Un sencillo ejercicio de demostración

Se consideran dos números reales positivos, $a$ y $b$, tales que $a+b=1$. Se pide que demostremos que, en estas condiciones, $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\gt 2$

Ya sea que $a=b$, o, por el contrario, que $a\neq b$, podemos demostrar la desigualda propuesta de la siguiente manera:   $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=$
    $=\dfrac{a+b}{a}+\dfrac{a+b}{b}$
      $=\dfrac{a}{a}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{b}$
        $=1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+1$
          $=2+\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)$
Y teniendo en cuenta que, al ser $a$ y $b$, positivos y menores que uno, se tiene que $0\lt \dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\gt 1$. En consecuencia, $2+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\gt 2$. Por consiguiente,
$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\gt 2$$

  $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=$
    $=\dfrac{a+b}{a}+\dfrac{a+b}{b}$
      $=\dfrac{a}{a}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{b}$
        $=1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+1$
          $=2+\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)$
Y teniendo en cuenta que, al ser $a$ y $b$, positivos, se tiene que $\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\gt 0$. En consecuencia, $2+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\gt 2$. Por consiguiente,
$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\gt 2$$ $\diamond$