$(-2)^x=2$

Vamos a encontrar la solución de la siguiente ecuación $$(-2)^x=2$$

Para empezar, y lo que vamos a decir es importante, observemos que, buscando entre el conjunto de los números reales, el dominio de definición de la función $f(x)=(-2)^x$ se reduce al conjunto de los números enteros; en efecto, podemos calcular sin problema la imagen (dentro del conjunto de los números racionales) de un número entero como, por ejemplo, $-3$: $f(-3)=(-2)^{-3}=(-2)^{3\cdot (-1)}=((-2)^{3})^{-1}=\dfrac{1}{(-2)^3}=\dfrac{1}{-8}=-\dfrac{1}{8}$, pero si intentamos calcular la imagen de un número decimal, vemos enseguida que no la tiene; para poner de relieve esto, pongamos por ejemplo que $x=1,1$, entonces si denotamos $t=(-2)^{1,1}$, la única manera de calcular dicho valor $t$ (es decir, el valor de la función en $x=1,1$) pasa por extraer logaritmos en cada miembro, para, a continuación, utilizar la propiedad recíproca que define el logaritmo: sacando logaritmos, $\ln(t)=\ln\,((-2)^{1,1})=1,1\cdot \ln(-2)$, pero ya sabemos que el logaritmo de un número negativo no está definido, luego la función $(-2)^x$ sólo está definida para números enteros; es decir, en ese sentido, es una función discreta, pues envía números enteros al conjuntos de los números racionales, que, en particular, pueden ser enteros; el recorrido de la función es el conjunto de los números racionales.

Es evidente que, habiendo visto que no podemos pensar en números reales que no sean los enteros (como números candidatos a la solución de la ecuación). Y, si observamos la tabla numérica de la función $f(x)=(-2)^x;x\in \mathbb{Z}$, elaborada para unos cuantos (suficientes) valores de $x\in \mathbb{Z}$, salta a la vista que la ecuación propuesta no tiene solución: no hay ningún número entero, positivo, negativo que satisfagan la igualdad a $2$, y tampoco el cero la satisface, ya que $(-2)^0=1\neq 2$

Como consecuencia de estos razonamientos, la solución no está, en definitiva, en el conjunto de los números reales, por lo que es claro que, de haberla, deberemos buscar entre los números complejos. Para ello, démonos cuenta de que: $(-2)^x=2$ puede escribirse de la forma $((-1)\cdot 2)^x=2$. Ahora bien, por la fórmula de Euler, $e^{i\,\alpha}=\cos(\alpha)+i\,\sin(\alpha); \alpha\in \mathbb{R}$, podemos escribir $-1$ de la forma $e^{i\,\pi}$ ya que $e^{i\,\pi}=\cos(\pi)+i\,\sin(\pi)=-1+i\cdot 0=-1$; y, de una manera más general: $-1=e^{i\,(2n-1)\,\pi};\,n\in \mathbb{N}$, ya que al ser $2n-1$ un número natural impar, $\cos((2n-1)\,\pi)=-1$ y $\sin((2n-1)\,\pi)=0$.

Entonces,
  $(-2)^x=2$
    $((-1)\cdot 2)^x=2$
      $(e^{i\,(2n-1)\,\pi}\cdot 2)^x=2$
        $(e^{i\,(2n-1)\,\pi})^x\cdot 2^x=2$
          $e^{i\,(2n-1)\,\pi\,x} \cdot 2^x=2$
            $\ln\left(e^{i\,(2n-1)\,\pi\,x} \cdot 2^x\right)=\ln(2)$
              $\ln\left(e^{i\,(2n-1)\,\pi\,x}\right)+\ln\left( 2^x\right)=\ln(2)$
                $i\,(2n-1)\,\pi\,\ln(e)\,x+x\,\ln\left( 2\right)=\ln(2)$
                  $i\,(2n-1)\,\pi\cdot 1 \,x+x\,\ln\left( 2\right)=\ln(2)$
                    $\left( i\,(2n-1)\,\pi+\ln\left( 2\right)\right)\,x=\ln(2)$
                      $x=\dfrac{\ln(2)}{\ln\left( 2\right)+i\,(2n-1)\,\pi};\,n=1,2,3,4,\ldots \quad (1)$

En conclusión: la solución consta de los infinitos valores de $(1)$ $$\displaystyle x=\{\dfrac{\ln(2)}{\ln\left( 2\right)+i\,\pi},\,\dfrac{\ln(2)}{\ln\left( 2\right)+i\,3\,\,\pi},\,\dfrac{\ln(2)}{\ln\left( 2\right)+i\,5\,\,\pi},\,\ldots \}$$ $\diamond$