponent

que surt d'elevar al quadrat ambdós membres de la igualtat

$\sqrt{\dfrac{-1-\sqrt{3}\,i}{2}}=u+v\,i$

és a dir

$\left.\begin{matrix} u^2-v^2 = -\dfrac{1}{2}\\ \\ 2uv = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{matrix}\right\}$

I, les altre dues, s'obtenen a partir de l'arrel quadrada de

$\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}}$

el resultats de la qual són els nombres complexos del tipus $s+t\,i$

per tant

$\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}}=s+t\,i$

elevant al quadrat cada un dels dos membres i igualant parts reals i parts imaginàries plantegem el sistema d'equacions corresponent

$\left.\begin{matrix} s^2-t^2 = -\dfrac{1}{2}\\ \\ 2st = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{matrix}\right\}$

En resoldre tots dos sistemes d'equacions, obtenint dos valors de $u$ i dos de $v$, i el mateix per a $s$ i $t$

i, a partir d'aquests, podem escriure les quatre solucions de l'equació de quart grau $x^4+x^2+1=0$

$x_1=\sqrt{\dfrac{-1-\sqrt{3}\,i}{2}}$

$x_2=-\sqrt{ \dfrac{-1-\sqrt{3}\,i}{2}}$

$x_3=\sqrt{ \dfrac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}}$

$x_3=-\sqrt{ \dfrac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}}$

$\square$

11. Resoleu l'equació
$2^{x^4+x^2}=1$

Com que $1$ es pot posar com una potència de base $2$: $1=2^0$, podem
escriure l'equació de la forma

$2^{x^4+x^2}=2^0$

els exponents d'ambdós membres han de ser iguals, atesa la igualtat de les bases de les potències

$x^4+x^2=0$

Traient $x^2$ com a factor comú, la podem escriure de la forma

$x^2\, (x^2+1)=0$

de la qual deduïm que:

a) si s'anul·la el primer factor
obtenim $0$ com primera arrel (amb multiplicitat igual a $2$) i, doncs, tenim dues de les quatre solucions $x_1=0$ i $x_2=0$

b) si s'anul·la el segon factor, surten dues arrels més
$x_3=i$
i
$x_4=-i$

$\square$

12. Calculeu $i^{29018745}$

$i^{29018745} = i^{\text{mod}(29018745,4)}=i^1 = i$
$\square$

[nota del autor]

Cinemática. Problemas de movimiento ... ( Artículo escrito en catalán )

En un altre escrit he parlat de l'important concepte velocitat relativa, aplicant-lo a un famós problema de cinemàtica en moviments rectilinis uniformes. Ara mostraré la resolució d'un altre problema ben senzill, fent ús també del concepte de velocitat relativa i estalviant-nos, una vegada més, la típica resolució que passa per plantejar una equació (inevitable quan no fem ús del concepte de moviment relatiu). Com podrem veure de seguida, la manera de resoldre'l permet fer-ho fent càlcul mental, prescindint de plantejar equacions i, per tant, prescindint del llapis i el paper. I, a més, amb una mica de destresa per al càlcul mental de les operacions aritmètiques que apareixeran (multiplicacions i divisions), fins i tot, podrem prescindir de la calculadora. Vegem-ho.

La descripció de la següent situació recorda una mica les històries de corsaris. Us imagineu en el Mediterrani Occidental, a final de segle XVIII, navegant en un ràpid bergantí corsari, amb totes les veles desplegades i perseguint un pesant i lent vaixell mercant ? A les pel·lícules tot això passa molt de pressa, però a la realitat, les persecucions podien durar moltes hores, a vegades més d'un dia: no sempre hi havia prou vent per tal que els corsaris poguessin navegar a la màxima velocitat per poder apropiar-se ràpidament del botí. Sovint, la presa, malgrat ser més lenta, s'escapava, perquè aconseguia refugiar-se a temps a redòs de la protecció que els oferien les bateries de costa d'algun port proper. Per descomptat, el capità corsari feia els seus càlculs - els mateixos, si fa no fa, que els que veureu en aquest problema - i en funció dels resultats, decidia enraonadament si pagava la pena continuar, o no, la persecució. Us comento això per posar-li una mica de sal al problema i que així deixeu anar la fantasia, que no està pas renyida, ni de bon tros, amb la Ciència i les Matemàtiques, ans ben al contrari !.

Enunciat:
Una embarcació A navega en línia recta a una velocitat de 3 nusos. En un moment donat, una segona embarcació B, que es troba a una distància de 12 milles nàutiques de A, comença a seguir-la, navegant a una velocitat de 5 nusos. Quant de temps tardarà a donar-li abast ? Quina distància haurà recorregut des del moment que comença la persecució fins que B doni abast a A ? (Observació. Fem ús d'unitats nàutiques, tal i com es fa realment en navegació: la unitat de distància és la milla nàutica ( 1 milla nàutica = 1852 m); la unitat de velocitat és el nus (1 nus = 1 milla nàutica/h)

Resolució:
Fent ús del moviment relatiu, farem com si l'embarcació A estigués parada i B navegués a una velocitat de 5 – 3 = 2 nusos (velocitat relativa). Llavors, per donar-li abast, tardarà 12 milles nàutiques /(2 nusos) = 6 h. La distància navegada per B serà igual a 5 nusos . 6 h = 30 milles nàutiques; la distància navegada per A (des del moment que B comença a perseguir-la) serà de 3 nusos . 6 h = 18 milles nàutiques.

[nota del autor]

Una embaracación A viaja en línea recta ... ( Artículo escrito en catalán )

De vegades, no cal fer servir llapis i paper per resoldre els problemes més elementals de moviment rectilini uniforme; ni tan sols, calculadora. Vegem a continuació un conegut problema:

Un vaixell A viatge en línia recta a una velocitat constant de 4 km/h (MRU) envers un altre vaixell B el qual es mou a una velocitat constant de 2 km/h en la mateixa direcció que A però en sentit oposat (MRU). En un instant de temps donat, els separa una distància de 6 km. A partir d'aquest instant, un ocell marí que estava posat al pal del vaixell A comença a volar cap a B, i de B cap a A, anant i venint de l'un a l'altre a una velocitat constant de 10 km/h (MRU). Quina distància total haurà recorregut l'ocell fins que es creuin els dos vaixells ?

Primer de tot, necessitem saber quant de temps cal perquè es creuin. Aquest temps és justament el temps de vol de l'ocell (suposem que el canvi de sentit el fa de forma instantània); per tant, per saber quina distància total haurà recorregut, només caldrà multiplicar-lo per la velocitat a la qual es desplaça.

1. Si raonem en termes de velocitat relativa, podem calcular fàcilment la quantitat de temps necessària fins que es creuen ambdues embarcacions, sense necessitat de plantejar cap equació. Com que la velocitat relativa és igual a 4 km/h + 2 km/h = 6 km/h el temps que busquem és igual al que necessitaria un dels dos vaixells viatjant envers l'altra embarcació a la velocitat relativa, suposant aquest segon, parat. Per calcular aquesta quantitat de temps tan sols cal fer 6 km / (6 km/h) = 1 h

2. Finalment, calculem la distància total recorreguda per l'ocell (MRU) fent: 10 km/h · 1 h = 10 km
$\square$

[nota del autor]

Sucesiones recurrentes ...

Considerem la successió {4,6,10,18,34, ...}; de seguida ens adonem que
no és una successió aritmètica, i tampoc és una s. geomètrica. No és una
successió que aparegui sovint als llibres de text dels primers cursos de
secundària. Si ens hi fixem bé, té el següent terme general:
a_n+1 = 2(a_n -1), (n=1,2,3,...), i sabem també que a₁=4

Atès que, per calcular un terme, cal prendre en consideració altres termes precedents [en aquest cas concret, l'anterior, només] direm que és una successió recurrent.

Tota vegada hem escrit el terme general, podem calcular el valor de qualsevol terme de la successió, per exemple, a₆=2(a₅-1). Concretem el seu valor: com que a₅=34, tindrem que a₆=2·(34-1), és a dir, 66.

Una altre exemple de successió recurrent [molt afamada] és l'anomenada successió de Fibonacci (Leonardo de Pisa s XII-XIII) és la següent {0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,...} que, com ja sabeu, està molt relacionada
amb el nombre auri.

[nota del autor]

miércoles, 20 de mayo de 2015

Recta bisectriz del ángulo formado por dos rectas en el plano ... ( Artículo escrito en catalán )

Determineu l'equació de la recta bisectriu de l'angle agut que formen les rectes $r:x+y+1=0$ i $s:2x+y-1=0$

Resolució:
La recta bisectriu demanada és el lloc gemomètric dels punts del pla $P(x,y)$ que compleixen

$d(P,r)=d(P,s)$

per tant

$\frac{a_{r}\,x+b_{r}\,y+c_{r}}{\left|\sqrt{a_{r}^2+b_{r}^2}\right|}=\frac{a_{s}\,x+b_{s}\,y+c_{s}}{\left|\sqrt{a_{s}^2+b_{s}^2}\right|}$

Com que
$a_r=1$, $b_r=1$, i $c_r=1$
i
$a_s=2$, $b_s=1$, i $c_s=-1$

trobem

$\frac{x+y+1}{\left|\sqrt{2}\right|}=\frac{2x+y-1}{\left|\sqrt{5}\right|}$

equació de la recta que, posada en forma general, queda

$\text{recta bisectriu}:(\left| \sqrt{5} \right|-2\,\left|\sqrt{2}\right|) \,x+(\left|\sqrt{5}\right|-\left|\sqrt{2}\right|)\,y+(\left|\sqrt{5}\right|-\left|\sqrt{2}\right|)=0$

$\square$

[nota del autor]

Sea la recta $r$ que pasa por los puntos ...

Una recta r que passa pel punt A(5,-2) té pendent igual a 2. Determineu l'equació de la recta i expresseula en forma: a) vectorial, b) paramètrica, c) contínua, d) explícita, i e) general.

Resolució:
Si el pendent és igual a 2, un vector director de r és $\vec{u}=(1,2)$
per tant l'equació vectorial de la recta es pot escriure de la forma

$r:\,(x,y)=(5,-2)+\lambda \, (1,2)$

equació vectorial que comporta dues equacions escalars (les equacions paramètriques)

$\left.\begin{matrix} x = 5 + \lambda\\ \\ y=-2+2\,\lambda\\ \end{matrix}\right\}$

Aïllant el paràmetre $\lambda$ de cada una de les dues equacions i igualant les expressions que s'obtenen, trobarem l'equació en forma contínua

$\frac{x-5}{1}=\frac{y-(-2)}{2}$

Aïllant $y$ de l'equació anterior, escriurem l'e. en forma explícita

$y=2x-12$

I, agrupant tots els termes en un mateix membre, arribem a l'equació en forma general

$2x-y-12=0$

$\square$

[nota del autor]

Determinar la ecuación de la circunferencia que pasas los los tres puntos siguientes ...

Determineu el valor del radi i les coordenades del centre de la circumferència que passa pels punts A(1,1), B(3,2) i C(6,-1).

Resolució:
El circumcentre d'un triangle és el punt d'intersecció de les rectes mediatrius. Per determinar les seves coordenades, n'hi ha prou a intersectar-ne dues; primer de tot, escriurem les seves equacions a partir de les coordenades dels vèrtexs i, per acabar, resoldrem el sistema d'equacions que, lògicament, ha de ser compatible i determinat.

1r pas: Trobem l'equació de la recta mediatriu $r_1$ que passa per A(1,1) i B(3,2)
Un vector director de la recta mediatriu $r_1$ corresponent al costat AB és un vector perpendicular a un vector director de la recta que passa pels punts A i B, que anomenarem $\vec{n}_{1}$; com que $\vec{u}_{1}=(2,1)$ (el v. director de la recta que passa per A i B), un vector perpendicular és, per exemple, el vector $\vec{n}_{1}=(1,-2)$

llavors, l'equació en forma general del la recta mediatriu $r_{1}$ del segment AB es pot escriure

$r_{1}:\,x-2y+c_{1}=0$

Per determinar el valor del terme independent $c_{1}$, tenim en compte que el punt mig del segment AB, $M(2,\frac{3}{2})$ es troba damunt la recta $r_{1}$

llavors s'ha de complir que
$3-2\cdot \frac{3}{2}+c_1=0$
i, per tant,
$c_1=1$

Llavors, ja podem escriure l'equació de la recta mediatriu del costat AB

$r_1:\,x-2y+1=0$

2n pas: Trobem l'equació de la recta mediatriu $r_2$ que passa per B(3,2) i C(6,-1)
Un vector director de la recta mediatriu $r_2$ corresponent al costat BC és un vector perpendicular a un vector director de la recta que passa pels punts B i C, que anomenarem $\vec{n}_{2}$; com que $\vec{u}_{2}=(1,-1)$ (el v. director de la recta que passa per B i C), un vector perpendicular és, per exemple, el vector $\vec{n}_{2}=(1,1)$

llavors, l'equació en forma general del la recta mediatriu $r_{2}$ del segment BC es pot escriure

$r_{2}:\,x+y+c_{2}=0$

Per determinar el valor del terme independent $c_{2}$, tenim en compte que el punt mig del segment BC, $M(\frac{9}{2},\frac{1}{2})$ es troba damunt la recta $r_{2}$

llavors s'ha de complir que
$\frac{9}{2}+\frac{1}{2}+c_2=0$
i, per tant,
$c_1=-5$

Llavors, ja podem escriure l'equació de la recta mediatriu del costat AB

$r_2:\,x+y-5=0$

3r pas: Resolem el sistema d'equacions $\{r_1,r_2\}$ per trobar les coordenades de G
És important entendre que cal que resolem el sistema d'equacions perquè $G = r_{1} \cap r_{2}$

$\left.\begin{matrix} x-2y=-1\\ \\ x+y=5\\ \end{matrix}\right\}$

Restant la segona equació de la primera, arribem a una equació amb una sola variable

$3y=6$

i d'aquí

$y=2$

Substituint aquest valor en una de les dues equacions originals trobem

$x=3$

per tant les coordenades del baricentre del triangle són

$G(3,2)$

4t pas: Calculem el valor del radi de la circumferència circumscrita

El valor del radi $r$ és igual a qualsevol de les distàncies d(G,A), d(G,B), o d(G,C); totes són - lògicament - iguals, atès que la circumferència circumscrit - de centre G - passa per A, B i C

per tant, si

$d(G,A)=\left|\sqrt{(x_G-x_A)^2+(y_G-y_A)^2} \right|$

que és igual a

$\left|\sqrt{(3-1)^2+(2-1)^2}\right|$

trobem que

$r=\left|\sqrt{5}\right| \, \text{unitats de longitud arbitràries}$

[nota del autor]

Determinar la recta bisectriz ...

Determineu l'equació de la recta bisectriu de l'angle que forme els segments $OB$ i $OC$. Coordenades dels punts: $O(0,0)$, $B(3,5)$ i $C(3,-4)$

Resolució:

Anomenem $r$ a la recta que passa pels punt O(0,0) i B(3,5); la seva equació en forma contínua és

$r:\,\frac{x}{3}=\frac{y}{5}$

que, expressada en forma general, queda

$r:\,5x-3y=0$

per tant, $a_r=5$ , $b_r=-3$ i $c_r=0$

Anomenem $s$ a la recta que passa pels punt O(0,0) i C(3,-4); la seva equació en forma contínua és

$s:\,\frac{x}{3}=\frac{y}{-4}$

que, expressada en forma general, queda

$s:\,4x+3y=0$

per tant, $a_s=4$ , $b_s=3$ i $c_s=0$

La recta bisectriu $rb$ de l'angle que formen les rectes $r$ i $s$ ve donada pel lloc geomètric dels punts del pla P(x,y) que compleixen la següent condició: d(P,r)=d(P,s), condició que es concreta de la forma

$\dfrac{a_{r}\,x+b_{r}\,y+c_{r}}{\left|\sqrt{a_{r}^{2}+b_{r}^{2}}\right|}=\dfrac{a_{s}\,x+b_{s}\,y+c_{s}}{\left|\sqrt{a_{s}^{2}+b_{s}^{2}}\right|}$

i, donades les dades del problema, queda

$\dfrac{5x-3y}{\left|\sqrt{34}\right|}=\dfrac{4x+3y}{\left|\sqrt{5}\right|}$

que reduïrem a comú denominador per – agrupant i ordenant termes - posar-la en forma general

$\text{rb}:\; \big(25-4\,\left|\sqrt{34}\right|\big)\,x+\big(-15-3\,\left|\sqrt{34}\right|\big)\,y=0$

o, si ho preferim, per exemple, en forma explícita

$\text{rb}:\; y= \frac{15+3\,\left|\sqrt{34}\right|} {4\,\left|\sqrt{34}\right|-25}\,x$

on queda ben clar que el pendent és igual a

$\frac{15+3\,\left|\sqrt{34}\right|}{4\,\left|\sqrt{34}\right|-25}$

i l'ordenada a l'origen és igual a zero (la recta bisectriu passa per l'origen de coordenades)

$\square$

[nota del autor]

Ejercicios de ecuaciones con logaritmos y exponenciales ... ( Artículo escrito en catalán )

1. Resoleu l'equació $2^{7x-4}=512$

Com que $512$ es pot escriure com una potència de base $2$
$512=2^9$
l'equació es pot escriure de la forma
$2^{7x-4}=2^9 \Rightarrow 7x-4=9$
d'on trobem que
$x=\dfrac{13}{7}$
$\square$

2. Trobeu els nombres reals que satisfan la igualtat $3^{x^2-3x+3}=1$

El segon membre es pot escriure com la potència de base tres $3^0$; per tant, l'equació queda
$3^{x^2-3x+3}=3^0 \Rightarrow x^2-3x+3=0$
Si resolem aquesta equació algèbrica no trobem nombres reals com a solució
$x=\dfrac{3 \pm \sqrt{-3}}{2} \notin \mathbb{R}$
$\square$

3. Resoleu l'equació $5^x=6$

Traient logaritmes a cada membre de la igualtat
$\ln{5^x}=\ln{6}$
i, per les propietats dels logaritmes, podem escriure
$x\,\ln{5}=\ln{6}$
d'on, aïllant la variable, trobem
$x=\dfrac{\ln{6}}{\ln{5}} \approx 1,1133$
$\square$

4. Resoleu l'equació $\quad \log{(x+1)}+\log{(x-1)}=2\,\log{(x+1)}$

Agrupant els termes semblants i simplificant, la podem posar de la forma
$\log{(x+1)}+\log{(x-1)}=0$
i, per les propietats dels logaritmes, podem escriure-ho de la forma
$\log{(x+1)\cdot \log{(x-1)}}=0 \Leftrightarrow (x+1)\cdot (x-1)=10^{0}$
és a dir
$(x+1)\cdot (x-1)=1$
equació polinòmica de 2n grau que, simplificada, es pot escriure també de la forma
$x^2-1=1$
que, resolta, porta a
$x=\pm |\sqrt{2}|$
d'aquest dos valors, però, tan sols ens interessa el positiu
$\left|\sqrt{2}\right|$
atès que a l'equació original, essent negatiu l'argument, els logaritmes no estarien definits.
$\square$

5. Resoleu l'equació $\quad 3\,\log_{2}{5}+\log_{2}{25}=\log_{2}{x}$

Fent ús de les propietats dels logaritmes, podem escriure l'equació de la manera següent
$3\,\log_{2}{5}+2\,\log_{2}{5}=\log_{2}{x}$
que queda
$5\,\log_{2}{5}=\log_{2}{x}$
d'on
$\log_{2}{5^5}=\log_{2}{x} \Leftrightarrow x=5^5$
$\square$

6. Resoleu l'equació $\quad 3\,\log_{3}{27}-\log_{3}{x}=2$

Com que $\log_{3}{27}=\log_{3}{3^3}=3$ podrem escriure l'equació donada de la forma
$3^2-\log_{3}{x}=2$
que equival a
$\log_{3}{x}=7 \Leftrightarrow x=3^7$
$\square$

7. Calculeu el valor de $x$, mostrant el seu valor aproximat amb cinc xifres significatives $\quad \log_{2}{x}=\log_{3}{5}$

Primer de tot, expressem ambdós membres de la igualtat amb la mateixa base logarítmica (per exemple, en base $e$):

$\log_{2}{x}=\dfrac{\ln{x}}{\ln{2}}$

$\log_{3}{5}=\dfrac{\ln{5}}{\ln{3}}$

Fet això, l'equació original es pot escriure així

$\dfrac{\ln{x}}{\ln{2}}=\dfrac{\ln{5}}{\ln{3}}$

que, aïllant $\ln{x}$, queda

$\ln{x}=\ln{2} \cdot \dfrac{\ln{5}}{\ln{3}}$

i per la propietat fonamental

$x=e^{\frac{\ln{2} \cdot \ln{5}}{\ln{3}}} \approx 2,7606 \quad \text{(5 x.s.)}$

$\square$

8. Resoleu l'equació $\quad \log{(x+\sqrt{3})}+\log{(x-\sqrt{3})}=0$

Per les propietats dels logaritmes, escriurem l'equació equivalent
$\log{\big((x+\sqrt{3})\cdot (x-\sqrt{3})\big)}=0$
i, atès que la base del logaritme és igual a $10$, s'haurà de complir que
$(x+\sqrt{3})\cdot (x-\sqrt{3})=10^0$
és a dir
$x^2-3=1$
d'on trobem que
$x=\pm 2$
d'aquest dos valors, però, tan sols ens interessa el positiu
$x=2$
atès que a l'equació original, essent negatiu l'argument, els logaritmes no estarien definits.
$\square$

9. Resoleu l'equació $\quad 2^{x+1}+2^x+2^{x-1}=49$

Si anomenem $t$ a $2^{x-1}$
podrem escriure l'equació d'una forma molt més senzilla
$4t+2t+t=49$
és a dir
$7t=49$
per tant
$t=7$
I, finalment, desfent el canvi de nom
$7=2^{x-1}$
d'on aïllem $x$ traient logaritmes en tots dos membres d'aquesta igualtat
$\ln{7}=\ln{\big(2^{x-1}\big)}$
atès que, per les propietats dels logaritmes, queda
$(x-1) \, \ln{2} = \ln{7}$
per tant

$x= \dfrac{\ln{7}}{\ln{2}}+1 \approx 3,8074 \, \text{(5 x.s.)}$

$\square$

10. Resoleu l'equació $5^{2x+1}=75$

Traient logaritmes de cada un dels dos membres, i fent ús de la propietat del logaritme d'una potència, podem escriure l'equació equivalent
$(2x+1)\,\ln{5}=\ln{75}$
i d'aquí, aïllant $x$, arribem a la solució

$x=\dfrac{\dfrac{\ln{75}}{\ln{5}}-1}{2} \approx 0,84130 \, \text{(5 x.s.)}$

$\square$

11. Resoleu l'equació $\sqrt{2^{-x+6}}=\dfrac{1}{4}$

Expressant el radical del primer membre en forma de potència d'exponent racional podrem escriure

$2^{( \frac{-x+6}{2})}=\frac{1}{4}$

I traient logaritmes en cada un dels membres

$\big(\dfrac{-x+6}{2}\big)\,\ln{2}=\ln{\dfrac{1}{4}}$

El segon membre $\ln{\frac{1}{4}}$ és igual a $\ln{1}-\ln{4}$, i com que $\ln{1}=0$ queda igual a $-\ln{4}$; llavors, tornant a escriure l'equació, havent fet aquesta simplificació:

$\dfrac{x-6}{2}=\dfrac{\ln{4}}{\ln{2}}$

Per altra banda, observem que

$\dfrac{\ln{4}}{\ln{2}}=\dfrac{2 \cdot\ln{2}}{\ln{2}}=2$

amb la qual cosa, podem simplificar encara més l'equació

$\dfrac{x-6}{2}=2$

d'on, aïllant $x$ trobem

$x=10$

$\square$

12. Resoleu el sistema donat per les següents equacions:

$\left.\begin{matrix} \log{x} + \log{y} = 3\\ \\ 2\,\log{x} - \log{y} = 4\\ \end{matrix}\right\}$

Sumant, membre a membre, ambdues equacions aconseguim una equació que únicament depèn de la variable $x$

$3\,\log{x}=7$
d'on trobem
$x=10^{\frac{7}{3}} \approx 215,44 \, \text{(5 x.s.)}$

Substituint aquest resultat a la primera equació

$\log{10^{\frac{7}{3}}}+\log{y}=3$

Com que
$\log{10^{\frac{7}{3}}}=\dfrac{7}{3} \cdot \log{10}$
i
$\log{10}=1$ (atès que la base del logaritme és igual a l'argument d'aquest), l'equació anterior ens queda

$\dfrac{7}{3}+\log{y}=3$

Aïllant el logaritme arribem a

$\log{y}=3-\dfrac{7}{3}$

i fent l'operació del 2n membre

$\log{y}=\dfrac{2}{3}$

d'on, per la propietat fonamental

$y=10^{\frac{2}{3}} \approx 4,6416 \, \text{(5 x.s.)}$

$\square$

13. Resoleu l'equació $3\,\ln{(x-1)}-\ln{(x^2-1)}=-\ln{(3)}$

Si fem ús de les propietats dels logaritmes, l'equació que ens donen es pot escriure de la forma

$\ln{\Bigg(\dfrac{(x-1)^3}{x^2-1}\Bigg)}=-\ln{(3)}$

i, com que

$-\ln{(3)}=\ln{\big(\dfrac{1}{3}\big)}$

ens queda

$\ln{\Bigg(\dfrac{(x-1)^3}{x^2-1}\Bigg)}=\ln{\big(\dfrac{1}{3}\big)}$

llavors, els arguments dels logaritmes de cada membre han de ser iguals

$\dfrac{(x-1)^3}{x^2-1}=\frac{1}{3}$

reduint a comú denominador, expandint la potència del binomi d'exponent igual a 3, i simplificant, arribem a la següent equació

$3\,x^3-10\,x^2+9x-2=0$

que podem resoldre pel teorema del residu (tema de polinomis), obtenint les següents solucions

$x_1=1$
$x_2=2$
$x_3=\frac{1}{3}$

No obstant, la única solució vàlida - per a l'equació original - és la segona x=2; això és així perquè les altres dues ("1/3" i "1"), porten a logaritmes que no estan definits o bé que es disparen a l'infinit; per veure-ho, substitueix aquests altres dos valors a l'equació original i, entre els termes de l'equació, et trobaràs que "1/3" comporta un logaritme d'argument negatiu (que, com ja saps, no està definit); i "1", un logaritme d'argument igual a zero (que dóna .
menys infinit).

$\square$

[nota del autor]

lunes, 18 de mayo de 2015

Derivando funciones recíprocas

Recordemos algunas cosas esenciales sobre la función recíproca:

Si una función $f$ es biyectiva ( inyectiva y exhaustiva ), entonces existe otra función, $f^{-1}$ a la que denominamos función recíproca ( o inversa ) de la función dada; esta función envía cada valor de función, $y$, al conjunto de partida, haciéndole corresponder un único valor $x$, de tal modo que si $y=f(x)$, entonces $x=f^{-1}(y)$. Tengamos en cuenta que: a) de existir función recíproca, esta es única; b) las funciones que no son biyectivas no tienen función recíproca; c) si una función $g$ es la recíproca de $f$, entonces $f$ es la función recíproca de $g$.

Una propiedad muy importante se refiere a la composición de la función directa $f$ y la función recíproca $f^{-1}$, que es la siguiente $(f \circ f^{-1})(x)=(f^{-1} \circ f)(x)=x$; es decir, $f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = \text{id}$, siendo $\text{id}$ la función identidad, pues para todo $x$ del dominio de definición $D_f$, $\text{id}(x)=x$.

Otra propiedad bastante útil es la siguiente: $D_{f}=\text{Recorrido}_{f^{-1}}$ así como $D_{f^{-1}}=\text{Recorrido}_{f}$

Procedamos ahora a estudiar cómo podemos derivar la función recíproca $f^{-1}$ a partir de la derivada de la función directa $f$:

De la igualdad anteriormente referida $$f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = \text{id}$$ al hacerla actuar sobre $x$ podemos escribir $$(f \circ f^{-1})(x) = (f^{-1} \circ f)(x) = (\text{id})(x)$$ Tomando, por ejemplo, la igualdad entre el primer y el tercer miembro $$(f \circ f^{-1})(x)=(\text{id})(x)$$ es decir $$(f(f^{-1}))(x)=x$$ Derivando ahora cada uno de ambos miembros de esa desigualdad ( aplicando la regla de la cadena ) $$(f(f^{-1})(x))'\,(f^{-1}(x))'=(x)'$$ es decir $$(f(f^{-1})(x))'\,(f^{-1}(x))'=1$$ de donde, despejando, $$(f^{-1}(x))'=\dfrac{1}{(f(f^{-1})(x))'}$$ que, en una notación más compacta ( menos farragosa, pero menos rigurosa ) podemos expresar de la forma $$x'_{y}=\dfrac{1}{y'_x}$$ entendiendo que $y_x$ representa $f(x)$ y que $x_y$ representa $f^{-1}(x)$.

Por supuesto, también se cumple que $$(f^{-1}(f(x))'\,f'(x)=1$$ y por tanto $$f'(x)=\dfrac{1}{(f^{-1}(f(x))'}$$ que podemos resumir de forma más compacta de la forma $$y'_x=\dfrac{1}{x'_y}$$

Ejemplo:
Sea la función biyectiva $y=\sqrt[3]{x}$. ¿ Cuál es su derivada ?. Vamos a utilizar lo explicado ( si bien podríamos derivar dicha función expresándola en forma de potencia con exponente fraccionario y derivar directamente ).

Observemos que la función recíproca es $x=y^3$; su derivada es $x'_{y}=3y^2$. Entonces, por la regla de derivación de la función recíproca debe cumplirse que $$y'_{x}=\dfrac{1}{x'_y}$$ esto es, $$y'_x=\dfrac{1}{3y^2}=\dfrac{1}{3\,(\sqrt[3]{x})^2}$$ $\square$

[nota del autor]

jueves, 14 de mayo de 2015

El pentágono regular y el número áureo ... ( Artículo escrito en catalán )

Pueden leer [ aquí ] algunos detalles sobre el número de oro y su relación con la diagonal de un pentágono regular.
-oOo-Observarán que los cálculos ( que no son complicados ) están hechos con DERIVE, ya que, cuando escribí esas notas ( hace ya muchos años ), estaba ensayando con dicho programa de cálculo simbólico, que por entonces era de las pocas herramientas CAS al alcance de los profesores y alumnos de Bachillerato. Todavía conservo mis viejas copias registradas de DERIVE ( incluso una del año 1994 ); y, actualmente, a pesar de utilizar casi siempre MAXIMA ( en el correr de los tiempos ), sigo empleándolo alguna vez; es una magnífica herramienta. $\square$

Demostración del Teorema del coseno ... ( Artículo escrito en catalán )

Considerem un triangle general ABC, com el de la figura.

En traçar una altura (per exemple, la que passa pel vèrtex C) el triangle ABC queda dividit en dos triangles rectangles. Del triangle rectangle MBC, $a^2=h^2+n^2$ (1) (teorema de Pitàgores). Tenint en compte que $n=c-b\,\cos(\alpha))$ (triangle rectangle AMC) i que $h=b\,\sin(\alpha))$ (triangle rectangle MBC), podrem escriure la igualtat (1) de la forma:

$a^2=b^2\,\sin^{2}(\alpha)+(c-b\,\cos(\alpha))^2$

que, simplificada, queda

$a^2=b^2+c^2-2\,b\,c\,\cos(\alpha)$

Semblantment, si repetim el procés traçant les altres altures trobarem:
$b^2=a^2+c^2-2\,a\,c\,\cos(\beta)$
i
$c^2=a^2+b^2-2\,b\,a\,\cos(\gamma)$
$\square$

[nota del autor]

lunes, 11 de mayo de 2015

Una lista con algunos problemas típicos de geometría analítica del plano ...( Artículo escrito en catalán )

Donats dos punts A i B, quina és l'equació de la recta que hi passa ? (en forma vectorial, paramètrica, continua, explícita i implícita)

Donat un punt A i el pendent m d'una recta, quina és l'equació de la recta que passa per A ? (en forma vectorial, paramètrica, continua, explícita i implícita)

Donat un punt A i un vector u, quina és l'equació de la recta que passa per A i que té la direcció de u? (en forma vectorial, paramètrica, continua, explícita i implícita)

Quina relació hi ha entre el producte escalar euclidià i el teorema del cosinus ?

Càlcul de l'angle que formen dues rectes o dos vectors a partir del producte escalar entre vectors. Observació: també s'hi pot arribar a partir de la suma algèbrica d'angles polars.

Paral·lelisme i perpendicularitat. Condicions sobre el producte escalar.

L'espai vectorial afí euclidià R². Expressió d'un vector en funció dels vectors d'una base de R². Problemes relacionats amb bases vectorials.

Donats el vèrtexs d'un triangle general A, B i C, quines són les equcions de les rectes mediatrius, i les de les rectes medianes, les de les rectes altures i les de les bisectrius ? Quines són les coordenedes del baricentre, l'incentre, el circumcentre i l'ortocentre ? Quant val l'àrea del triangle ? I el perímetre ? Quant mesuren els angles ?

Donades les coordenades dels vèrtexs d'un triangle general A, B i C, quina és l'equació de la circumferència circumscrita ? I l'equació de la circumferència inscrita ?

Donada l'equació d'una circumferència C i les coordenades d'un punt P, quant val la potència de P respecte de C ? Cóm podem saber si P és exterior, interior o bé pertanyent a C a partir del valor de la potència ?

L'eix radical de dues circumferències C₁ i C₂ es defineix com el lloc geomètric dels punts de R² que tenen igual potència respecte de l'una i de l'altra. Si coneixem les equacions de les circumferències, quina és l'equació de l'eix radical ?

El centre radical de tres circumferències C₁, C₂ i C₃ es defineix com el punts que té igual potència respecte de totes tres circumferències. Si coneixem les equacions de les circumferències, quines són les coordenades d'aquest punt ?

Donada una recta r i un punt P exterior a r, quina és l'equació de la recta que passa per P i és perpendicular a r ?

Donades rectes secants r i s, quina és l'equació de les rectes bisectrius ?

Donada una recta r i un punt exterior a la mateixa P, quant val la distància d(P,r) ?

Donades dues rectes r i s, quant val la distància entre ambdues rectes d(r,s) ?

Donada una circumferència C i dos punts del seu lloc geomètric, A i B, quin és l'angle que formen les rectes tangents a C en A i en B ?

Donat un punt P comú a dues rectes r i s, i un punt Q de tal manera que d(Q,r)=d(Q,s)=d, quines són les equacions de r i s ?

[nota del autor]

Calcular el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto ... ( Articulo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu el valor del pendent de la recta tangent a la corba que ve donada per la funció $f(x)=-x^3+x^2+1$ en el punt d'abscissa $x=-1$

Resolució:
La funció derivada de la funció donada és igual a
$f^{'}(x)=-3\,x^2+2\,x$
Aquesta funció (derivada) dóna el valor del pendent $m$ de la recta tangent a la corba descrita per $f(x)$ en cada un dels punts on la funció és derivable i, en particular, en el punt d'abscissa $x=-1$.
Per tant
$m$ és igual a $f^{'}(-1)$
Substituint $x$ per aquest valor s'obté
$m=-2\,\big(-1\big)^2+2\cdot\big(-1\big)$
i que és igual a $-5$
$\square$

[nota del autor]

Calcular las derivadas de las siguientes funciones ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Trobeu la funció derivada de les següents funcions:
a) $f(x)=(5-4\,x)^{6}$
b) $g(x)=\sqrt[3]{x^2}$
c) $h(x)=\dfrac{1}{x^2}$
d) $l(x)=x\,\cdot\,e^{x}$

a)
Fent ús de la regla de derivació de les funcions potencials i de la regla de la composició de funcions (regla de la cadena) s'obté
$f^{'}(x)=6\,(5-4x)^{5} \, (5-4x)^{'}$
és a dir
$f^{'}(x)=-24\,(5-4x)^{5}$
$\square$

b)
Escrivint l'expressió amb radicals en forma de potència de base $x$ d'exponent racional, podrem escriure
$\displaystyle g(x)=x^{\frac{2}{3}}$
I aplicant, ara, la regla de derivació de les funcions potencials
$\displaystyle g^{'}(x)=\dfrac{2}{3}\,x^{\frac{2}{3}-1}$
que també es pot expressar de la forma
$g^{'}(x)=\dfrac{2}{3\,\sqrt[3]{x}}$
$\square$

c)
Expressant l'expressió algèbrica en forma de potència de base $x$ amb exponent racional, podrem escriure
$\displaystyle h(x)=x^{-2}$
I aplicant, ara, la regla de derivació de les funcions potencials
$\displaystyle h^{'}(x)=-2\,x^{-2-1}$
que, simplificant i expressant en forma de fracció algèbrica, queda
$h^{'}(x)=-\dfrac{2}{x^3}$
$\square$

d)
Aquí farem ús de la regla de derivació d'un producte de funcions, atès que els factors de l'expressió $x$ i $e^x$ són de naturalesa ben diferent i, per tant, no podem compactar prèviament
$\displaystyle l^{'}(x)=(x)^{'}\,e^x+x\,\bigg(e^{x}\bigg)^{'}$
per tant
$\displaystyle l^{'}(x)=e^x+x\,e^x$
I, extraient factor comú, podem simplificar de simplificar, escrivint finalment
$\displaystyle l^{'}(x)=e^{x}\big(x+1\big)$
$\square$

[nota del autor]

sábado, 9 de mayo de 2015

Sea $X$ una variable aleatoria normal ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Si $X$ és una variable aleatòria $N(5,2)$, calculeu:
a) $P(X \le 2,1)$
b) $P(\left|X\right| \le 3,4)$

Observació:
Tenint en compte que $X$ és una v.a. contínua, és irrellevant el fet de posar desigualtats estrictes o febles, atès que - recordem-ho - la probabilitat d'un valor puntual $X=k$ és nul·la
$P(X=k)=0$

Resolució:
a) Fent el canvi
$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$
podem passar a treballar amb una distribució normal estàndard i, per tant, podrem fer ús de les taules de la funció de distribució de probabilitat $N(0,1)$
Llavors
si $x=2,1$
$z=\dfrac{2,1-5}{2}$
$=-1,45$
és a dir
$P(X \le 2,1) = P(Z \le -1,45)$
i, tenint en compte la simetria de la funció de densitat $f(z)$, podem escriure que
$P(Z \le -1,45)= 1-P(Z \le 1,45)$
Com que $P(Z \le 1,45)=F(0,45)$ tenim que, de les taules $N(0,1)$, trobem
$F(0,45)=0,9265$
Finalment
$P(X \le 2,1)=1-0,9265$
$=0,0735$
$\square$

b) Treballarem (com en l'apartat anterior) amb la v.a. normal estàndard $Z$ i, per això, fem el canvi
$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$
Com que
si $x=3,4$
$z=\dfrac{3,4-5}{2}$
$=-0,8$
$P(\left|X\right|<3,4)=P(\left|Z\right| \le -0,8)$

que és igual a
$P(-0,8 \le Z \le 0,8)$
i, per tant, a
$P(Z\le 0,8)-P(Z \le -0,8)$
i, per la simetria de $f(z)$, i amb la finalitat de fer ús de les taules, podem escriure-ho de la forma
$P(Z \le 0,8)-\big(1-P(Z \le 0,8)\big)$

tenint en compte que
$P(Z \le 0,8)$ ve donat per $F(0,8)$
consultant les taules, trobem
$P(\left|X\right|<3,4)=F(0,8)-\big(1-F(0,8)\big)$

$=1-2\cdot \big(1-0,7881\big)$
$=0,5762$
$\square$

[nota del autor]

Sea una variable aleatoria normal ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Si $X$ és una v.a. $N(3,1)$, calculeu $P(\left|X-6\right|\ge1,5)$

Resolució:
$\left|X-6\right|\ge 1,5 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} X-6 \ge 1,5 \; \text{si} \; X \ge 6 \\ \vee \\6-X \ge 1,5 \; \text{si} \; X < 6 \\ \end{matrix}\right.$

és a dir

$\left|X-6\right|\ge 1,5 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} X\ge 7,5 \; \text{si} \; X \ge 6 \\ \vee \\X < 4,5 \; \text{si} \; X < 6 \\ \end{matrix}\right.$

Per tant

$P(\left|X-6\right|\ge1,5)=P(X \le 4,5)+P(X \ge 7,5$
$=P(X \le 4,5)+\big(1-P(X \le 7,5)\big) \quad \quad (1)$

i fent el canvi
$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$
on $\mu=3$ i $\sigma=1$
passarem a treballar (de forma equivalent) amb la variable aleatòria $Z$ normal estàndard i, doncs, podrem fer ús dels valors tabulats de la seva funció de distribució $F(z)$

A partir d'aquí, trobem que el resultat del càlcul (1) és igual a
$P\bigg(Z \le \dfrac{4,5-3}{1}\bigg)+\Big(1-P\bigg(Z \le \dfrac{7,5-3}{1}\bigg)\Big)$
que, en termes de la funció de distribució de probabilitat $F(z)$ [per a la consulta de les taules de la funció de distribució de $Z \sim N(0,1)$] es pot expressar de la forma
$F(1,5)+1-F(4,5)$

Com que $P(Z \le 4,5)$ [ és a dir, el valor de la funció de distribució per a $Z$ igual a $4,5$ ] és, pràcticament, igual a $1$ (vegeu les talues):
$F(4,5) = 1$
i, atès que, $F(1,5) \approx 0,9332$ (taules)
trobem que
$P(\left|X-6\right|\ge1,5)\approx 0,9332$

$\square$

[nota del autor]

Una variable aleatoria binomial ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Una variable aleatòria $X$ és $B(9 \; , \; 0,25)$. Calculeu:
a) el valor de $\mu$ ( esperança matemàtica de $X$ )
b) el valor de $\sigma$ ( desviació de $X$ )
c) $f(7)$
d) $P(X \le 8)$
e) $F(5)$
f) $P(X=4)$
g) $P(3 < X \le 6)$

Resolució:
a)
$\mu=n\,p$
$=9\cdot 0,25$
$=2,25$
$\square$

b)
$\sigma=\sqrt{n\,p\,q}$
$=\sqrt{9\cdot 0,25 \cdot 0,75}$
$\approx 1,2990$
$\square$

c)
$f(7)=P(X=7)$
$=\binom{9}{7}\,0,25^{7}\cdot 0,75^{9-7}$
$\approx 0,0012$
$\square$

d)
$\displaystyle P(X \le 8)=\sum_{i=0}^{8}\,P(X=i)$
$=\sum_{i=0}^{8}\,\binom{9}{i}\,0,25^{i}\cdot 0,75^{9-i}$
$\approx 0,9999962$
$\approx 1$
$\square$

e)
$\displaystyle F(5)=P(X \le 5)=\sum_{i=0}^{5}\,P(X=i)$
$=\sum_{i=0}^{5}\,\binom{9}{i}\,0,25^{i}\cdot 0,75^{9-i}$
$\approx 0,9900$
$\square$

f)
$\displaystyle P(X=4)=\binom{9}{4}\,0,25^{4}\cdot 0,75^{9-4}$
$\approx 0,1168$
$\approx 1$
$\square$

g)
$\displaystyle P(3 < X \le 6)=P(X \le 6)-P(X < 3)$ $=P(X \le 6)-P(X \le 2)$

$=\sum_{i=0}^{6}\,\binom{9}{i}\,0,25^{i}\cdot 0,75^{9-i}-\sum_{i=0}^{2}\,\binom{9}{i}\,0,25^{i}\cdot 0,75^{9-i}$
$\approx 0,3980$
$\square$

[nota del autor]

En un examen de oposición participan hombres y mujeres en una proporción de ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
En una oposició hi participen homes i dones en la proporció 4 a 5. La probabilitat que aprovi un home és de $0,75$, i que aprovi una dona, de $0,8$. Us demanem:
a) La probabilitat que, una d'aquestes persones escollida l'atzar, estigui aprovada
b) Sabent que una persona ha aprovat, calculeu la lprobabilitat que sigui una dona

Resolució:
a)
Designem amb la lletra $A$ el succés "un opositor aprovat"; amb la lletra $H$, el succés "un opostor que sigui un home"; amb la lletra $D$, "un opositor que sigui una dona".

D'acord amb l'enunciat, la probabilitat que un opositor escollit a l'atzar sigui un home és de $P(H)=4/9$, i que sigui una dona, $P(D)=5/9$

Llavors, pel teorema de la probabilitat total
$P(A)=P(A|H)\cdot P(H)+P(A|D)\cdot P(D)$

Tenint en compte (enunciat) que
$P(A|H)=0,75$
$P(A|D)=0,8$

$P(A)=0,75 \cdot \dfrac{4}{9}+0,8\cdot \dfrac{5}{9}$
$=\dfrac{7}{9}$

$\square$

b)
Pel teorema de Bayes

$P(D|A)=\dfrac{P(A|D)\cdot P(D)}{P(A)}$
$=\dfrac{4/9}{7/9}$
$=\dfrac{4}{7}$

$\square$

[nota del autor]

Una tienda dispone de dos sistemas de alarma ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Una botiga disposa de dos sistemes d'alarma, A i B, independents. La fiabilitat del sistema A és del 85% i la del sistema B del 92%. Calculeu la probabilitat que, en cas de perill:
a) funcioni almenys una de les alarmes
b) funcionin totes dues alarmes
c) funcioni només una de les dues alarmes
d) no funcioni cap alarma

Resolució:

Designem amb $A$ el succés "el sistema d'alarma A funcioni"; amb $\bar{A}$, "el sistema A no funcioni"; $B$ el succés "el sistema d'alarma B funcioni"; i amb $\bar{B}$, "el sistema B no funcioni".

I, d'acord amb l'enunciat:

$P(A)=0,85$
$P(\bar{A})=1-P(A)$
$=0,15$

$P(B)=0,92$
$P(\bar{B})=1-P(B)$
$=0,08$

a)
P("funcioni almenys una de les alarmes")=1-P("no funcioni cap alarma")
P("no funcioni cap alarma") $=P(\bar{A})\cap P(\bar{B})$
i, donat que els successos són independents (sistemes d'alarma independents), sabem que
$P(\bar{A})\cap P(\bar{B})=P(\bar{A})\cdot P(\bar{B})$
Per tant
P("funcioni almenys una alarma") $=1-0,15 \cdot 0,08$
que és igual a $0,988$
$\square$

b)
P("funcionin totes dues alarmes") $=P(A)\cap P(B)$
i, donat que els successos són independents
$P(A)\cap P(B)=P(A)\cdot P(B)$
Per tant
P("funcionin totes dues alarmes") $=0,85 \cdot 0,92$
que és igual a $0,782$
$\square$

c)
P("funcioni només una de les alarmes") $=P\big (A \cap \bar{B}) \cup (\bar{A} \cap B) \big)$
tenint en compte que els successos $A \cap \bar{B}$ i $\bar{A} \cap B$ són incompatibles, podem escriure
$P\big((A \cap \bar{B}) \cup (\bar{A} \cap B) \big) = P(A \cap \bar{B})+ P(\bar{A} \cap B)$
i doant que els dos sistemes d'alarma són independents,
$P(A)\cap P(\bar{B})=P(A)\cdot P(\bar{B})$
$P(\bar{A})\cap P(B)=P(\bar{A})\cdot P(B)$
trobem que
P("funcioni només una de les alarmes") $=0,15 \cdot 0,92 + 0,85 \cdot 0,08$
que és igual a $0,206$
$\square$

d)
P("no funcioni cap alarma") $=P(\bar{A}) \cap \bar{B})$ [vegeu també l'apartat (a) ]
Recordem que els sistemes d'alarma són independents, per tant
$P(\bar{A} \cap \bar{B})=P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B})$
$=0,15 \cdot 0,08$
$=0,012$
$\square$

[nota del autor]

Una urna contiene veinte bolas ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
En una urna hi ha vint boles, de les quals vuit són blanques i la resta són negres. Extraiem a l'atzar quinze boles, successivament i amb reemplaçament. Quant val la probabilitat que, d'aquestes quinze boles que hem tret, almenys vuit siguin blanques ?

Resolució:
Els possibles valors de la variable aleatòria $X$ (nombre de boles blanques que han aparegut en les quinze realitzacions ) són $\{0,1,2,3,\ldots,15\}$. La prªobabilitat $p$ que en una extracció surti una bola blanca (probabilitat d'èxit) és igual a $8/20$, és a dir, $\frac{2}{5}$; i la probabilitat de fracàs (que surti una bola negra) és, per tant, igual a $\frac{3}{5}$

Es tracta, doncs, d'un problema de variable aleatòria discreta $X$ que segueix el model binomial $B(n, p)$, amb $n=15$ i $p=2/5$ ( probabilitat d'èxit )

La probabilitat demanada (que almenys hi hagi vuit boles blanques entre les quinze boles que hem tret) es pot expressar de la forma
$\displaystyle \sum_{i=8}^{15}\,P(X=i)$
que és el mateix que
$P(X \ge 8)$
i que ha de ser igual a
$1-P(X \le 7)$

A continuació, calcularem el valor d'aquesta expressió i, per això, és molt convenient que fem servir l'aproximació del model binomial pel model normal (de Gauss), atès que d'aquesta manera, els càlculs (amb les taules de la funció de distribució d'aquest model) seran ràpids i senzills.

Primer de tot, però, cal comprovar que es compleixen les condicions per tal que puguem fer aquesta aproximació:
és a dir, que $p$ ( i $q$ ) no siguin ni massa propers a zero ni a u; i, per altra banda, cal que $n\,p > 5$.

Trobem que sí, efectivament, podem fer servir l'aproximació
$X \sim B(n,p)$ per $X^{'} \sim N(n\,p \; , \; \sqrt{n\,p\,q})$
atès que $p = 0,4$ i $n \, p = 15 \cdot 0,4 = 6 > 5$

Calculem, doncs, $P(X \le 7)$
$P(X \le 7) \approx P(X^{'} \le 7+0,5 $ (correcció de Yates)
i fent el canvi
$Z=\dfrac{X^{'}-\mu}{\sigma}$
on
$\mu=n \,p = 6$
i
$\sigma=\sqrt{n\,\,p\,q} \approx 1,8974$
passem a treballar, de forma equivalent, amb una v.a. $Z \sim N(0,1)$ i, per tant, podrem fer servir les taules de la funció de distribució $F(z)$

Calculem el valor de la fita per a $Z$:
Si $x^{'}=7,5$ trobem que
$z=\dfrac{7,5-6}{1,8974}\approx 0,7906$

Llavors, consultant les taules trobem
$F(0,79)=0,7852$
$F(0,80)=0,7881$
d'on, per interpolació lineal, obtenim
$F(0,7906)=\ldots=0,7854$

És a dir
$P(X^{'}\le 7,5)=P(Z \le 0,7906) \approx 0,7854$
i, per tant, finalment, recodem que
$P(X \ge 8) \approx 1-P(X^{'} \le 7,5)$
que és igual a $0,2146$

$\square$

[nota del autor]

En una partida de quinientas linternas, la duración de las mismas sigue un modelo normal ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
En una partida de cinc-centes llanternes, la durada d'aquestes segueix un model normal; amb una mitjana de vuitanta hores i una desviació estàndard de dues hores. Quantes cal esperar que durin entre setanta-cinc hores i vuitanta-dues hores ?

Resolució:
És obvi que la variable aleatòria temps de vida útil d'una llanterna $X$ segueix una distribució normal. I, donats els paràmetres: $\mu=80 \, \text{h}$ i $\sigma=2 \, \text{h}$, és clar que $X \sim N(80 \, , \, 2)$

Llavors, ens proposem calcular
$P(75 \le X \le 82)$
que és igual a
$P(X \le 82)-P(X \le 75)$

Fent l'estandarització
$Z=\dfrac{X-80}{2}$
passem a treballar, de forma equivalent, amb una distribució $N(0,1)$

Per això, calculem els valors de les fites corresponents a $Z$:
Si $x=82$, $z=\dfrac{82-80}{2}=\ldots=1$
Si $x=75$, $z=\dfrac{75-80}{2}=\ldots=-2,5$

Finalment,
$P(75 \le X \le 82)=P(-2,5 \le Z \le 1)$
$=F(1)-\big(1-F(2,5)\big)$ (per les propietats de simetria de la funció de densitat del model normal )
és a dir
$=F(1)+F(2,5)-1$

I, consultant les taules, trobem
$F(1)=0,8413$
$F(2,5)=0,9798$

amb la qual cosa arribem al següent resultat per a la probabilitat
$P(75 \le X \le 82) = \ldots = 0,8211$ ( amb 4 xifres significatives )

I, finalment, a partir de la interpretació estadística de la probabilitat, determinem el nombre de llanternes $n$ que s'espera que la seva vida útil estigui fitada entre els valors donatses

$n = 500 \cdot 0,8211 \approx 410 \; \text{llanternes}$

$\square$

[nota del autor]

La distribución de probabilidad hipergeométrica ... ( Artículo escrito en catalán )

El model de variable aleatòria hipergeomètrica és un model de v.a. discreta que dóna la solució al següent problema.

Considerem el problema d'extreure $n$ boles sense reemplaçament d'una urna on hi ha $N$ boles de colors, $m$ de les quals són blanques ( $ N \ge m $ ). Quant val la probabilitat que hi hagi
$k$ boles blanques ( $k \le n$ ) entre les $n$ boles que hem tret de la urna ?

D'acord el tipus de problema (combinacions ordinàries), al principi multiplicatiu, i al principi de Laplace (per assignar probabilitats probabilitats a successos igualment probables), entenem que la variable aleatòria $X$ (nombre de boles blanques que apareixen a l'extracció de les $n$ boles) pren valors en el conjunt $\{0,1,2,\ldots,m \}$ podem escriure

$\displaystyle P(X=k)=\dfrac{\binom{m}{k}\,\binom{N-m}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

Es demostra que els paràmetres d'aquest model de v.a. són

Esperança de $X$:
$\displaystyle \mu = \dfrac{n\,m}{N}$

Variància de $X$:
$\displaystyle \sigma^2 = \dfrac{n\,m\,(N-n)\,(N-m)}{N^2\,(N-1)}$

Exemple 1

Enunciat:
En una urna hi ha deu boles de colors, entre les quals n'hi ha quatre de color blanc. Extraiem set boles a la vegada ( que és equivalent a treure-les una a una, però sense reemplaçar-les a mesura que les anem traient ). Quant val la probabilitat que entre aquestes set boles n'hi hagi tres de blanques ?

Resolució:
De l'expressió general
$\displaystyle P(X=k)=\dfrac{\binom{m}{k}\,\binom{N-m}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
tenint en compte que
$N=10$
$m=4$
$n=7$
$k=3$
calculem directament
$\displaystyle P(X=3)=\dfrac{\binom{4}{3}\,\binom{10-4}{7-3}}{\binom{10}{7}}=\ldots=\dfrac{1}{2}$
$\square$

[nota del autor]

Ejercicios de cálculo de probabilidades ... ( Artículo escrito en catalán )

Exercici 1:
En un edifici de set plantes coincideixen dues persones a la porta de l'ascensor d'una determinada planta. Calculeu la probabilitat que:
a) no vagin a la mateixa planta
b) vagin a la mateixa planta